Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(3) 2 Формулы (1), (3) можно объединить в одну формулу 18. Повышение чечне«ли интегрирован»» счанлартную программу' ? Может быть, проще написать стандартную программу вычислении по формуле (2), сзалиартную программу вычигленив по л)юрмуле трапеций и дать ииструкциюч при балыпих (1»] обращаться к первой лгз стаилвртных программ, при малых )р) — ко второй? Обсудим целесообразность такого подхода. Нашей целью явллелтл создание максимальных улсбсп пользователю ЭВМ. Если в описании правил испальзовави» стандартной программы написало слишком ммого, ча палмюватель мсвкет ве понлть тога, что на.
писано, н 1) обратлггьс» к другой програмлле, худшей па качеству, но имеющей лучшее описание или Сюлее простое обращение; 2) всюпользоватьс» програлчмай неправильно и не получить ршультатав; например, в рассматриваемом сзчучае, прилчгнвв метод расчеш ма формулам (1), (2] при р = О, он получит авармйнуич остановку ЭВМ; 3) вогпальзоватьси программой неправильно и получим, неверный результат, предполюв», ччо ан верный; например, так случится, если ан вогпальзуетс» фарьчулами (1), (2] при 2 л/?У' ' порядка 1.
Очевидно, что последний с чучай влечет за собой наиболее пеприлтные лзл пользователя последствия. При выборе металл лл» гтанлартной проч раммы надо стремиться к чому, пабы опишлние программы, составл»смой на базе етого метод», было по жжможпасч и простым и кратким. Надо имен. в виду, чсо есикое дополнительное высказывание может бьггь истолкована ееправильио э ущерб ллл области применения прочраммы. Приведем один поучителылый реальный пример. В описании одной из ста»- дарг»их программ вычислении к(латных интегралов было написано: «Применение нас шишей программы иецглес юбразиа, если число узлов берется большим 100000».
Спусти короткое время программа была практнчегкп изъята из упс трсблени». Оказалось, что срслв первых пользователей программы полавлюощсе большинство сразу задавались числам узлов 100000, при этом на вычисление щюстого инчеграла уходило слишком много манчи»мого времени. Весть об этом распространилжь повсюду, н вскоре к программе перж тали абращатьсл. На гамом деле при щ использовюпш бсшыпииство реальных интегралов вычиглмлось с приемлемой ю чвостью при чисэе узлов пар»дка 1000.
Числа 100000 было указано лишь как ориенхировочнан верхняя граница значений, при которых вычиглительнал пшрешность еще нг окшываг"г катастрофического впиши«» на результат. З 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части Из оценки (2.1) вытекает, что погрешность квадратуры оценивался черл погрешностчч с которой функция 1(х) может быть приближена мнагочленами степени ии Поэтому может показаться естестиенцым добиваться увеличения точности за счет повышения степени многочленов, для каторых эта квадратура точна. Однако такой путь содержит свои «подвод- Глава 3. "1«слеяное «итегрярованпе 12й ные камни». Нри неудачном выборе узлов может оказаться,что величина ) )Су) растет в«сеете с и.
Тогда в оценке (2.1) величина 1' также раз=с с."тот вместе с и и мажет оказаться, гго уменьшение Е (1) с ростом и не компенсирует увеличение 1'. Например, для простейшего равномерного распределения узлов с(( ) = -1+, 1 = 1,, и. (и, Ь) = ( — 1, Ц 2(у — 1) и — 1 оказывается, что при т = и — 1 имеем 1ойз г' и. В результате этого, например, дли аналитической функции 1(х) = (1+ 25хг) сс (П(УП=~/" йх)йх П„(Х)~.,о. при сс -у со. Рассмотрим случай, когда отрезок интегрирования есть (-1, Ц, и сформулируем общую теорему, укззывасошую ва ессбходимость осторожного обращения с формулами, точными дзя м«осочленов очень высокой степевв.
Пусси при «агкдом и мы имвем квадратуру ~ ф(х) й ~ Сс"'ф,'"'), — с точную длл многочленов степени я — 1. Обозначим черт ю„(хс, хг) число узлов квздрвтуры (1), приввдлелоилих отрезку (х„хз]. Теорема (без доказательства). Пусть сусиуествуепс отрезок [х,, хг) Е (-1, Ц слакай, ало шв(хс, хз) Я сСх ссра и -у со гс Л, 1:и Тогди мозкно указать б ф О и а слакие, тло с)лл адней из аналшличсских функций ( .) 1 1 Ве . или Гсп х — (а + Ы) ) (х — (а + 1л) ) будет вмполнлтьсл соотношение 1пп ~Пв(у)(= сю Таким обраюм, уэльс квадратур (1), точных для многочлсвов степени и — 1, при больших и должны располагаться с такой же плотностью, «ак нули ортоганзльных многачленов, т.
е. «ак и узлы квгдратур Гаусса. Иначе такие квазратуры нельзя рассматривать «ак универсияьные. 121 18. Повьш<ение точности интегрирования Перепишем оценку (бд) погрешно<ти формул 1йусса: (2) Пусть подынтегральиая функция 1(х) непрерывна. Тогда, согласно теореме Вейсрштрасса, при любом г > О найдется многочлен Р ~х], для которого <<<ах]У(х) — Рс(х)] < г, откуда шюу<уст, что Вм(1] -г О при ш -+ со. ( й Таким образом, для <побой непрерывной функции Г(х] погрешность формул Гаусса й„(Г) — ь 0 нри и — ь ж. Задача 1. Пусть 1'(х) — функция, интегрируемая по Риману.
Доказать, что длн формул Гаусса Вн(У) -ь 0 нрн и — г гю. Из сказанного выше видно, что формулы Гаусса могли бы быть шиюжены в основу универсальных программ вычисления и<пгтралов г. заданной то шогтыо. При зюм придется вводить в ЭВЫ каким-лабо образам узлы и веса этих киалратур.
Ва многих <шу.чаях возникает задача вычисления нгпегрллов, где подыктегрвльная функция или ее производные невысокого порядка имшот участки ршкога изь<енения, например абра<да<отса в бесконечность. Такие функции плохо приближаются многочлепами сразу на всем игрезг<е интегрирования. Здесь часто оквзываегсл более выгодным разбить исходный отрезок на части и на каждой части применять свою кввдратурпую формулу, Гаусса или какую-либо другуго. гл Пусть вычисляется интеграл Г = / У(х)бх. Разобьем отрезок [Л, В) А на М частей ]ат г, ас], где ас = А, ам = В. Для нычислсиия интеграла по каждой ш< ча«лей применим каку<о-либо квадрагурну<о формулу из Б 1< 3 вида с оценкой остаточного члена В резулнгатв интеграл по всему.
отрезку будет аппроксимирован суммой М е=< <'=< Глава 3. Числеинсе интегрирование 122 с оценкой остаточного чвона Выражение (4) часто называют состиеног1 или обобигегнюй квадрилиргюп фсрмриеи Рассмотрим наиболее простой для исследования случай, когда отрезки разбиения имеют одинаковую длину а, — аи г = Н. Тогда оценка погрешности (6) восле замены игах (1' '"~(з:) на величину Ам = игах)1(м1(х) , ьы,~ (А, гй приобретает ввд )Ны(з)~ <.0Аг„(Н вЂ” А)Ни', где 1А = 2 (им~117, (6) (Н А) ег (Ньг(()) < НА., (7) Врнвацеьг конкретные квадратурные формулы и оценки логрепшости для частных случаев формул (3) 1.
Составная формула трапеций с постоянным шагом интегрированна. В зтолг слу гас при постоянном шаге аи — а г = Н формула (3] приобретает вид 1(х) дх м Н ~ + 7(а1) -1- + 1(аьг .г) + l.'" = ( О( ю) ~(ам)1 2 а асзатошый член оценивается следугогцнм обритом: д)~ < 12 12Мт (8) 1; — (- и /1 4 1 4 = Н ~ — ~(ае) + -((игг(з) + — з (аг) + — ((изуз) + '16 6 3 6 1 1 4 1 + 3У(аз) +'" + р((~~- ) + —.П м — Н~) + 6У("и)) где ау =аа+7Н.
Ддя остаточного глена справедлива оценка Аг(ам — ае)НА Аи(ам — ас) АА(ам — аа) 4 Н 2880 2880Ми 180 ' 2 м,()< й, Л= —. Последняя запись оценки наиболее употребнтельпа. 2. Составная формула Симпсона с постоянным шагом интегрирования. При постоянном шаге ау — ае г = Н = 2(г форыула (3) приобретает ввд 122 $ й. Повышение точности интегрированна Мы получили формулы с порядкоьз погрешности Р(!У ) по отношению к общему числу узлов ннтегрнровшзия !У = Мп в предположении ограниченности (/' !(т)).
Заметим, что в случае формул трапеций и Симпсона общее число узлов !У оказалось меньше, чем Мп, поскольку концы элементарных отрезков (ое м ае) были узлами интегрирования н значения функции в этих концах использовались для вычислении интегралов по двум соседним элементарным атрвэкам. гл Задача 2. Пусть / )/!")(х)~ Кх < со, д < 2; получить оценку погрешно- сгн формулы трапеций (9) где ~ч — - абсолютная постоянная.
гв Задача 3. Пусть / (/(е)(х)~ йя < оо, 9 < 4; получить оценку погрепшости формулы Симпсона где Д вЂ” абсолютная постоянная. Пусть, например, вычисляется 3 (ашт) Ыт, О < о < 1. о Так как ((э!пт) )', -+ со при г. -+ О, то мы не можем получить никаких оценок погрешности через пьэх(/'(х)(. В то же время функция (эшх) монотонна на отрезке (О, 1), поэтому 1 р ~ ((э!ох)")'~4х = (эшт)" ~ = 1. е о Следоатшльно, при использовании квадратуры (4), иютнетогвующей ш= 2 с постоянным шагом ае — ор ! ю Н, согласно (9) имеем оценку погрешности Р(1/й!). В данном примере из оценки (6) малость погрешности ве следовала; в то же вреьзя ва основании (9) ьзы заключаем, что эза погрешность порядка Р(1/!9).
Не следует думать, что в случае функций с маэопм чисвом Ограниченных производных составные формулы численного интшрирования имея;т лучший порядок слодимосчн па сравнению с формулами Гаусса. Предположим, что пцщонтегральная фушсция имеет д ограниченных производных. Тогда, применяя составную формулу (4), соответствующую о = 4, Глава 3. Численное интегрированна 124 получим приближенное значение интеграла с погрешностью О(Я э). О другой стороны, известно, что для такой функции Вз„1(Г) = Г7()у е). Позтому из (6.4) следует оценка погрешности формулы Гаусса с Л узлами В У) =Г7()У- ). Таким образом, порядок оценки в оГюих случаях одинаков.
Обратим внилганио еще па одно удобство использования формул Гаусса сразу по всел11 отрезку интегрирования. Не нужно оценивать агсло ое ограниченных производньгх пс~дынтегральной функции и в соответствии с втим выбирать паиСюлее погыодящую формулу численного интегрирования по отрсзэкал~ разбиения при применении формул Гаусга порядок погрешности О()г' ") обеспечиваетгя автоматически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
