Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Зададимш пекшорыми г1м..., б„б (-1, 1) и построил~ ивтерполяцвонный многочлеи Х,ь(х) степени и — 1, совпадающий а-~-Ь Ь вЂ” а с ((х) в тачках х = — -+, г(.. Пшюжим 2 2 ь ((х)р(х) бх = ~ Г~,(х)р(х) бзь Имеем гь гь гь ~,.)-3 ~(.р(х).х-3 ..(х)р(-)-=У1.(х).(х)-..(х))' Разность ((х)-Ь„(х) оценим, воспользовавшись оценкой погрешности ии- терполяциопного многочлева Лагранжа 1((х) — Ь„(х)) < (пзак(1~")(х)() где ы„(х) = (х — хз)... (х — х ).
Отюсда ),,,б( ф ~'(ыь(х)( )Р(х)) „. Произведем н последнем ннтеграло замену переменных, положив х а-1-Ь Ь вЂ” а Х(1) = + — 1. Тогда 2 2 Ь— —,/ !и (х)р(х)(их=гз(пь" б ) ~ 2 ) е 3. Катзратурные формулы Ньюгоиа — Котеса 95 где г ],",(Г)Р'(1) а го+9 ые(1) = (à — йг)... (Ь вЂ” й ) р (Г) = р ] + — Ь) . 2 2 ) Таким образом, справедлива оценка ]Не(~)] < ЬЗ(с1ы..., г1ь) (щах]]т'(ь](х)!) ( ) Пусть вге и, различны. Тогда ' (х) = Е .(('.) П .„" ,й, После замены переменных т. = Х(Г) полу гим ь /Ь вЂ” ай р(х)й„(х) Йх =- ~ — ] ) уу ((ху), г=! (2) где гг чег (2) Таким образом, построенная кяалригурпая формула имеет вид ( Ь вЂ” п," /с+Ь Ь вЂ” а ((х)р(х] гЬх = — ] Юуу ] — + — д ) .
17з = 22вэг (б) (Доказать!) Такие «симметричныеь квапратуры обладают следующим дополнительным свойством, которое, формальна говоря, не предусматривалось при ил построении. Они точны для любой функции, нечетной относительно середины отрезка [а, Ь], т. е. удовлетворяющей условию о а Ь'] г'а + Ь у ] х — — = — у — х) .
В самом деле, для гвкик функций 2 / ], 2 Как и прн численном дифференцировании, можно обнаружить следугощие сбснвггельства: егщи задача насесет определенную симметрию, то метод с симметрией того же типа часто сбладанг допокнитгзгьныьпг прекьгуществами. Будем называть функцию жгвиой отсосггтелыю точки хе, если У(х — хе) = У(хе — х), и нечетной, если У(х — хе) = У(хс — х]. Мсжгсо показжгь, что для весовой функции р[х), четной относительно середины отрезка (а, Ь], и узлов ху, расположенных симмецнгтео середигпя Отрезка, т.е.
г]г = -Л„гг, коэффициенты кыщратуры, саоююгствуюгцие симметричным узлам, равны между собой: 6 3. Квадратурные формулы Ньютона- Котсга Таким образом, имеем ту же кввдратурнуш формулу ! Дх) ах = (Ь вЂ” а)Г ( — ) с оценкой остаточного члена Н(Г) = шзх)Г (х)) 3. Формула трапеций. Пусть а=2, 414 = — 1, Из = 1. Тогда Г )Зз-Ц 2 Гг! — 6 14141 ГУ= ! — 41 —.—, и, =! — '44=1, ГЗз=! — ай=1. ,/г 2 3' !, 2 ' /г 2 Получена 46армгйла шрапецой ! Г(х) 4х = (Г(о) -~- Г(Ь)) с оценкой оспггочпого члена Й(Г) = шах )Г (х)) (,ь) 12 4. Формула Симпсона.
Пусть и = 4, 414 = — 1, Нз = 44 = О, йз = 1. Тогда ' гз(1 — зз) 12= (, 46= —. Согласно формуле интерполирования с кратными узлами, можеы написать, что аз-6 о+61 Г а+ 61 Ь4(х)=уз(х)+у(а;Ь; , '!(' а)(х 6)( !' 2 ! 'т 2 где а+6 144(х) = Г(а)+ Г(а; Ь)(х — а) 4-Х(а; 6; 2 )(х' о)(х 6)' Второе слагаемое в выражении Ьь(х) является функцией, нечетной относительно серг. инны отрнка [а, 6), поэтому ь гь 1'4(х)г)т = / йз(х) сьг.
Много глен Ьз(х) является интерполяцнониыьг многочленом второй степени, гоствегствувь 4Цнм 414 = — 1, Иг = О, ььз — — 1 (Рис. 3.3.1) Этим значениям 44, 41з, 41з соответстьзузот Хзь =-1/3, а а+ь ь 3 Рис. 3.3.1 В обоих случаях получилась одна и та жг квадратурная форыула, но с различной оценкой оотаточного члена. Глава 3.
Численное интегрирование 11з .= 4/3, 11з =. 1/3. В результате получаем ке»»»)ратррнрю формрау С»ьмг»- соне 1 /(з)»(х б (/(а) р 4/ ( 2» ) ч- /(Ь)) (3) с оценкой остаточного члена Й(/') = шах /( )(х) ( И Для примера обратим анимы»ие на кавдратурные формулы Чсбмш» ва, широко применявшиеся при подсчете водоизмещения судов. Постановка задачи, приведшая к построенюа этих квадратур, довольно блаэка к пес»шювке задачи, е»вникаю»цей при планировании экспериментов (см.
гл. 2 э' 1). Вь»чи»ш»ягшя ив»' теграл / /(х)»1х, причем известно, что функция /(х) с приемлемой точи»хчью может быль приближена мпогочленом сгвпени д. Пслуч»л»ие каждого эначениа /(х), налримор путе»» измерений, оби»лится довольно дорого, в получаемые значения содержат давольно большие случайные погрешности. Предположил», что пагреппк»сти измерений незвано»мы, имшат одинакову»о дисперсию»1 и математическое ожидание, равное нулю. Тогда дисперсия приближенны о значения 5„(/), вычиглиемого по квадратурной формуле 1(/) 5 (/) = Е с Х(хэ) равна б ) с;. Условие 1(/) = Ь* (/) при / = сонэ» имеет вид ».= » г» =- 2. »=» (9) Как нетрудно проверить, минимум величины»( ) сэ при условии (9) до»тига»=» ется при с» = " = с„= 2/и.
Эти ресгуждения привели к следующей пос»еновке задачи: среди всех казлратур Е(/) щ — ~ /(х»), 2 "»=» точных для многочлснов»тепеви д, найти квадратуру, ссотвегствующу»о наименьшему п. При д = 0 и д = 1 искомой будет квалр;нура прямоугольников 1(/) = 2/(О); прн д = 2 и д = 3 — квадратура Гаусса (см. 5 5). Основной целью настоящей главы является рассмотрение с»»особюв вычислении интегралов от функций, чагиных аналитическиь» вмражением, и выработка принципов построения сшндартных программ»»»»т»»гр»»рованнв шких функций. Естествещ»о, что кроме этих зада» в т»юрии квадратурных формул име»отса и другие задачи, например связанные с обработкой экспериментального материала.
г Ф Ортоголальные многочлеиы З 4. Ортогональные многочлены рггпении ряда задач математической физики часто нсследуют, отыскивая их разложения по ортогональным функциям, в частности по ортогональным миогочленам. Наиболее подробно изучены ортогоиальиые ситемы функций одаой переменной.
Из ортогональных сиогем функций многих переменных рассматривыот, как правило, лишь системы вида «оз,(яз) х ° -- х «г,', (х,], где «зг„(гг) — некоторые орзогоналызые многочлс ны одной переменной. Пусть Н вЂ” пространство колзплексппзпачньзх фуакций, определенных на (а, Ь), с ограничеиным интегралом ь / (у (т)( р(т) дя; тзалярное произведение задается равенством (.з', у) = )е Л ')д(х)р(. ) дк (1) э где д(я) — фуюсци», комплексно сопряженная с д(т); р > О почти всюду гь на (а, Ь) и / р(т)дс < оо; функции, отлззчыозциы:я друг гзг друга на множестве ыеры О, считаются равными. Система Ф„= (зрз,..., «з„) ненулевых элементов из Н называется ортогональнои, осли («оз, ун) = О при з Зз 1.
Система Ф .= («зз,..., у«,) называется линейно независимой, если 2 Ср,=о 1=1 только тогда, когда все С = О. Важяьзы аппаратом многих исследований ивзтется ортогонализация заданной гисгемы элементов гильбертова пространства. Лемма 1. Пусть е пространстве Н задана линейно независимая систеиа элементов Ф„= (зрз,..., «с ). Тогда люэюззо построить ортогональную линейно независимую сиспзему Ф„= (Фз,, Фе) элз* ментов вида Фз =,), ьззуз .з = 1,..., и, (2) =1 где Ь Докаэаглельсзаео. Мы будем проводить построение такой системы методом индукции.
При п = 1 имеем тривиальную систему Фз = «зз. Пусть требуемая система Ф„построена при некотором и = Й; тогда злемезгг Фь ы отыскиваем в виде «ь =рз+ -~ а 1Фь — 1 Глава 3. Чи«!!ып!ое патегрироааапе 100 Коэффициенты а!„выбираем из условия ортогональиости (Фььь Ф!) = О при ! < Й. Вследствие орчогоиальногти гнстеьгы элементов Фь последноо соотношение предстализтэ! в вице (р м Ф!) — о (ун Ф!) =О, откуда Мьы, Ф!) (т! Ф!) следовательно, элемент ч (рьы Ф.) фйе =-рьы — ~~ ( ' — '-Ф; =1 (4) будет ортогоналеп всем предшествуаяциь!.
Подо!валяя в (й) Ф = л' 5 ау!э г==! при ! < 15 получим требуемое соогпогпение. Лемма доказана. Совокупность с!отношений (2) при у Ч п можно представить в виде Ф„= В„'1!ю где 1 О О 0 бз 1 О О бм 1зз ! О и Фю Ф„валяются воктор-столбцами из соответствующих элементов. В то гке время, переноси все ф! из правой части (4) е леву!о, получим где (5) матрицу В„иногда называют магпрпцей оргпоэоналоэацпп. Так как бе1Вэ = 1, то преобразование, задаваемое матрицей Вьь является невырсз:денным и переводдт линейно ншависнмуго штгтгыу элементов Ф„ в линейно вк!ависнмую систему Ф„.
В силу линейной независимости снсгемы функций Ф„!тес!ода следует, что В = Л„,'. 14. Ортоговальные нногачлгяы Прв построении артоговальиых мвосочлепав в качестве элементов системы функций 62 берут«я функции 1, х,...,:ос и производится ортосоналвзацил в пространстве со скалярпмм произведением (1) по описанной выше процедуре. Палучаамые мвогочлены с — с фс(х] = .: м' Р ~. Ьн;— =с (6) Т„(х) = 2е 'хн -]- оргогоиальных на отрезке [ — 1, Ц с весом 2/(яс/à — хг). Как отмечалось, значения швх ыногочленов можно вычясшять но рекурревтной с)юрмуле Т„.сс(х) = 2хТ„(:г) — Т„с(х). (7) Вычисление значений ортогоншсьвых мпогочленав ь1ебыпшва при помощи формулы (7) более прелпочтительна по сравнению с непосредственным вычислением их по явной формуле (6) по слевующим причинам.
1. Вмчисление па формуле (7) не требует хранения в памяти или вычисления козффициентов Ьп. 2. Обычно требуется вычислять одновременно значения всех многочленав уч(гс),..., сЬ„(гс) в одной и той же точке. При независимом вычислении значения калсдого ьсногочлена па формуле (6) вычисление внесений всех мнагочленав потребует — аг арифметических операций. ( Здесь и дшсее а(п) Ь(п) озвачает, что а(л) и Ь(п] одного порядка, т. е.
а(п) = 0(Ь(н)), Ь(п) = 0(а(н)). ) При одновременном вычислении всех значений ври помощи рекуррентного соотношение (7] потребуется 0(п) арифметических операций. 3. Значения Т„(х), получаемые при непосредственном вычисшеции по формуле (6), люгут содержать болыпуса вычссслитезсьнуса погрывпость. Дело заюссочеесся в гледусошен: пу«н Т„(х) абразуеня как сумма еласаемыхс Т„(х] = 2 д,чхг. с=о (8] навьсвают орсооговольнымн много сленомн, ссоотееассшедюсцимсс еесд р(х) о ослРегкд [аь Ь[. ИногДа оРтогоншсьпыми миогочленами, соотвстстарощими васу р(г:).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
