Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, ]1(х) — Гь»,„(х)] < б па этом отрезке при достаточно малом После проведения аналогичных рассуждений относитевьно остальных отрезков [«, г, «,] мы сможеы указать малое 4> такое, что на всех отрезках выполняется неравенство Ях) — 1ф(х)] < А. Мы получили прети«прочие с предположением, что Яи(х) — многочлен наилучшего приближения, а т < и+ 2. Теореыа доказана. Теорема единственности. Мио»очлеи иаплрчшего р»еномерного прпблн- ххенпл непрерывной функция единсшеен. ,Ь(сжазапильсвию. Предтюложим, что существуют два многочлена степени и авилу ппего равномерного приближения: 42» (т) ф (]~(х), ][у — Ьф) = )]1 — Яэ][ = ЯЯ. Глава 4.
Приближение функолй н смежные вопросы 132 Вычитая вервие уравневие из третьего, г(й) получим 1(Ь) — у(а) = а~(Ь вЂ” а). Отсюда нв. г'(а) ходим гч = (Г"(6) — 1(а))/(Ь вЂ” о). Для опро. деления неизвестных с1, Д оо, а, и а = «-1 у(Ь) или сг = — 1 получено всего три уравне. ния. Очнако следует вспоьпгитгь что точ.
ка И является точкой зкстремума разно. гти 1"(х) — (ао+ а~х). Если Х(х) — дифферепцируеыая функция, то для определения И имеем уравнение )ь(а] — а~ = О. Теперь определяеы ае, например из уравги Рис. 4.6.1 ния, получающегося сложенлем первого и второго уравнений. Геометрически эта процедура выглядит следующим образом (рвс. 4.6.1) Превысим секущую через точки (а,)(а)), (Ь,)(6)). Для нее тангенс угла ваклона равен аг. Проводим парвзшельную ей касательную к кривой р = 1(х), а потом прямую, равноудалышую от секугцей и касательной. а й Ь Задача 3.
Построить пример функции (естественно, нс непрерывной), цвя которой мпогочлен наилучшего равномерного приближения не удо- влетворяет условияы теоремы Чебышева. Задача 4. Пусть з'(х) =- (х~, (и, 6) =. ( — 1, б). Построить многочлон наи- лучшего равноыерного приближения первой гпепени. 3. Функция Дх), удовлетворяющая условию 1( гц(х) > О, приближается па (а, 6) многочлепом наилучшего равномерного прибгижония степени и; требуется оценить величину В (1). В З 9 гл. 2 мы имели оценку погрепшосги интерполяции по узлам, являющимся нуляыи многочлеяа Чебьппсва: и + 6 Ь вЂ” а /к(26 — 1)) хь = — + сов 2 2 1 2(и+1) в именно (Ь вЂ” а)е+г ) ((х) ~ (х)) (гпжх (Х (х)() 2зе«г( 1)~ Отсюда следует неравенство В (') '1(.'ь) (~ ( )() 2 +г(п+1)Е Пусть й„(х) — многочлен наилу.ппего равномерного приближения.
По- :кольку вследствие теоремы Чебышева разность у(х) — Ггв(х) меняет знак Задача 2. Построить приыср функции н соответствуюпгего многочлена первой степени наилучшего равномерного приближения на (а, 6) так, что- бы среди точек чебьппевского альтернанса не бьпю точек а и Ь. 183 16. Примеры наилучшего равномерного приближения / ( ) ( ( ) / ( й ( ( ] ( -р 1)! ' где ы лг(х) = (х — р~)... (з — р„.лг), ( = ((з:) б (а, Ь]. Пусть шах(ю„ш(х)( =- (ыие,(хе]], (.Ч Ил~сваг тч (У) = ]]/(з:) — (З (хИ( > (Х(хе) — ьГ (хе)( = ~ ]агам(хе]/ / ( П ] ( /ы ьг(х]/) ." "' ') -'~".", ]("." ) Согласно (2.6.6) выполняется псраеевстео гпах(ы„е~(х)( > (Ь вЂ” а]Я~'/2з л~. Огсюда следует оценка ( ]/ ( ]]) 2 ( й ' ) 2"'+'(и+И!' (2) Таким образам, если /1н+г](т) сохраняет знак и меняется не очень силь- но, то разна<шь между погреппюстью многт>члена паллу ппего равномер- вого приближения и иптерполнцнонгюго ыногочлана по нулям миогочлс нов Чебьппева несущественна.
Задача 5. Доказать, чтю в случае, косую /("+'1(з:) сохраняет знак на отршке (а, Ь], чебьшювский влшерванс содержит точки а н Ь. 4. Рассмотрим задачу нахождения мвогочлена наилучшего приближь ния степени а в случае, когда /(и] = Р„ьг(х) = ао-~- -~-а„лгх зз, а„.„, фб. Торга /(а+г](х) = а„+г(н+1)! и оценки сверху (1] и снизу (2) для Еа(/) совпадает: Е„(/] = (а„л,((Ь вЂ” а)а+'2 з" Таким образом, многочленом наилучшего приближения окезьпиется интерполяционный многочлен (~„(х) с узлалги интерполяции а+Ь Ь вЂ” а /я(2Ь+1)У вЂ” 1=1,..., +1.
2 2 Х 2(п -~- 1) / ' прн переходе ат одной точки чебыпюаского алншрнанса к друмй, то ова сбршпается в нуль в (и+ 1)-й гючке ры..., р еь Пснтому многочлев 11 (х) можно расслштривнгь как ивтерпсляционный с узлами интерпслнцин рг,..., й лг. Согласно (2бй1) имеем представление для погрешности интерполирования шгедующего вила: Глава а приближение функций и смежньп вопросы Можно получить другое представление этого многочлена наилучшего приближения, записав его е виде 12х — [а+Ь) г (Ь вЂ” а)итг Я„(х) = Рве~(х) — е ьгТ„ь1 [ ) „, .
(2) Ь вЂ” а Действительно, выражение в правой части являвтся многочлоном сте- пени и, поскольку козффициент при х" ~ равен нулю. Фбчки:а; аПз' +:тисов „+,, г = О,..., и, образуют чебып1евский алшернанс. Ь. Пусть [а, Ь) =- [ — 1, Ц и у(х) — нечетная функция тносительно точки й = О. Покажем, чгч> азате многочлен наилучшего приближония любой озелени нечвген, т.е. записывш.п:я в ниде суммы нечвгнык сюпепей х.
Действительно, пусть 1)„(х) — мноючлен наилучшего приближения для Дх). Имеем [[(х) — 1г„[зб)[ < Е Я. Пгкле замены х на — з: и умножения выражения под знаком мгдуля на — ! получим [ — у( — х) — ( — 1гч( — х))~ < Е„('), [У(х) — (-гЫ вЂ”:)) ~ < Ее([). иначе 6. Пусть требуется приблизить функцию у(х) = хз на оцюзке [-1, Ц многочленом наилучшего приближения первой степени.
Прг;цшссгвующим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным. ю его доггаючно отыскивать сроди мне)амшенов вида Я1(т) = гг|ь. Второй путь: поскольку многочлеи наилучшего приближения второй сп.пони для данной задачи оквзываетгл многочлгном первой степени, то исходная задача зквивалентна задаче построения ь1ногочлена наилучпнго приближения второй стопени.
Последняя за,чача наилучпито приближения лпюгочлена многочленом стопани, на единицу понырей, уже нами рассь1атриввлвсь. Задача 6. Пусть 1(х) — чсчная функция гггносительпо серодины глрсзка прибгпгжения [ — 1, Ц: /(х) = Д вЂ” х). Доказатгч *по многочлен наилучшего приближения Ьг (х) чаган. задача 7. Функцию 1"(х) = екр(хз) приблизить на отрезке [-1, Ц мно- гочленом наилучшего приближения третьей степени. Примечание.
Из решениа предыдуп1сй задачи следусц .гго зют многсчлен имеет вид ае-~-взхз. Задача эквивалеатна задаче ааилУчшею пРиближения функции 11[у) = е" на отрезке [О, Ц многочленом вида се+азу. 7. Очень часто бывает, ччо мвогочлен иавлучгпего равномерного приближения точно найти ве уджтся. В атак случаяк юпцегса многочлен, близкий к Слгдовательаа, ь1ногочлеп — гав( — х) ззкже являеття многочленом наи- лучшего р;шпомерного приближения.
По чеореьгс единственности имеем 1)„(х) = -1ге(-з:), что и требовалось доказать. 183 ) б. Примеры наилучшего равномерного приближения мпогочлену наилучшего приблиэкения. Рассмотрим примеры такого рона. Длл простоты рассматриваем случай приблюкения на отрезке (-1, 1). Разложим функцию 7(х) в рлд по ортогональной системе мношчленов Чебышева: У(х) - , '. 371(х). ь=о Отрезок итого рвла а1зТ. (х) э=с невысокой степени гасто обеспечивает неплокое равномерное приближенна 1!ногда бывает затруднителывз вычислить явно коэффгщненты Им во зато известно резлоигение Тейлора Х(х) = ) с,х', з=с сходлпдмгл прн )х) < 1.
тогда применшот следующий метью (аазываемьшй иногда пгелссковн"гескеы). Вмбирают некоторое и такое, что погрешность формулы Дх) Р„(х) = ~ о,хг шс юглявн:в достаточно мшюй. Затем прибпнжюот многочлен Р„(х) многочлеиом навлтчшего равномерного прнближевия Р„г (х). Согласно формуле (3) имеем Р г(х) =- Р„(х) — п„7 (х)2~ Поскольку (Т (:с)( < 1 на отрезке ( — 1, 1), то (Р„,(,) — Рв(х)( < )о.(г'--. Далее приблиэкают многочлен Рв г (:с) многочленом наилучшею равномерного прибзппконив Рь з(х) и т д. Понижение продолжаетгя до тек пор, пока погрешность от таких погледовательвык аппроксимаций остается малой.
Рагсматргшаемый прием моигно описать еще и следующим сбршом. Разлшким многочлев Р„(х) цо мвогочлепам Чебьппсва: Р„(г) =- ~ 3„7;(т). з=а Введем сбозначсчгия О,(х) = 7 г(17г(х) при гп < и. з'=.е Всякий многочлвн О (х) является многочленом наилучшего равноькрного приближения сшпени гп дзш миогочлена Я ег (х), при игом Е,„Я„,тг) =))Омтг — (;1 )( = (й ег(. Это следуец например, нз формулы (3) или ншнюредстненпо из теоремы Чебышыш. Отсюда вытекаез; что () г(х) =- Рн,(х), О„т(х) = Рн..т(х) и т.д. Глава 4. Приближение функций и смежные вопсюсы Таким образом, сущность описюснаго метода заключеетсл в слелуюс кем.
Исход. паэ функция приближаегсв отрщком ее ряпа Тейлора Р (х). Затем многочлен Р (х) раскладывается па многачченсс Чебышева и атбрэсывэюня несколько последних членов рюлалнния. Так как )Р„(х) — Рн(х)! < ~ )4,(, с= ес та общие опенка погрешности такова; )1(х) — Р„,(х)! < спас)1(х) — 1'„(х)!+ ~ )сз(. с= итс Рассмотрим задачу приближения фуякции 7(х) = щсебх на атрс.же (-сй(лсВ), 13(т/8)) с точностью О 5.10 ь. Для дастлжения *акой точпссти прэ аппраксвмалнн отрезкам ряда Теююрэ требуетсн палажсссь э ь 7 .е ..11 эгггй:с и — — + — + 3 5 7 9 11 Приблизим полученный многочлен миогочленолс наилучшие приближопия степени, нэ единипу меяьщей.
Повторяя данную процсдурс трн раза, па.сучим многочлев Рс(т) = 0,9999374х, — 0,3303433хс Е 0,1032823хэ, тюс>ке обсспечивщощий требуемую точнщть. ()тмегим, чта здесь ит-зн нечетнасги исходного мсюгочл~лса показатель сцщени на каждоьс шагЕ уменьшался ев 2. Задача 8. Пусть функция Дх) непрерывна на отрюке ( — 1, 1): 1„1п+с(х) =- сс.+стус + "+,. , а+1 Доказать, что Е (1') > (а„щ)2 "— ((1 — 11„ьс((. Задача 9. Пусть У(з:) = ) г21(х). г=-с Доказать, чта Е (Х) >)й+ ( — 3, (41(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
