Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 39
Текст из файла (страница 39)
о с Уравнение Эйлера для этого функционала записывается в виде Л'дэ — (д — У) = б. Непосредственной проверкой убеждаемся, тго функция АО дгл(х) = ) г г екр(2я11х) Явлаегса Решением этого УРавнениЯ. ПРоизведем сРавнение дг(х) н 1(х) лдя малых Л. Если )2Ляу) с< 1, то коэффициенты Фурье этик функций Аэ/(1+ (2Ляу)з) и Ае близки между собой.
Если (2Ляу) » 1, то коэффициенты Фурье функции дд" (х) много меньше козффнциевтов фурье Функции У(х). Таким образом, на языке техники регуляризация равносильна некоторой «фигштрзции»: несущественно искажая шрмоиики с Глава 5. Многомерные з»да'с 210 малой частотой колебания, она сильно ослвбияег гармоники с большой частотой. агля требуется еще меньше исказить амплизуды Ас гармоник с малой частотой и лучше»отфильтровать» высокочастотные колебания, то можно рассмотреть функционал г! , ! Ф„(Л, д) = / (д(х) — /(х))згй + Лз / (д!"!(х))г»1х.
а е Уравнение Эйлера для зтоп> функционала имеет вид Лз д(з 1+( 1)ч(д Х) .=.0 отсюда Ав дв(х) =- ) >, в ехР(2Я(ух). 1+ (2Л»гу)зв Рассъютрим графики множителей 1/(1+ (2Лк!]гв); при ]1] < 1/(2»гЛ) и п — > со зги множители стремятся к 1, и, ты!им образом, при болыпик г> амплитуды соответствующих гармоник искажаются все меньше и меныпо. В то >ке вре»ш при (1] > 1/(2яЛ] зги множители стремятся к 0 и, таким образом, соответствующие 12ку=! Рис.
5.3.1 гармоники умножаются на все меньп>ие множители (рис. 5.3.Ц. Ланям образом, при и -> оо и 1/(2тЛ) не целом д»,(х) ->д~(х] = ) А>екр(2в11х). 0(<1дг»л) Вернемся к дискретному случаю. В выражении Ф>'(Л, д) величина дг вхо>егг только в сумму глаше»»ых /]»+Л»Л(/дг»> дг] +/д» д» вЂ” >) ) 211 23. Примеры регуляризации Имеем сисюьгу уравнений относительно значений дг з точке чкстремума: 1 дйьг Лг — — = (д — 7) — — (д — дд +д — ) =П. 28 ад ' " йг ч (7) Будем обозначить решение (7) через дю Матрица системы уравнений (7) о иоситезьио неизвестных дг говпздзет с матрипей пазожительно определеияой кввдратичвой формы и-г Л, и-! Еде+ рХ:(деы -ж)', г=-е г=е поэтому ее определгггель отличен ог нуля, и система (7) имеет, и пркюм един- ственное, реюеиие. Пугть Д = ) А, схр(2х(ухе).
— л/2<2<к/2 Будем отыскивать периодическую функцию дл в виде дг ехр(2я(ухе) = ехр(2217кттг) — 2ехр(2т17хе) 4 охр(2ягуте г) = = [ехР(2Я17/г) — 2+ехР( — 2Я178)) ехР(22пгхт) = = (2сги(2т76) — 2) ехр(2х(ухе); отсюда получаем д ехр(2т27хе) = — 4вш (т7/г) югр(2ю(7тч).
(8) Подставим представление А и де в вкце суммы Фурье в (7), преобразуем ьторуго разиоогь бгде с учетом (8), привсделг подобные члены и получим з2 — и/2</<м/2 т Это равенство будет удовлетворяться при ,(< юЯ Таким образом, л А/ дч =- Е ,-р(2 17*,). — л/2<зим/21+4гг (г' 727л) д,", = ~ А" ехр(2я(ухт). -л/г<2е<м/2 Сначала вычислим оператор второй разпгю."ги ег/е — — Дтг — 2~2+Д г от фУнкЦии ехР(22ггутт); )'лава 5. Мйюгомерные зэ,качи зз — ! М,гожнгель [1+ 4лз (~~-(лц — 1) ~ Убывает с Россом 11 Следовательно, Ре- гуляриэация с использованием функционала Фьг(Л, д) также приводит к ослаблению высших гармоник функции.
По аналогии с функционалами Ф„(Л, д) можно осуществлять регуля ризацию с помощью функционалов з з ~'Ьд 2 Ф,',(Л,д)=ЛЯ(д,— ))з+Лз"ЛЕ ( дел . э=.е е=е Решение системы уравнений (7) и сисгем линейных уравнений, возникающих при минимизации функционалов Ф~',(Л, д), можно получить за 0(п~И) арифметических операций ь~етодом прогонки решении периодической сеточной крышей задачи (см. гл. О). По сравнению с регуляризацией с помощью функционалов Фь(Л, д) при н > 1 часто бывает более удобна и-кратная регуляризапи» с помощью функционала Ф~г(Л, д). З 4.
Сведение многомерных задач к одномерным Вьппе рассматривались способы решения многоморных задач, не требующие дополнительной информации о распределении узлов хг,..., хм, в кигорых известны значения функции. Такие способы применяюгси в случае, когда отсутствует возможность рэспоряжатыж выбором узлов. Кслн рассматриваемая функция задана аналитически, то узлы можно выбирать по желанию.
При удачном расположении узлов приближение, интерполирование, численное дифференцирование и интегрирование функций ьпюгих переменных могут быть сведены к последовательному осуществлению этих операций над функциями одной переменной..Рассмотрим случай расположения узлов, изображенных точками ° на рис. 5.4.1. Здесь множество всех узлов й разбипается на подмножества узлов йг,..., й„„(в,ванном случае пм =-5), лежащих соответственно на прямых яг = кг ... хг = хг Рассмотрим задачу вычисления значения некоторого оператора чэг(ре) у1 ь э)(хе хе). Точка (я~е, хзе) на рис. 5.4.1 изображена символом е.
Частный случай гг = гз = 0 соответствует запвче вычисления значении функции. ) 4. Сведение многомерных задач к одиомерныи Возьмем какую-либо формулу вычисления производной дйй(хг) по значениям функции в узлах а«1Н Прн этом не имеетсн в виду, что используются значения функции д ео всех точках ез'. Например, в случае численного дифференцирования речь может идти о пРостейшей фоРмУле числе«того диффеРенциРованиЯ по ближайшим к э:1 ДвУм Узлам.
«Е Подставляя д(хг) =- 11е*'11(х1, азе), получим «й«, «)( о е) ~ А ((е, «)( 1, е) ««=1 [точки (х«е', хзе) изображены на рис. 5.4.1 символом *). Задача численного дифференцирования функции двух переменных Дх«, х«) свелась к задаче численного дифференцирования функций 1(х~ ',хз) одной переменной. Закан задача уже рассматривалась ранее. Пусть (х',", т«" ),..., )з1, «с« ' ) — узлы, образугощие множество Йм, При каждом 41 возьмем некоторую формулу вычисвония прокчводеой д1 «)(хз) по значениям ф1'вицин В узлах аз« 1««) й«1( е) Е Ан и (хп«').
Подопгвляя с«ода д = 1(а«', хз), аналогично (1) получим нй«) (1е,гэ)(х««,гэ) ~ А (( 1 я« ы) (2) .72=! Воспользовавшись этими соотношениями, из (1) получаем еЫ ~1 «,гг)(хе яе) ~ А 2 А ((аз«х«п) Замен«м, что формулу (2) нужна строить лишь для значений 11 ташх, что А«« ~ О. Наиболее часто узлы располага«отса в уааах некоторой сетки, являюцейся произведением одномерных сеток й=й1х . ° хй„ Глава 5. Многомерные за Ла»Ь 214 иначе говоРЯ, Й состоит из точек (т,",...,и,') пРн 22 = 1,...,!Хг,. 1, = 1,..., Лг,. В случае расположения узлов в верпшпах такой сетки же формула численного дифференцирования получится, если поыенять местами численное дифференцирование по переменным тг и яз, т.е. сначала ишачить некоторую формулу (1ь г!( е е) ~ ! (1 ьс1( е »г а затем воспользоваться формулой Численное дифференцирование (интерполирование) функций большего числа переменных производится аналогично последовательным сведением к численному дифференцировапюо функций на единипу меныпею числа переменных.
Прн численном дифференцировании функций мнагях переменных ну>кис особеняо следить за величиной отбрасыввеьгых полночных членов. Рассмотрим, например, задач!; где применение описанного выше приема логледовательного численного дифференцирования ьюжет привести к получсниго неправильной формулы. Пусть зна*гения функции !"(яг, 22) игвестг~ы в 1злах сетки (ггобг, пгхлт). Треб1ется вы гневить значение 1,ю(0, О]. Выпишем простейшую формулу числегшого дифференцирования функции одной переменной ! (я -!-!ц) — ! (х) Лг По формуле Тейлора !2 г(х 4 Л) = !(я) -р 1'(я)л+ уг(я+ Вл) —, 0'< В < 1, 2' Х'( ) = ~( Л) Л ) — уг( +Вл) —.
л 2 Повюму можно паписагг» что (...,(О, О) = ~*2(йм О) ~*'( ' ) — !...,(ВЛ,, 0) †" . (4) 1 В свою очередь, возьыем какие-либо апп1юксимавии производных ! „(Лг, О), ! г(0, О). Иькеы равенства: !.,(Л„О) = ~( ' Л') ~( '* ) —,(..в,( „В,,) — ", (6) Л2 ! (О 0) = г(0, 0) — У(0, -Лг) ! (О В,Л )! †" (6) 215 24. Сведение многомерных зализ к одномерным После подстановки (5), (5) в (4) получим «()22, Ьг) — «(Ь„О) — «(О, 0) -)- «(О, -Ь,) «...,(О, О)— г! 2 (7) — «ег (ВЬО 0) — — —,(гы (О, Вгбг) — — «г 2(Ьы Вгйг). 3десь при построении бюрмулы численного дифференцирования ° дноврелгеано учитывался остаточный член. Сгютношение (7] можно пераписшь в виде «м„(О, О) = «()п, Ьг) — «(Ь,, О) — «(о, о) 4 «(о, -Ь,) Ь|И2 — «,„,(О, 0) 4 0(Ь), Ь.
= шал (Ьм Ьг). Таким образом, если бы ыы не обращали внимание ва величину погрешности аппроксимации, то получили бы прггближеннуго формулу с конечгюй погрегпностью .«м*г(О, О] = «(Ьг 52) «()и, О) — «(О, 0) )- «(О, -Ьг) Ь,Ь2 в данном глучае аппроксимиругощуго пе требуемую производную, а выражение «, 2(0, 0) -)- «2(0, О). Еслгг в (5) и (б) использовать одни и те же формулы числоннога Лнфференцирования по переменной 2:2, то вместо (7) получается формула с погрешностью, стремящейся ь нулю при Ь -2 О. Например, вместо (б] всаиользуемся равенством ,«,(О 0) = « г,(О, Взбг) †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
