Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусгоь Ьь(х) эс 0 яри х > 0 и все ! Пусть аг(п) р' 0 при и > О. 1в(х) непрерывны при х > О. Тогда общее решение однородного ууавнение Ау = 0 записывается в виде г У=~С;уи с=с где ум..., уг — линейно независимые рвшегсил уравпения йу = О. Дюяозонсельспсво. Согласно теореме существования уравнение 1у = 0 имеет решение при лсобых начвльных условиях у(0),..., у<'-'!(О). Одиорсдное уравнение 1у .= О можно представить в виде у(п+ й) = — ~ — у(п й с).
(3) а, (и) аг(п) Если мы зададимся у(0),..., у(й — 1), то из (3) сможем вычислить носкедоватсльно у(й), у(1с + 1),.... Таким образом, при любых у(0),..., у((с — 1) уравнение 1(у) = 0 имеет решение. Это решение единственно, поскольку значения любого решения удовлетворяют уравнению (3), а из этого уравневия значения у(й), у(Й-~-1),... определягстся однозначнО. Обозначим через у,(п) решения уравнения (у = 0 при начальных условиях Ш(д — 1) = бг, г,у = 1,..., й. Согласно теореме единственности зтс решение единственно.
Обозначим через уг(х) решения уравнения 1у = 0 при начальных углоаиих у,. = Бг, г,у = 1,..., й являются рыпениями однородного уравнения бу = О, то любая функция Е" Сгу, также являетгл решением этою уравнения, поскольку Глава 2. Интсрпаляпия и чигленнае днфферевцирование Эти решения образуют линейно независимую систему.
В самом деле, если ) С,р,(п)=о, =! то при 2 =1,...,й имеем ь ь ! ь О=) Серо-'1(О) =',> С,б«,. =С,. О = „') Сгрг(у — Ц = ~" С;4,' = Су. Следовательно, в случае ь „'> су„=о г=! все С, обязательно равны нулю, поэтому функции рг,..., уь линерпю нс зависимы. является решением этого уравнения при начальных условиях у(о) р(й 1). р(о),..., у( 1(о). Вследствие единственности решения уравненвя 1у = О имаом 1у = О имеем р(х) = ) р!' '1(О)ру(х). р(п) =- ~ у(1 — 1)уу( )- Теорема доказана.
Далее в курсе Лифференюгальиых уран!кний угзанавливвется слелуююий факт. Если известны й линейно независимых решений однородного уравне- ния 1у = О, то нахождение решеаин весднородпога уравнения (2) сводится к решению уравнений ОС!/г1« = Л.(х), (4) гле лг(х) — известные функции, т.е. к атыскзлию квввратур. точно так же в случае, когда известим й линейно не независимых решений однородного урав- ) Сгр,(х) но, г=! то при у = 1,..., 1с имеем Пусть у(т) — какое-либо решение уравпеввя 1р = О.
Фувкцив «(т) = г у!' О(0)р«(х) г=! Пусть р(г!) — какое-либо решение уравнения 1у = О. Функция (и) = ~. у(( — 1)уг(п) Ь 7. Уравнения в конечных разностях веиня 1у = О, нахаькдевие решения неолнароднага уравнения сесдит*в к репи. иию аналогичных (4) разнос шых уравяеанй С (и 1- 1] — Сь(а) = д (а), глс д (и) — известные фувкцви. Перейлель к рассмотрению уравненяй с гьосзоянььылььь козффицььеььтвльи я гашнетствуьопоь» сциа1ьациых гльиьненнй 1у = ~ а„у(и -1 ь) = О.
(8] =е Займельсл отысканием частных решений однородного уравнения. В сзу ьае уравнения (8) функцию ехр(Ли) удобно записывать в виде р, р = схрЛ. Подставляя ее в (8], получаем уравнение ) а,р 1ь =-О. ваниль образом, каждому корню уравнения ~'Ь,Л* =О, .=а ~ а,р* = О, (1О) =а (ьу) называемому харакпьгрььсшн"ьесказс соответствует частное рсшснве ехр(Лх). Если все корни характеристического уравнения простые, мы получаем Ь различных решений. Покажем, что каждому з-кратному корню характеристического уравнения соответствуют з различных репьений одиородс ного уравнения ехр(Лх), хехр(Лх),..., х' ьехр(Лг).
р, С„р ь,..., С;, р ве . )у=~,у( «=ах], (5) Ьг и О, г (у=~о,у(*1(х) =О. * —.а Подставляя в (7] предполагаемый вид частного репьения схр(Лх), получаем уравнение < л ЬлЛ' ехр(Лх) = О. л=а 1у = 2 агу(а -1- ь] =- 1(ьь), (б) аг ф О, Глава 2. Ивтерпаляци» в звсленное дифференцирование Х Х ) щр*=ахп(Д вЂ” Гн] ) ЬХЛ'=ЬХЦ(Л вЂ” Л,]. -с Зададимся дейсгвительпым парвьхетром с > О, с — х О. Возьмем Лг; такно, что: а) Л, различны при 1 =-. 1,..., ж 6) сзромятся к Л прн с -Х О для всех У < ус Возьмом р в закис, чзо: а) р, различны прн 1 — — 1,..., э; 6) стремятся к рн при с — Х О для всех у < Ь.
Образуем характврнстическне уравнения, соответствующие этим корням: О=ахп(12 рзг]=Ещ1'* О = Ьх П(Л вЂ” Лм) = ~!~мЛ". Ясно, что ац — Х ас (П) при е — х О. Этим характеристическим уравнениям соответствуют уравнения 2 а у,(пфг) =О. (13) що ~ Ь„,у(*](х) = О. =о (12) Пусть при с > О мы можем указать решения р,(х) уравнения (12) такие, что прн любом э: > О существует предел 1пву,(х) = У(х), у,(п) уравнения (13) такио,что при любом п > О существует предел !иву,(п] =- У(п). причем Ге(х) сходится к У(х) равномерно вместе со всеми прохмводными до порядка 1с включительно на лгобом конечном отрезке [хх,хз]. Псрсхцля к пределу в (12) с учетом (11), получкам, что предельная фуикци» У(х) удовлетворяет уравнению (7).
Псрехоця к пределу в (13) с уче- том (11), получаем, что предельная функция У(п) удовлетворяет урав- нению (8). Построим такио последовательности р,(х) и рг(п), которые будут скопиться к частным решениям (7), (8), соответствующим крвтхпям корням. ПУСТЬ ДЛЯ ОПРЕДСЛСПНОСтн ЛГ = - ° =- Лм ДХ = . = Р„. РаЗЛОжИМ На множители характеристический многочлсн 1 7. Уравнения в конечных разностях При провгшеиии этих построений удобно яспользовать разделщпгые раз- ности. Рассмотрим сначала случай даукратнопз корня.
Положим Эти функции являются решениями соответственно уравнений (12), (13). Звпигпелг их в виде Переходя к пределу при е — Л О, получим рм(п)-л Р," '4-"-51лл' '= Р",' '. й,(") — ", р(л:). В ршультате мы построили второе линейно независимое решение, соответствующее двукратному коршо. Случай корня более высокой кратности рассмотрим лиги дзл уравал'звя (1).
Согласно (4.3) имеем р П ° =Рх(1'Л '"- 'Р ) = 2— " '"' "=П(м-м) Как линейная комбинация функций р"., функция у„является решением урав- нения (13). Алгалогнчно (14) непосредственно устанаплнеаепч, что +,= м-ч Общее чвсло слагаемых раино Сг л, повтому л У („) — Сл — л, тл-» Поскольку в случае з-кратного корня можно взять ч = 1,..., з, то получилось з часгиьы решений х(п) = р, 13(лл) =Сгр" л,..., У(п) = С* лл™'. (15) рг,(х) =- схр(Лх)(Л1„' Лг;) =- ехр(Лых) — ехр(Лпг.) Л вЂ” Лм рг,(з) = хехр(Лл,з) х схр((Лг, — Лл,)х) — 1 Х (Л„- Л,„)я Уг.(п) Р (Р!е Рг ) Рл Рл Рл рл 1дгс(п) = Рг, + Рчь Рл (14) " 41л'л','- Глава и. Иитсрпоэяция и численное дифференцирование 88 Задача 2.
Пусть Р, г(п) — произвольный многочлен степени э — 1. До- казать, что функция 1'„г(п)дв чаписываотся как линейная комбинация функций (15] Р,, (п)рл =- ) С 1' (и). Таким образом, вместо системы решений (18) можно взять сисламу решений 1)(70 = 1ь, 1з(п) = гцц(, ..., 1 (и) = и р1.
Задача 3. Поююатгз что уравнение (16) имею частное решение вида 2 йпа о", где г11 могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим таперь разностноо ураннение ь 1с а;у(п -~- г) = ~ С гр сг". =о з. с (Гб) Пусть а является корнем характеристического уравнения (10) кратности э; в частности, гщш п но являетси корнем этого уравнения, то э = О. З 8. Многочлены 'Чебышева Рвю:иатриваелгые ниже многочлены Чебышева играк г фундаментальную роль в теории и прыстике использования численных методов. С их помощью решаеэез зиач шальная чмчь задач опт иьгюации свойств вычислнтельиы.с алюрвтмов.
Запись многоч.пенов в традиционной форме часвэ приводит к большому влгщиию вычислительной погрешности, и в этих случаях вх целесообразнее записывать в виде линейнмх комбиваций мвогочлено» Чебышева. Миогочлены Чебышева Тв(х), где и > О, определяи,тся соотношенняыи Тс(х) = 1, Тг(х) = х, (1) Т щ = 2кТ (з:) — Тв .1(х) при и ) О. Зада га 1. Доказать, что озиокупность частных решений (1б), ссютвст- ствующих корням характеристического уравнсни» (10), сбразует фунда- ментальг~ую систему (т.е.
они линейно независимы и решение (8) может быть получено как линейная комбинация таких решений). Э 8. Мггогочлевы Чебышева Пользуясь рвкуррентной формулой (1), получаем, например, Тз(х] = 2хз — 1 Тэ(х) = бхз — Зх, Тэ(х) = 8х — 8зэ -~-1, Т;(х] = 16хэ — 20хз+ бх, Старпгий члои многочлена Т эг(х) получается из старшого члена много- члена Тв(х) умножением на 2х, и, свсдоватсльяо, старший член в Т„(х) при и > О есть 2" гх". Все многочлсны Тгв(х) являются чнгными функциями. а Тшэг(х)— нечетными. Прн в = О это утвержденне всрио. Пргдпологкиэ вго слраведливосгь при некотором п, мы получим, что 2хТ»,тг(х] — четвэ» функдвя и, вглгдствве (1), 7вы (г) — тожс четная функдвя.
Тогда 2»Тг„эг(т) и '1]„ээ(г), вследствве (1), — нечетные функпнн. Прн любом б вмесм сов((п-у 1)6) =- 2совбсовпб — соэ((п — 1)О). Полагая б = агссовх, получим сов((п -~- 1) атосов э ) =- 2х сов(п агссоэ х] — сов((п, — 1) агтсов:г). сов(0 атосов х) =. 1 = Тэ(т), сов(1 . шссоз х) =. х = Т, (х); поэтому при всск и Тв(х) =- сов(пшссаях). Следовательно, )Тэ(х)) < 1 при )х) < 1. (2) (8) Не нужно думать, что ]7'„(х)] < 1 ври всех вегдсствелнык х. Егти )х! > 1, то васс(вг нв являвтсв действитгльныя гислом, а косинус такого часта больша 1. Рскуррвнтное соотношение (1) являстся разностным уравнением; сму саигвстствует карактервстическос уравнение р — 21 х Ч 1 = 0 с корнями рпз = х+ ъул При х ф .+1 корни простые, поэтому Т (х) = сг(х)1гг ф сз(х]рз.
Фуггкгюя сги(пшссовх) удовлетворяег тому жс рлзностному уравнению (1) по переменной и, что и 'Х„(х). На гальные условия при и = О и и = 1 одни и те же: Глаза 2 Интерпгмяцнх н чисвеюнгсе дифференцирование 60 Из начальных условий То(х) = 1, Т, (х) = г: получаем сг = сз = 1/2; таким сбр гном, +ьУз 1) +( гР Ц (4) 2 Задача 1. Пронерить справедливость шой формулы при х =! и х == — 1. Из уравнения Т„(л) =- соз(пшссозх) = О получаем, ца Угг(2т — 1) ( х„, = саз [— ), т=1,...,п, 2п — нули Тг(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
