Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(8) 52 После подстановки (5) и (8) в (4) получим «.,„2(О, О) «(Ь„) 2) — «(Ь„О) — «'(О, Ьг) + «(О, 0) Ьгйг Ь, 1. 1 — «,гю(ВЬ„О) — — — «' ы,(162, Вгбг) + -«ьг. 2(0, ВЗЬ2) Если производная « . „непрерывно диффгренциругма в окрестнопги начига координат, то 2(аг*,(0 В2Ьг) — 2«г,(Ьг, Вг)ш) = О(Ь); пгитаму «(Ьг, Ьг) — «(Уц, 0) — «(О, Ьг) + «(О, 0] *1 2 ЬЬ Мы получили, что формула численного дифференцирования «(Ь,„Ь,)-«(Ь„О) -«(О, Ь,)+«(О, 0) (О) имеет погрегпносгь О(Ь).
Глава 5. Многомерные задачи. 216 Покажем, «ак получить формулу (9) ь»етодом неопределенных коэффициентов Зацазлмся видом формулы численного дифференцирования а/(Ь», 1»») + ЬУ(Ь», 0) -»- с/(0, ~и) -~- д/(0, 0) (ГО) Такой вкл правой части выбран из саабразхсиой размсриосшо. Пусть И вЂ” обо. значение размершкти некоторой величины; например, если х — око»юсть, то И = м/с.
Производная /,„имеет рвзиерность [/]/([т»] [х»]), функпия /- рвзмерногхь [У], Ь» — размерность [х»), Ьз — размерность [х»]. Таким образом, величины /(Р)/(Ь»Лз) имс»ш ту же размерность, что и /„„»»оч»ему ес»ь шмованш» ожидать, что в разумной формуле чигленного дифференцироващш (10) юмффицигнты а, Ь, с, И будут безразмерными в»личинами, ве зввисящи ь»и от шагов сетки. Положим Л(У) = /м „(О, 0) — Ц/). Выпишем рзшюзшние Тейлора для /(:с„х») относительно точки (О, 0) с»очнастью до членов второго порядка: /(х„хз) = Рз(х„хз)+с[У), Р, [х», хз) = /[О, 0) + х»/ю (О, О) + г»/гм(0, 0) т + — г»У.,*, (О, 0) + г:г»У.,*»(0, О) й -хз/.,.»(О, О). В предположении, что / трюкды непрерывно дифференцируома, можно показать справедливость соотношения (г(У)) „»[1о о1 —— 0 и г(/) = 0(бз) в узлах поки, входящих в выражение 1(/).
Поэтому в предположении, гш а, Ь, с, »1 = 0(1), имеем Л[У) Л[~ 2) + Л(») Л(Р») ()(Ь )У(Ь»(ь»). Вски Л(Р») = 0 и Ь», Ьз одного порядка, то Л[/) = 0(Ь) и формула чигленного дифференцирования (10) имеет порядок О(Ь). Выражение Л(У) является линейным функционалом от функции /, и»етому Л(Р») — О для любого многочлена Рз второй степени, если Л(1) = Л[х») = Л(х») = Л(х ) = Л(х»х») = Л(х»») = О. Получаем систему уравнений Л[1) = — ( +Ьтг»+г()/(Ь 1м) =а, Л(х») = — (»1.~. Ь)/У»з = О, Л(,) —. -(б+ с)/1»» = О, Л(хз) =. — (»1+ Ь)Ь»/Ь» = О, Л( [) =-(б+ )Ц/Ь, =О, Л(х»хз) = 1-о=О.
Этв система шести линейных уравнелий с четырьмя неизвестнмми имеет ре- шение о = »1 = 1, Ь = с = — 1, соо»ветсгвуюн»ее приближглной формуле (9). 217 ) 4. Сведение многомерных задач к одномерным Точно таким же образом строятся бюрмулы чиглеиного интегрирования. Пусть вычисляется интеграл 1о = У(уг .", Р.)буг." бу.. Его можно представить в виде Го =- А(уг) Ирм Гг(уг) = Гз(ум 'гег) г)уз, гсдзб Гз(Р», Рз) = 1з(уь уь Рз) буз,..., га*б .ы) 1,, (у„..., у.,) = / 1„(у„..., у,) бу.. Здесь 1,(уг,... Р ) = У(уг у.,), Со — проекция области С иа ось уг, Сь(у„..., убе) — гячеиие множества С плоскоспяо уг —— уы..., Ре = Ве.
Воспользуемся какой-либо квадратурной формулой для вычисления первого из ших интегралов Го ~ Пи*1,(у,"и). Задача вычисления исходного интеграла гвглась к вычнслениго интегралов раз- мернОсти, на единипу меньшей. Полагаем теперь < г) ,=1 В итоге получаем ~'О" ) О"™ .. ,=1 ,=1 В одномерном случае для всех операций численного «налива были получены оценки погрешности через производные рггсматрииаемой функции.
Посмотрим, какие оценки погрешности являются следствием этих оценок для многомерных задач. Значение неюиорсго оператора от функции приближа ется значениями других операторов, причем погрешность этой замены мешено оценить согласно формулам опенки погрешности одномерных формул. Однако зги новые значения сами уже содержат погрегпности, поэтому в суммарную погрешность зти погрешности войдут с некоторыми множителями. Глава 5.
Многомерные зщГь!е 218 Обратимся к задаче интегрирования. Пусть Последовательно подошвляя в равенел ее 1, = ~ '1У'ч1,(у,''ч),-й выражения 1г, 1з...., получаем пеночку соотношений 1е = Е + 1, В"пуг(угч) = и=! гд!' И=й'-У )'ГГ К)гч+ ~'1У' ~ Печ К„',.„Х- + ~ухи ~ 1У":* ... ~ (У'и "*- Я,"„-,' „,, (1З) Из последнего равенетва нцлно, что погрешность аппроксимации может оказаться существенно больше, мм в однолгерном случае, егли «озффнциенты Гг "ь -'"" — болыпие. Формально сведение многомерной задачи и Ошюмерной имеет одинаковый характер и в случае шщачи численного дифференцирования (интерполирования), и в случае чигленного интегрирования. Однако между этими задачами есть такое существенное различие! задача численного дифференциргмания (интерполирования) чаще ставится «ак зцвача нахождения оператора от функцш! по зим!синям на некоторой заданной совокупнОсти узлов Й.
Для талыш интегрирования более типичной является возможность распоряжаться выбором узлов. Прн осуществлении многомерньш операций численного дифференцирования (интерполирования и интегрировании) функций, заданных на сет- 210 $4. Сведение многомерных задгч к одномерным вв, являющейся произведением одномерных сеток, разумно использовать с,цинаковые формулы для аппроксимации щюмежуточных величин. Име- ется в виду, что, например, формулы (11) должны имегь вид Юе уь- Ь1 '' '* рь — ) )' Й,а' уьЬ1 ° ра ) (14) т.е. В'"', и 01, " зависят только ст ть.
Правая часть (12) тогда приобретает вид щ щ В 1лучае задачи интегрирования всемохсва такая сш.уацн»: прн главной ло- лыншгрзльеой функции может оказаться, что промежуточнью интегразы 11(у1,..., уь) ве сбл дают достаточной гаалксстыо. Пусть вычисляется интеграл по единичному кругу / ) лри гладкой функции У 1у1, уз). Если У [а1, 0) Ф О, то функлия гьб-г) У су ) = ) 1'Ь уг) бу -тб:т,' имж:г неограниченные производные в точках з1 и поэтому при численном ннтггрщюеании по переменной у1 следует испольаовать специальные приемы вычисления вншп1алов от таких функций — переменный шаг интегрирования, в частности интегрирование с автоматическим выбором шага, выделение оссбезнастей и т д. Целесообрашее записать зтст интеграл в виде г' У= / г11Ийг, о гт 111г) = ) 11гсов~р, гюпр) гйр, .е При построении такой квадратуры мы неявно предполап1ем, что облаег1, иатегрирования — прямоуж1льный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям. 'Питие формулы численного интегрирования 1интерг1олирования, дифференцирования) называют нрлммм промзееденпем соответствующих одномерных формул чишгенного интегрирования (интерполирования, дифференцирования).
В б 11 будет приведен более сложпмй пример прямого произведения квадратуры по отрезку на квадратуру по сфере. В случае применения таких аппроксимаций так же, как при вычислении производной Дм, по формуле 19), вкатывается, что некоторые сошавляющие погрешности аппроксимации коьшснсиру1отся. Глава 5. Меогоиеряме зэлачв 220 где все подьппвгральеые фуикце» уже гладкие.
Подьппегразьная функци„ внутреннего интеграла перисди лпхгэя, поэтому имеет смысл применять кеа драгуру (3.5.7) / в(т)йтм — )'п(2™). Задача 1. Функция задана в узлах сетки (ггл1бл, гглгйг). Построить фор. мулы с погрешностями аппроксимации С(бг л-йг), С(10 л-ггг) для еычи- г г л л слепня значения гьч(1гг/2, О). Б 5.
Интерполяция функций в треугольнике При решении уравнений в чвстнмх производных вариационно-рвзностпымн методдми возникает лледующая задача. Имеется некоторый треугольник г5, каждая сторона которого разбита на 1 равных частей, и через точки разбиении проведены щжьлые Ьл, параллельные сторонам треугольника. Стороны треугольника также будем относить к ыножесгву щжмых Ьс. Обозначим через и множество, состоящее из точек пересечения этих прямых, лежащих в замкнутом треугольнике Ь. (таким образом, П включает также точки разбиении сторон треугольника и вершины треугольника.) Число таких точек рамю п = 1-~-2Л- Л-((Л-1) = (1Л-1)(1Л-2)/2.
Будем сбгпцачать их через (лл(з,, тг), лль(тл кг). Ставится задача построения многочлева оггпепи 1 ьчы э<1 принимающего в этих точках Глг(хзм згг) заданные значения 1 ('ьл, яг) лг' г Число неизвестных ковффициенюв а „„а также равно и, и, таким образом, соотношения (1) образуют сишему и уравнений с и пеизвмтными, Если система (1) разрешима, то из нес могут быть найдоны козл)ь фициенты с„ч„ч. Для их нахоггдения не обязательно прибегать к описанному выше варианту метода исопределснных коэффициентов, а можно выписать искомый мпогочлен Р(к) в явном виде. Вгиьмем некоторую фиксированную точку Яг. Можно покагать, что орели прямых Ьл имеется ровно ! прямых, удовлетворяющих следующему условию.
Существует не более одной вершины треугольника такой, что Сг н эта вершина лежат по одпу сго1юяу Рис. 5.5.1 от такой прямой. При этом оквзываеття, что кэтцая точка из Й, отличная от Яг, лежит на одной аэ таких прямых. На рис. 5.5.1 этн прямые обозначены жирными линиями. 221 15.Интерполяция функций е треугальняке Пусть 1,1,(хг, хз) = О,..., Ц ~(зг, хз) =. Π— уравненил этих прямых. Функция г-г Нь;(хп зэ) У г(хп хз) = Ц является мпогочленом степени 1, равна 1 в точке Щ и О в остальных точках 11ь Поэтому многочлен степени 1 Р(хг, кг) = ) уг~Р,(хп кз) г=.г будет искомым. В случае, когда 1г =- ((я, 'сгз) при всех у', многочлен Р(хг, хз) будет Интерполяционным многочлевом по отношению к функции ((хп ят].
Задача И Показать, что влечения ьпюгочлена Р(хг, хз) на каждой из сторон треугольникэ зависит от значений угз соответствующих то ~кык 1Д этой стороны. Задача 2. Пусть Н . это длина максимальной из сторон треугольника Ь, 1 =- 1(11 ), 1 — некоторая гладкая функция, Мьы .— — пщх пжх ')(Мп™(хг, хг)~, гьм=~.н а и — наименыпнй из углов треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
