Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 4
Текст из файла (страница 4)
6. Существенным моментом в прикладной работе являетев необходимость получения результатов в установленный срок. Заказчик, для которого проводятся исследования, расчеты, часто ограничен <йюком завершения исследований и принятия решения на их основе. Если исследования не будут завершены к сроку, то решение все равно будет принято, но на основе более грубого, эмпирического или просто «волевого» подхода.
П<иерянное в таком случае доверие со стороны заказчика часто бывает нев<пможно воссгановить. В такой ситуации лучше найти по возможно«тй удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оиа станет бесполн«ным. Поэтому, в частности, целесо- Введение 15 образно пачи|шть исследовапно новых задач с рассмотрения пр|х"гейших моделей, применяя при численном решении испытанные мнгодм.
У. Также существенным моментом в прикладной работе являеггя тю обгзюятельгтво, что работа, как правило, проводится коллективом. Одна иа причин итого состоит в том, что построение математической модели, выбор и|тода решения, непосредственное общение < ЭВМ и анализ ршультатов требуют различных знаний и квалификации. Другая причина кроется в упомянутой ужо необходимости решения задачи в установленный срок. Это требование приводит к необходимости распараллеливания даже однотипной работы между большим чии|ом и|хи|пииты|ей, например путем независимого написания разлнчных блоков программы отдельными исполнителями.
Параллельно могут идти отработка различных лютодов на модельных задачах, обсчет упрощенных моделей, подготовительная работа по написании| окон |ательпой програмыы решения задачи. Можно привести много реальных примеров неудачного решения бш|ьших вычислительных зщ|ач и работ по создани|о программного обеспечения, шюванлых следуя|щей причиной. Распредеяение обязанное|ей можду исполнил:ляыи пе было в досзвточной степени формал|гзовано, т.е. пе было выдано однозначного описания окончательного результата работы каждого исполнителя. В р|нультате или основная доля времени уходила на непрерывное согласование отдельных частей работы, или после ишечении существенного прол|сжутка времени оказывалсстч что зги части рабо|ы не стыкунпхя.
Позюму организаторские способности ученого, осущсствля|ощего общее руководство решением задачн, зачвстуго не менее важны, чем его ма|ематические способности. Приведенные выше рассу|гцеиия в опред|денной степени иллю|"грнру|от специфику работы в облжти првкяадной математики и показывают, гго специалисты в атой области кроме широкой математической эрудиции должны обладать также другими важными свойствами |еловеческого интеллект н характера. — Глава 3 Погрешность результата численного решения задачи чвг В этой главе объясняют<я истчвики возникновения погрешнгкти решения задачи, даются основные правила заушиня приближенных величин и оценивается погредгность как простейших, тлк и более сложных функций от приближенно заданных величин. В дальнейшем конкретные оценки этой главы по существу нс используются, но сэм разговор о них необходим для понимания реальной обстановки, в которой используготся рассматриваемые в книге методы решения задач.
3 1. Источники и классификация погрешности Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: 1) математическое описание валют является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания; 2) применяемый для решения л1етод часто не является точным: по- лучение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических опе- раций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к прибвиженному; 3) при вводе данных в машину, при вьпюлнении арифметических опе- раций и при выводе данных производятся округления.
Погршпности, соответствующие этим причинам, назызаигг: 1) неустранимой поерешностью, 2) поеретностыо мегподо, 3) ем гпслотельной поеретностьт Часто неустранимую погрешность подрвзделякгг на две части: а) неустранимой погреягностью называют лишь погрешность, явля- юп1уюся следствием неточности заданиа числовых данных, входящих в математическое описание задачи; б) погрешность, являющуюся гледствием несоответогви» математиче- ского описания задачи реальности, называют, соответственно, погретно- стлью мотемоточеской моделя.
Глава 1. Погрешность ршулшата численлола Гашения задачи 1й Дадим нллгосграцию этих определений. Пусть у нас имеется л1ангелик (рнс. 1.1.1)г), начинающий движение е момент 1 =-го, Требуется предсюлзать Угол огкпонепиа Р от веРтикали в момент гг. Дифференциальное уравнение, описывающее кешебавие злата л~аятникз, берется в виде ,)г 1 — — -~-йюпуе+ р — = О, йст . ' ей рг = 1 — 1 — неустралгимая погрешность, улг = 1а — 1 — - погрешность метода гге = 1а — 1г, — вычислительная погрешность. (2) 'г Тройная нумерация рмсуеяо и формул уяаэмеает глаы, параграф, помер формул я р суаеа, деойеая, прямее емае то ео де формул,— еар:мраф номер (е да ой л е);еде «р а, р ме ем ае е е «од»»ф р ул,- о яояомер(адае омпара раф ). где 1 — гпглпггл леш!тннк».
д .ускорение силы тяжести, р каеффшшент трение. Как только принимается тюеое описание заде ли, ращение уже приобретает леугтранилгую погрешность, е частности, потому, что реальное трение зависит от скорости лле совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения 1, р, ер р' )о Го()о) у Во) Назеюте этой погреп~лгисти— енеустранимав - соотжпствует ее существу: она ! неконтролируема в процессе численвого решения задачи и может уменыпнться только за счет более точного описание физической зпкмги и более точшяег определения параллетров.
Дифференциальное уравнение (1) по решается е явном виде; для ело решения требуетшг применить какойРис. 1.1.1 либо чнсленныв метод. Вследствие этой причины и возникает погрешвость метода. Вычислительная погрешность может возникнуть. например, пз-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислевиях. Введем формальные определения.
Пусть 1- точное значение отыскиваемого параметра (л данном случае--реальный угол отклонения маятника уг в момент времени П), 1 значение этоса параметра. соответствующее првпятому лалтематическому описанило (в данлоы случае значение уе[1г) решения уравнения (1)), Га — решение задачи, получаемое при реализации числевнога метода в предположении отсутствия округлений, 1,*, приблвжение к решеншо задачи, получаемое при роальных вычислениях.
Тогда 19 З 1. Источники и класгифпквпия погрешности Пшгная погрешность рв = 1ь* — 1, равная разности между рнмгьно пслу- чаемым и точным решениями задачи, удовлетворяет равенству Рв = Рг + Рз + Р«. Во многих случаях под термином по«рсшиосгль тою или иною вида понимшот не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например, в скалярноы случае полаппот р = (Х;, — Т(, р = (Х вЂ” 1), 1 = (Та — У(, рз = Х,*, — Т~,); при таких обозначениях вместо (3) получаем Рв < Рг +Рг + Рз.
(4) В других случаях решение Т и лрибявжевия Х, 1?и уг*, оказывакптя алемвпт»ми некоторых функциональных пшхтравгтв, час?о разлячных. Например, 1 может быть злементом прастра~итва г непрерывных ла (О, Ц функций, в 1г, — элементом лрштрвисгва рг, сегачггг»х функций гг„, ощнысяениых в точках «в = ггЛ, л = О, 1,..., Ь" ', Л ' — целое. Тогда в «ачш:тве меры погреппгсхти ввгдшт некоторую лиру близости р(«г, «г), где «з и г могут быть злемевтамв згак одвого, так и различных прострааств. Требования на ззу меру близости— вшможпосгь принять ее за естественную меру погрешности и выполнение неравенства треугольника р(«г, «3) < р(«г, «3] + р(?г, «3) (бз) при лкбых «г,ш, «з б Р, Ег,.
При ятом не наклад»ваггся ушовиег если р(«п «г) = О, зо «з = «з: таким образом, функция р(«г, «] ле обязательно является расстоянием в неги»гором метричегком пг осту«пьяве. Например, можае повожить рг(гз, (г) = шах )В(гий) — гз(гзуг)) в««-' инзввиснмо ог зтзго, квхнм пРссгРввсгвам оРиваД«сжат гг и ~?.
Мажет в«вникнуть такой вопрос по поводу проблемы исследования неустранимой погрешности: зачем изучать ноустранимую погрепшость решения за,чачи, если она,неустранима« У По крайней мере такая ючка зрения кажется оправданной, шли математик получает для численного Реп?ения аадачи уже готовые уравнения, не участвуя в обсуждении физической постановки задачи. Это возражение нельзя признать разумным. Часто мате«гагик сам занимается исследованием постановки задачи, анализом и упрощением рассмв. Рнвавмых уравнений.
Поскольку все явления в природе взаимосвязаны, в пРинципе невозьюжно математически точно описать никакой Реальный процесс, происходящий в природе. Однако аналгш влияния различных факторов на погрешность решения может позволить получить 20 Глава 1. По<ре<еность результата численно<о решения задачи просчийшее описание процесса с допустимой погрешностью. Обычно математик имеет представление о требуемой окончательной точности результата, и, исходя из этого, он может производить необходимые упрощения исходной авдачи. Если математик пе учасчвует в обсуждении физической постановки задачи, то представление о величине неустранимой погрешности ему всг равно необходимо по следующей причине. При решении большинства задач ивг особого смысла применять мешд решения задачи с погрешностью, существенно меныпей, чем величина неу<пранимой погрев<- ногти.
Понгому, имея пред<"гавление о величине нгустри<имой погрепп<ости, можно разумно сформулировать требования к точности рн<уг<ьтат» численного решения задачи. Р!епомерные требованвя заюючика к точности результата часто вызваны ттм, что он имеет преувеличенные представления о возьюжвостлх ЭВМ и поэтому серьезно не продумыевот, что все-таки ему нужно. Такие тр<бования часто снимшотся в процессе обсуждения ъздачи на основе следующих соображения: 1) при более дшильном подходе к взучению задачи в цепов< оказывается, что столь высокая точность и не нужна; 2а) математическая модель явлелвя настолько груба, что требювать столь высокую точность бессь<ысленно; 20) параметры модели не могут быть определены с высокой точностью; 3) заказчику нужен вообще не количественный, а качественный результат< например такого типа: будет ли работать данное устройство в заданьюм режиме или нет.
Разберем некоторые встретввшиеса нам реальные задачи. К решению была предъявлона система инте<рэльных урввпеяий с сильно <юциллщ<у<ощнмн ядрами с чисхом перемен у «дер порядка Л < = 0< = 1[1э. Требовалссь получи< ь решение с о<носительной погреппюстью (определение см. далее) порядка 10 э. Этв еле<яма описым<ла рюким раб<ты некоторого опп<ческого устройсчва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
