Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Получить оценку шах(((хп зз) — Р(хп зз)~ < С(1, а)МьмНыг, где С вЂ” постоянная, зависящая только от 1 н и. Задача 3. При выполнении условия задачи 2 для О < гч тщ < 1-1-1 получить оценку пигх ~~( нм>(хп хз) — Р( н "О(хг, хэ)~ < С(1, г и гз, а)М~ ьгНЫг Задача 4. Исследовать поведение постоянных С(1, и), С(1, гп гз, и) при а -+ О в задачах 2 и 3 соответственно. Описанный способ интерполяции широко используется при приближении функций двух переменных. Область С, где приближается функция, рвз1'иввегся на треугольники с достаточно ыалой максимальной стороной.
В каждом треугольнике функция приближается сосгветсгвуюпщм интерполяциопвым многочле~ом Р(х,, хз) степени 1. Если разбиение устроено так, что вершина одного треугольника не может быть внутренней точкой стороны другого треугольника„то полученная таким образом приближающая функция будет непрерывна в С (справедливость последнего утверждевия следует из решения задачи 1). Глава а Многомерные залью В связи с неограниченным ростом постоянных С(1, гг, гг, о) при и — ! 0 (см.
задачу 4) разумное разбиение области С не должно содержать треугольников й с очень малыми углами. Задача 5. Построить аналог описанного вылив способа интерполяции для задачи интерполяции функции в тетраздре. Заме!оввс. В случае, когда две стороны треугольника или соответственно три ребра тетраздра направлены вдоль координатных осей, интерпо.
пирующий миогочлен может быть явно записан также с помощью аппарата разделенных разностей для функций многих переменных. 5 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке Произведем конкретную оценку погрешности численного гштегрирования в случае двукратного интеграла ог дважды непрерывно диффереьщиру- емой функции Г! !'! У = / / У(хг, хг) 21хсггхг. А с Залп!нем исходный интеграл как повторный: Г! ! = / 12(х!) дс!, е где Г' 12(х!) = / 2 (!сг, Х2) !(Хг. е Обозначим д2 ( е< ьсс<с~дх~~! Применим для вычисления интеграла (1) составную формулу трапеций ., постоянным шагом разбиения Н! = 1/Фг! Уг(О) 4-12(1) ""м тг()г(2У!) Поскольку дгй(,) ) ! дг с(х, х,) г / дхг, дх! /с дх! со (А дхг ! 223 18. Оценка погрешности числе!мого ветггрврования Поэтому при Ес = 1 — Яы!, согласно оценке погрешности охвъвной формулы трапеций (3.8.8), имеем (Ве( < Аг/(12%~).
(2) для вычисления интегралов 1!(уг/Лг!) применим составву!о формулу тра- пеций; имеем /! '( 8 /у! ) /(уг/Л! 8) +/(//Лг, 1) )- /(/г/Лг,убРЪ) Н='"Н= 2Лгг Л'т м=-! Для погрешности К = 1!(уг/Ю вЂ” Ьл,(/г/Л"!) согласно (3.8.8) имеем (о.',( < Аг/(12Лы). (3) (Выг(О) Р Ь!)+ (Я„,(1)+ В!,) -'8 .,(Уг/Л;) С Ь!, 2Лг! гу где Я (О) + Ян (Ц т 8!! (И/М!) 2Лг ~ Л' ! ! гч =! ~о ~ ~ь' Я=.Лс+ ' р ! 2Л! ~- Л'! (4) Выражение Яи!к, являетгя кввдратурной сула!ой, вычисляелюй по аиачениаы фУгпа!ии / в (Л!гЧ-1)(Лгт~-1) точках (Уг/Л!!, Ут/Лт), Н вЂ” погРешность численного интегрирования. Из (4) следует оценка (1!(( < (Ье(+ !пах (пг!1(, О<!' <л и вследствие (2), (3) иыееы (/1( ч Аг/(12Лг! ) + Аг/(12Лгт ).
При Лг! — — Л!т = и получаем, что (В( < (А! + Ах)/(12п~), я по отношению к общему числу узлов интегрированяя Лг = (Лг! + 1) и (Л!в+1) = (и+ 1)т погрешность имеет порядок О(Л! !). Подставляя 1!(!г/Л!) = Л',4-Яи„(/г/Л!) в равенство 1 = Юе+Ял„полу !им цепочку оютпошеиий Глава Ь. Многомерные валюш Предположим, что требуется гарантия, чтобы погрешносп не прелое.
ходила е. Дяя этого достаточно выполнения неравенства Аг/(121гг~) + Аз/(127уз~) < е. (б) Если Аг и Аз отличаются несущественно, то можно взять 77г = Жз = и и исходя из оценки (б) определить минималыюе и из условия (Аг + Аз)/(12пз) < е. Если же Аг и Аз разлнчаютс» существеняо, то плюет сыыгл затратить времи на минимизацию вычислительной работы, те. искать гУг и Из, минимизирующие (Ж~ + 1)(гУз + 1) при условии Аг/(1277, ) + Аз/(12зУз) < е. Обгпначим через С,(А) = Сг..,,(Ап..., А,) класс функций, у которых в рассматриваемой области определеюы производные /," —, Й = 1,..., з, непрерывны, а лронзвпаныг /, з (хо ..,, х,) кусочно-непрерыввы н удоыктворякн условиям (/" (хм..., х„)) < Аь.
Задача 1. Пусть для вычислении интеграла У1' * г' /(хг,..., х,) Их~... Ах, а с применяюзсн составные формулы точвости О(17ь ") по каждой оси, где Жь -число узлов, соответствующее направлению хь. Получить оценку погреппюстн О ) Аьд;-" (7) Минимизируя оценку (7) при заданном общем числе узлов 77г,..., /г', = /У, получить оценку погрешности О(77 ), 1/г = 1/гг+ +1/г,. Рассмотрим частный случай: г~ = " = ю = гз, Аг = ° .- = А, = Ае.
То гла 1/г = 1/г~ т "° + 1/г„.= в/ге. таким обрезом, рааматризаемме квадратуры обеспечивают оценку погрешности О(Азгт мр). У реальных подыатегрвльных функций порядок оцжпичгпных пзюизволаых г часто окиыввегсл не ачеяь большим, позгому при больных е, как показывает полученная оценка, скорость сходвмосги оказывается плохой. Возникает вопрос об оптимальных квалратурах на классах многомерных функций.
Так как ни дзя каках реальных классов функций такие квадратуры неизвестны, ограничвмсн оценкой снизу погреюпности оптимальных «вюратур. ) 7. Оценка снюу погрешности численного интегрирования В 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования Капомним постановку задачи оптимизации квадратурных формул на классе функций. Пусть приближешюе значение интеграла вычислиется по формуле Е(У) = ( Е(Р)р(Е')г(Р ж Вл(Е) = ),ЕЕзЕ(Р!)- гп з=:! Величина Вл(Е) = Е(Е) — Ял(Е) называогси погрегииостью хаодрап!ури, величина Лл(Р) = эпр)Есл(Е)~ Еея — погрешностью х!еогурзшурм ио кашле !Е!риьт!оп Ег, величина ИУл(Р) = !п( Еул(Р) о„ㄠ— опп!оз!ольиш! оценкой поэрешиос!ло яео!Ероп!ур ио !!лассе Р; квадратура (если такая существует), на которой эта нижняя грань достигаем!я, назывании оптомольноо. Мы будем преднолащть выполпенщям условие: существует некоторый куб А б С, в котором р(Р) > у > О.
Теорема. И'л(Сг(А)) > 4Ь, г, А)тЖ"', где с((Ь, г, А) > О, ! = (г, ' й ! .-!) — ! Доказательство теоремы осущесгюшепн следующиы образом. Вудет показано, что для любой совокупности узлов Рг,..., Рл можно построить функцию Ег, ст(Р) рассматриваем!ко клас!а С,(А), обращающуюся в пуль во всех этих узлах н такую, что Е(Е) > В(Ь, г, А)тЕ!' ". При этом постоянная В > О ве зависит от точек Р„..., Ри. Тогда для любой кваЛратуры с этими узлами ее„,(с,(А)) >)е(ЕИ, яи)-') ее,ЕИ, я(Ре)~= =- (Е(Егт,..., „) ~ > Лг(А, г, А)уд'-'. Величина Е)л(С,(А)) оценена снизу постоянной, не зависящей от узлов квадратур Р.
и весов Е!з, поэтому и ее нижняя грань )Ул(С„(А)) по миожеству всевозможных квадратур также оценивается снизу этой постоянной В(Ь, г, А) у)У '. Таким образом, доказательсгво теоремы своэдтся к построению соответствующей функции Ен нл(Р) для каждой .овокупности точек Рг,..., Рп. эс! Глава З. Многомерные задач 1 Построение такой функции /и, лл (Р) и доказательство утверждения теоремы й(х) дл» просгсгы будут проведены для случаи г = (1,..., 1), А = .
— -- Ав = Ае, т. е. длл класса вепрерывных функций с кусочно- непрерывными произвцнными д//пяй ограниченными по модулю посгоинной Ае. Рис. 5.7.1 /Еля простоты вьгклцлок булем щюво- дить яшжроение для случаи, когда й— единичный куб 0 < х, < 1, ( = 1,..., а. Положим и .= ((2(У)'~') -~- 1 и разобьем куб Ь на и" примоупжьных параллелепипедов Пьо (и, — 1)/и < аь < пь/и, 0 < пь < и, 1 = 1,..., э. Пунгь (см. рис. 0.7.1) 0 при х<0 или х>1, Ф(х) = 1 — 2(а — О,б( при О < х < 1.
Из определения и следует, что (2(У)йв < и < 2(2М)гц. поэтому 217 < пэ2хЫЛ Построиы функцию /Го Гл(Р) = /е(Р) следующим образом. Б эъх параллелепипедах Пьо „., которые не содержат внутри нн одной из точек Рп..., Ро положим /с(Е') = — П 1е(п*ь — (па — 1)). Ас (2) 2п ь-.! Бо всех остальных параллелипипедах положим /е(Р) =. О. Функция /е(Р) согласно своему определению непрерывна в каждом параллелепипеде Па... и обращается в нуль на его грюпще, поэтому она пепрерыш(а в Ь. В точках, где функция /с(Р) дифференцируема и отлична от О, имеем д/е Ао — = — '( — ( — )) Пр( я — ( — )).
дкг 2 Поскольку Ц < 1, (ЭЕ( < 2, то (д/е/дт,( < Ае. 'Гочно так же получаем оценки )д/е/дяь( < Ае, 1 = 1, 2,..., е, Согласно пгктроению функции /е(Р) производные д/е/дзе могут икать разрывы лзпнь в точках плоскостей ть = гл/(2п), где ш — целое; поэтому функция /е(Р) принадлежит рассматриваемому классу. Из ее построения также следует, что оиа обращается в нуль со всеми произвгщными во всех узлах Рг,..., Ри. Оценим снизу значение Е(/е). Воспользовавшись неравенством р(Р) > у, после замены переменных кь = (пь — 1+рь)/и получим цепочку 222 12 Оц . у ц соотношений р(хг,..., х,) — Ц~р(птг — (пь — 1)) Нхг...
Ня, > .4е 2п Аот /' Цг (р~)бр~ " - р~ = ИгАо у ь=г л"' 1 2 1/ ') 2еьг (2) Каждая точка Рг ыожет находиться внутри только одного из параллелепипедов П, Следовательно, по крайней ыере в и' — ггг параллелепипедах П, „, функция /о(Р) отлична от тождытвенного пуля и опрецелжтся равенством (2). Согласна (1) имеем И < и*/2, поэтому таких параллелепипедов не менее чем и'/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
