Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В случае, когда с! < Р«1,(), полагаем !йы = Ьч, в про«« сивном случае полапюм Ь гг = 6«/и. Мы готовы к следующему шагу. Если оюювлость что р«(1') > ео, то принимаем пЬ, за новое значение вотюпшы Ье и возвращаемся к игходяай позы(ни: вычислено приближенное 117. Принципы построения с<андартвых щюграмм Ггв значение интеграла / /(г)<)з< а задан шаг Ь . Начальные условия для применения процепуры: Процедура должна также иыеть блок окончания работы: сели оказалос<о что л -<-Ь > В, то еле,пуст положить Ьг — —  — аг. Установилась практика ч г брать л = О,б, Другая процедура, которую можно назвать еершикальной, определяется эаданиеы числа се и заключасшя в следу<ощем.
Пу<шь на ю<ком-то <лаге возникает необходимосю вь<чи<шснпя н~чеграла по отрезку раэби<. ния [с, <)), т.е. / /(г)<1г.. Вычислютш< величина р(/), соответствующая миму отрезку. Если опа оюшалась меш,ше Се, то этот иптсграл вычислявгся по соответствузощей формула (1) и программа переходит к <шедуиь щ<шу справа отрезку разбиения. В протинном глучав отрезки [с, (сч-<()/2) н [(с Ч-<()/2, и1 объявляются <правками разбиения и программа сначала обращается к вычислению ипшграла по левому из этих от1кнков.
В начале работы программа обращается к вычислению исходного инт<трала и [ /(х)</л А Распределение узлов, осуи<егтвляемое. этими процедурами, пе является аснМПтОтНЧЕСКИ ОлтныаЛЬНЫЛ< В СМЫСЛЕ, ОнрвдгшжЫОМ В З 11, ПО Спвду«ь щим при пшаы: величина р (/) не является главным иенам погр<шности квадратуры (1), а, как правило, есть некоторая грубая, завьцпенная по порядку оценка для него; отрезки для пего могут принныать лип<ь довольно редкий ряд значений (при этом для первой процелуры онн нмеют вид Ьеа<, а для второй" ( — А)2 "). Ра«смотрим некоторые моне<пи, связанные с практнчвсклл< использованием апв*эяных выше процедур. Чтобы е отдельных случаях сделать ршпредш<ение узлов бале*.
близким к оптнмавьному, иногда вгллчины л<(/), с<хпветсчву<оные отршкам разбиения, <равнввают не с са, а с сей ', где 'г <з<ециахьно подбирается. На пергоню<альном этнпе лрвыенешш ЭВЫ охов<и«эс< традиция щюизыжнть <равнение величины р< (/) с «еличипай сей<, т.е. брать З = 1. Оказалось, "по для резко меняющихся фуикняй получшошгяся распределение узлов было далеко от оптимального, а в случае функций с разрывами программа не могла вычислить интеграл. В свмом деле, пусть, например, О прн я<с, Дя) =.
1 прн з:> с. Глава 3. «1иглевное ивтегрирояаниг 160 Если прн како«»-то о впннчвнв р«(У) со. лержнт одновременно значения У в узлах, где У =- О н У = 1, то р»(У) имеет поря. док Ь», поэтому нвг оснований надевгь«я, что неравенство )р»(У)( > сой» будет выпол|штьсн прп валь«х 1 в программа буде« о с у шест опять щюблс ни с шаг «до мэ» пи ни о.
го в»ля. Если функция меняштя пв мало«« учв«тке очень резко, то шаг будет дробить. сн д«'оправдшпю сильно. Это обстоятшп,- А С В ство бьшо отмечено пасьзоваплямщ и по- «ле теоретического анализа, в рвзуль«ате Рис. 3.17.1 коюрого н бьша решена звлм«а об оптимально««ржлредененин узлов, было принят п«шагать у = О, если пет особых причин против »в|го В случая резко меняющихся функций следует иметь в виду, по программа мов ст ве замвпггь участка резкого измеяения функции. Пусть р(У) = О, когда Дт) =- !',(я) -.
мвогочлев сшпенн, и пусть рекзы«вя нсдьпмегральпая функция спгь У(з) — Р.( ) + а(в), где р(в] прахтнческн отлична от пу»|н лишь на мююм отрвзке, например 1 ( (:г — С)'з ) р(г) = = схр ! Л (рнс 3 17!). Длн опре»|ш««»«постн обра|нмся к первой из опас пшых выпю проц»тур. Если отрезок разбиении(о» |, и») |дэлен от точки С,тор(У) ж р(Р,) = О и программа булпг умшичиввть шас 11рн подходе к точке С швг мо«кот оказаться настолько болылвм, что окрестность, где функпвя р(х) «у«цсственно болыпв О, окажет«я заключенной мол»ду узлами. Тогда р(У) будет Гшизко к О и ва «грюке, содержащем го*я«у С. В резул»што в качество зн««венин 1(У) мы получим зна «гнив 1(Р,); пог|юшносгь этого прнб»шжепного значения бл«юка к 1. Для контроля над точна«тыо можно был|о бы поп«жаться п|юичвестн и«пегрнрованне с друп»м значением со, ош|ако с б«шыпой вв|юягвюстью получился бы тот жв результат.
Не следует Лумать, гго тют |кдоспмок гвойстввн тсмько мвюдам интегрирования с эвтоматическнм выбором ша«в. Если про«гзводнть вычнглсяие этого и«пегРала по фоРмУлаы с постолнньщ п«агом П, то пРи Н Ъ чгс ва. Рвл. з может оказаться, ччо д(х) ж О во всех ганах ннзвгрировання, и мы получим прлблия»ванов значение 1(У) ю 1(Р,). Про»гзводя численное интегри|юванне при нескольких шагах и оцевивая погрешногтг по правилу Рунщ, можно прнйтн к неправильному выяпду, что приближенное значение ««««тегрвла 1(У) м 1(Р,). В целом можно сказать, по в случае непользования алгоритмоп иншгрщюввяня с автоматическим выбором шага возможность получении подобных неправильных выв«шов несколько больше.
Прн сосгю«лепин стзндартньж программ всегда проходится балан«э|ровать и«. жлу лвумя крайностями: гарантией требуемой точности днл любой подынте- "117. Принципы построении сганлартвмх програмлг гральвой 4»унквян илн быстрым «ы пиленцем ннзеграла с нужной точностью длн большинства пре'гьявляеиых к решению зашю. По-видимому, можно говорить о каком-то при»шипе неопределенности по отношению к методам высокой эффективности: дальнейпию повышеяие скорости работы должна сопронождатьш уменьшевижя надежности. Чтобы избежать «проталкивания» облэсшй ршкого кзменення функции, можно предусмотреть я программе наличие отрезков, гдг шаг интегрирования дробится принудительно.
Например, в описание сгандвртной программы мо'кно включить концы некоторого отрезка [о, б). Если огреюк разбиения [о„г, а [ пересекается с [о, Е), то глгьцуюгций отрезок выбираепя по более сложному правилу. В ка ястве [а, В[ следует залаешь вемлорый отркюк, где подынтсгральнея функции резко меияетсн Обрамгм нвимшшо наряддопшгнгггеяьных моментов Пуси дпя гладкой функции Г'(л) р(у) = с.[[.гцю ( ' — ")~(г»г -ог — )""+е(от —, от), 2 [е(пг-~ ог)(<сашах[У (яП(ог — аг-г) л,в Для понимания механизма изменения шага предположим, что )(')(в)— »гусе пю ПОсуо»нгншг функция. В сблж хи постоянства у~ ~ (к) имеем р(() = .[У" (в)Ное — „-г)"'.
Загггздимсн покоторым чисеолг В < 1. Рагсмогрнм случай (г < с*»~ . пусть для пшга )гю с которым мы приступаем к ивтегриронапию в данной обласш постоянства цро»меопной, выполвяеня »со»ионин»не гете')(я)[()М)»ьг < сь Тогда шаг будет увеличнватын юокдый рнз в а ' рнц пока но гшнгт бшьше сь Поскольку прн шаге в п ' ра» меньпюм. выполнннось соотношение р()) < еы то интегрирование будет осунгштвлвться с наименыпии шшом Ь = Ьсс", лля которого с,ф*~(я)()»»ьг > ег. Егли»ке для пачавьного в этой сблж пг шага выполняется сгютношепие с,(г(')(х)[(йе)*'г > ее, то шаг станет наибольшим из шшюв Ь = Ьсог', для которых выполняется ушювис с„[гм~(я)[Ь'»' < ес. Если, «ак мы предполо»кили, с~ (ге = д < '»г, то можне окшаться, что в зависимости от повеления функпни прп меньших г.
в рассматриваемой области выбираются различные шаги. Ь[ы видели, что шаг интегрирования желательно распределял твк, чтобы опенка погрешности на всех отршюъх разбиения интервала якмкрвровапия была примерно одинаковой. Исходя к» сказанного мы делаем вьгнод о желательности употребления В > о*»'. Рассмотрнм глу шй Д > с "»Е Можно укнзагь шаг Ь = Ь,", такой, что еас'ш < с,У~м(вП!г»ьг б со. (й) Если оказалось, чго ег < с.[у~я(н)[)г'ш < ео (б) то при и»петр»»»повалив по рассматриваемому гггрезку будет выбран именно такой шаг. ()днако при геа < с,[г ~(х)[гг < сг = еоб (б) .»в Глава 3.
Числю»г»ое интегрирование 162 программа выработвег слелующнй шаг, равный Ь/л. Для этого шага, вследствие (О], окажется, чта еэ < р[/), поэтому шэг й/а будет пргннан непригодным. Программа возьмет швг, равный 01 поскольку для него выпогп»лего» услолне (6), го интегрирование по юкущему ецюзку будет эвкалчаво и за исходный лют для дальнейшею счега будет приюн шаг й/а. Таким образом, фахгическое интегрирование происходит с шагом Л и на каждом шаге делается попытна прок»вели интегрирование с юмом й/а. Если вычисвения с шщвмп й в й/в независимы, то на каждом шаге об ьем рэбсны булст улваив:ггься. Известен следующий экспериментальный ф»пгп если мы закали»»ся произвольным 1 > 1 и из рюлвчных независимых источников пахучим неко»ар»не числа у, зо величины (1ойх у) будут аси»штатвчески равномерно распределены на отрезке (О, Ц.
Задача 1. Счизвя. чта /1*1(х) числа, происходящие кз пнювнсимых случайных ишг»чникгвй показать, гго при /1 > о'» математическое ожидание затрат рауют пропорционально 2 — )ой г и /). (Отс~ада следует целесообразность выбора /7 = е*'"'.) нвшв рассужденяя прав»алены в предло»оженил, гго /'1(х) = сошг, н поэтому требуют экспериментальной проверки. Исходя из резулывгов такай проверки на практике /1 обвил»о баре»си р»вным или несколько большим, чсн а"ь», например. в одной кз распзюг»рюгавных слвндвртных прогрэ»~м э = 4, в = 1/2, /) = 1/10.
Как н в случае интегрирования г постоянным шагом, возникает вопрос практической оценки погрешности, Обратимгл ка второй процгщуре, имеющей более простое описание. Квк н ранее, проведем исследование на примере кусочно-поглоянной прокшщнгая /1')(х).
Шаг интегрирования в области посюянства /" (х:) для этой процвлуры определяется угловнеьс это паиболыпий пгвг 6 вида ( — А)2 ', для катара»а выполнено условие — ь с.(/ ' (х)(л"+' б га. (7) Очевидно, что для такого максимальнопз шага справеллвэа соотношение са2 (г ы) < сз(/б)(х)(/»»»'. 1!роизведем внтегрираваниа с некоторым г'„< ее. В области, где св < с„)/( )(х)(л < га, »старый» шаг интегрирования будет уже непригоден, поэтому произойдет лробление шага не менее чем вдвое.
В области, где выполняется условие еа2 1*+'1 < с,(/1')(х)(/АЫ < сед, цРоблениЯ шага ве пРоизойдсв Таким сбРазам, пРи ее2 1»ьг) < е~~ может случиться, что дробление шага интегрирования произойдат лишь нв части отрезка интегрированил или его вообще не будет. Из сравнения 163 1 17. Принципы построения стае,вареных программ результатов расчетов с се и со мы не получим информации о величина погрешаогчи интегрирования в той области, где дробления шага не произошла.
При условии ге ч са2 (8) шаг дробится всюду, однако отсюда не сзшгуиг, чго сравнение разул»- татов расчетоа с сс и гпобым ее, удовлетворяющиы (8), дает надежную пзрыггию точности результаты Задача 2. Пусть ге < ге2 !» Ы!. Подобрать пшггоянные сп сз, С закис, что при ( сг на [А,С[, (66(г) ~ ст на [С,В) пйиближггшые значеииа 6',е(() и Яг,()) интегРала, соответствУюшие ео и с!и будут сдинакоными, в погрешность отлична от нуля. Вели 1!'!(и) вспрерывназ то при ге — — сс2 !ы ! и при введении в ю~горитм условия уменьшения максим»льнога шага, пропорционального Н!»Ь!1 сед*, можно щзедложить и обосновать аналог правила Рунге оценки пот!юшносггг здею, т + 1 — порядок главного (при ш»х(а — а„!) -4 0) члена погрешч ности квадратуры (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
