Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из соотношений (5) следует и!т(0) = вт(1) = О, хаги, как правило, (в(0), гв(1) ф- О; поэтому точность приближенных формул )"(")(х) — вз (т] вблизи границы ухудшаегся. Если значения )'в(0) и ув(1) извешиы, то в (9) пря п = 1 и и = )(à — 1 следует положить Мс = уи(0) и Мл = (гг(1). Оказывается, что для повышения точности целеиюбразно зцлавать в точках хо, хл значения первой производной. Дифференцируя (8), имеелг Мобг Мгб Х(хг) — Х(хе) вз(хо) = —— 3 б л, В случае, если величина )"~(хв) известна, полапгем правую часть равной (~(хс) и получаем дополнительное уравнение, свяаывающее Мо н Мг. Обычно значение г"'(хе) неизнесгно, поэтому поступим следующим образом. Определим интерпапяционный многочлен Яо(х) третьей степени, совпадшощий с 1 (х) в точках хо, хг, хг, хз. Величину 1'(хо) заменим выражением Оо (хо).
Окончательно получим бг М г(х ) — г (хо) () ) 1 рвала 4. Приближение Функций и гмежж«е вопросы 198 Последняя формула может быть записана в виде А, А, А, „ Ьг — М + — Мг = — Оо(ха) + —,Оо(~~). 3 6 3 6 Аналогично построим интерпаляционный многачлен третьей степени Оп(х), совпадающий с 1(х) в точках хл, хи и хп — г, хл — з. Коэффициенты М. будем находить из системы уравнений, состоящей из совокупности уравнений (9) при и = 1,..., 1Ч вЂ” 1, и уравнений Ь, А, бп „ Ь! — Мо + — Мг = — 4 го(хо) + Юо(хг) 3 6 3 6 1гм Ал Ал ° Аи л — М ч-г + — Мл = — ~Ыхи) + —.Ял(хь -г).
6 3 3 6 (16) Часто вместо Оо э Огг лу ппе брать многачлены четвертой степени, соввада- гошие с Пх) е пяти крайних точках. Задача 3. Пусть А„: — А = 1/Ж. (1"(41(х)( < А». Показать, *по для сплай- иа, определяемого системой соотношений (9), (16), выполиегп» оценки игах)11»1(х) — э(г~)(х)~ < сопзо «1»А~ ч, д < 3. (о,б --* +-)х) 2 г 1 з 3 2 -(2- )х)) з 6 0 при )х) < 1, при 1<(х)<2, при 2 < )х(. В(х) = Описанные выше сплайны чжто неудобны из-за евсей нелокальности: значение шглайна в точке х зависит от зн»юний 1(х ) во всех узлах. Если в процессе рабаты со сплайнами (а она часю проходит в диалоговом режиме с визуализацией рьэультатов на экране) требусгся исправить одно значение, приходится заново решать систему уравнений (9).
Особенно эта процедура неприятна в случае приближения функций многих переменных многомерными сплайяами. Чтобы избежать этого, используем так называемые локальные (авпракшьмацповпме) сплайнм. Локальный сплайн первой сжпани сошгадасг с построенным вьппе сплайном эг(х). Локальные сплайны более высоких степеней, как правило, не совпадыат с 1'(х) в узлах х„. Однако эза абстоягэльство не носит принципиального характера.
Все равно, как правила, знагения 1(х„) гивесгны с некатоРой погРешностью б„, те. налг заДаны величины 1 =1(хэ) -~-б . Построение локального сплайна третьей степени опшпем на примере случая пост»минога шаг» Ь и А = 1/)Ч. Для этого используется стандартный сплайн В(х) третьей степени, определяемый соотношениями 100 28. Интерполяция н приближение сплайвамн Локальные сплайны третьей спюени Вт н Вз записывают в виде (1) (2) РО-1 Ь(')(х) =- ) о(()В ™), 1= 1,2; 2 — -1 способ выбора п01 будет указан ниже. Задача 4.
Докашптн что при любых 11„' функции Ьт* являюгся сплай(*) нами третьей степени, причем Вз' =. 0 вне отрезка ( — ЗЛ, 1+ 3)1). () При 1 =! доопред1ляют значения 1 1 и )лсы линейной интерполяцией по значениям Д, ("1 и Ун, гл 1, сглггвггогвенно, т.е, берут (" 1 = 21с — Д, ~и<.1 = 2~у †,(и 1 и полаппот п = Х„ при — 1 ц и < У -~-1.
При 1= 2 доопределяют (" 1, у 1 и ~мы, )нет кубической интерполяцией по значениям уе 11, 12, 12 и (лч ул.-г, ул 1, ую 2, сотв1пстъенно, и полагают Конкретные формулы для вычисления величин 7 1, 1 1,,(ль1, Ддьт имсг 1ОГ ВИД У 1 = 4Д вЂ” ОД ь 4(2 — ~з, у — 1 = 10Хе 20Л+ )бай 4Ь Дл.ь1 = 4~и — 6(н 1+ 4~м-2 — (л-з, Хлл(2 = 10Ь вЂ” 20Хл 1+16(л-2 — 4Лч з.
Задача б. Показать, что значение В( (х) зависит то1п,ка от значений О) Ка в четыРех ближайших к х тъчках х„, а значениЯ В (х) в шести. Р) В случае, когда погрешности б велики, чаще используь22 сплайны В( (х), а в 01 случае, когда палм — сплайны В» (х); дело в том, чю сплайны Вз )(х) обладают несколько лучшнл1и свойствами сглаживания погрешнаггей в значениям 1" (х ), но обеспечивают меныпую точность в случае б„ы 0 и гладкой ((х). Задача 6.
Показать, что В,' (*„) = Уе, В,' (хл) = (, 00 (1) Вз (хо) Уе Вт (х() Д Вс (хл — 1) гм-1 Вз (хл) Хм (2) (2) (2) (2), Совпадение сплайвов Вх(0(х) и Вз(21(х) с Пх) в ковцеаьж точках существенно упрощает применение таких сила(аюв в задмгех мыпянной графики. Глава 4. Приближение Функций н смежные вопросы Зада.га 7. Пусть (У(Ь)(х)~ < Аь при й .= 2, 3, 4. Показать, чта шах В1 )(х)]Ф) — 71 У(х)! < сопя!.6 " при й < 1, (о,ц п1ах(Во( (х))Ф) — 1(">(х)~ < сАол~ ь при ус < 3. (о,й Рассмотрим подход к построению сплайнов, основанный на идее регуляризации. Пус~ь известно, чта погрешносггн бэ - случайные величины с ман:матическиьо ожиданием Мб„= 0 и дисперсией 6. Минимум уз(о) ищут при условии Рис.
4.8.1 ~(о(х„) — 1'„)з < с()!У+1)6~; (17) постоянную с порядка 1 выбирают экспериментально. Как правило, левая и правая часп1 условия (17) равны в точке минимума Рл(э). Поэтому обычно вместо исходной задшги рассматривают задачу безусловной минимизации по Л и о функционала ,Уз(Л, э) = ут(э) -~- ЛД (э(х,) — лэ) — с(7ЛГ Ф 1)б ). =о Рис. 4.8.1 соответствует некоторому конкретному случаю приближения цри 17 = 100 и с = 0,9.
При каждом фиксированном Л вели унна У(Л) = !пу.'х(Л, э) определяется с помогцью решения системы линейных уравнений. Для нахождении шуэ(Л) применяется какой-либо метод ми- Л эимизации функций одной переменной (см. гл, 7). Литература 1. Бабенка К. И. Основы члсленнога анаэвза. — М.: Наука, !986. 2. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппрокснмшлин Паде. — Мс Мвр, 198б. 3. Завьяла» Ю. С., Квасов Б. И., Мнрашннченка ВФБ Мсчспы сллайн-Функцяй.— Мс Наука, 1980. 4. Стечкни С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вьшнсллтельнай математике.— Мс Наука !978. 5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задтс — Мл Наука, 1980.
б. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. Глава 5 Многомерные задачи в хзопросы приближения, интерполирования, численного нишгрировапия и дифференцирования функций одной переменной, как видно из предшествующего, разработаны досшточно подробно. В настоящее время на основе ргпультвтов теоретических иссэедоваинй создал1ы доволы|о развитые системы спщлартных программ решения одномерных эцтач. Значительная часть результатов теоретичесхнх исследований для одномерного случая может быть переныпна на случай функций двух и более переменных; однако при этом могут появляться практически недостлшчно эффективные методы.
При теоретических пошроениях задачи разбивают на классы, например выделяют класс задач вычисления интегралов от функций с ограниченнымн щюизводными, а затем проводят исследования, связанные с этими классами задач. Конечна, принимаемое описание не всегда (скорее даже редко) хорошо описывает класс реально встречающихся задал однако скорости современных ЭВМ таковы, что, несмотря на грубость описания одномерных задач, удается решать бельшинство из них, пользуясь стандартными методами, разработанными в результате теоретических исследований. Трудоемкость решения задач резко возраппк;г с ростом их размерности, и поэтому, как правило, не удается разработать стандартные мшолы решения широких классов многомерных зада г со столь же высокой точностью, как в одномерноы слу ые. Несколько утешает следующее обстоятельство.
Многомерныг математические задачи обычно вгнникэют из описания сложных щюцсссов. Обычно уже зтн описания яышются довпэьно грубыми, и поэтому значительно реже цредч,является требование решения этих зэдш с такой же высокой точностью, как в цпномерном случае. Например, требования к точности решения уравнений газовой динамики существенно ниже требований, предъявляемых к решению уравнений баллистики и небесной механики. Не следует, цгшако, думать, что решение многомерных задач является почти безнадежным делом. Развитие теории мешдов решения многомерных задач и повышение скорости работы ЭВМ, несомненно, повлекут за Глава 5.
Многомерные задачи 202 собой создание сшидартных методов решения таких задач и, как следствие, снижение предьявляеьгых требований к квалификации погпжователей. В настоящее время труднссть многомерных задач требует, как правило, привлечения к их исследованию специалистов более высокой квалификации. В настоящей главе рассмотрены вопросы интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования функций в случае нескольких пространственных переменных. В 1. Метод неопределенных коэффициентов Решение ряла многомерных задач часто сводится к решению следующих элемончарных задач. Пусть в некоторой области в-мерного пространства С заданы точки Рг,....рл и значени» функции 1 в этих точках.
Требуетож 1) получить приближение к значению функции )(Р) 2) получить приближение к значению некоторой производной Юу Функции в точке Р; 3) вычислить интеграл 1(() = ~ 1(Р)р(Р) ВР, где р(Р) -некоторая весовая функция. Простейгпим способом решения этих задач явяяетсн многократно применяшпийся нами в конкретных случаях метод неопределеннмт калсфге цггепглоо. Пусть из вязких-то соображений известно, что фупкцнв )(Р) хорошо приближается линейными колгбннациями вида И ~ В ыг(Р).
ж.г Потребуем, чтобы такая линейная комбинация совпадала с 1(Р) в заданных узлах, т.е. выполнялись равенства В ы (Рч) = ЯРч), о= 1,..., Дг. (1) Предположим, что г)е$)(ы (Рч)(( ф О. Тогда л~атрица ))ау(Рч))) имеют обратную А — — ))агч)) и решение системы (1) записывается в виде В =) а.у(Р). (2) ещ д(Р) = у В1ой(Р) 203 5 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
