Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Рассмс грим простейшую задачу приближения линейными сплайнвыи (т = 1]. Тогда общее число Я свободных параметров равно 2]У. Наставим вопрос о построении сплвйна Яа(/, х), совпадающего с функцией /(х) в тачках хо,..., хгн получття система уравнений Р„г(х„г) = /(х г], и = 1, Р 1(х ) = /(х„), а = 1,, гУ 1лава 4. Приближение Функций и смежные вопр>хм 192 Эта система распадается на систомы уравнений относительно коэффици- ентов отдельных мнагочленав 1' >[хе !) = а,ю ба„>ха ! =1(х !), Ра>(гц) = а„е -[-а„>х, = 1(ха).
Отсюда находим ан! = [1"(хн) — 1(х„!)]/(х„— х !), а е = [(ха >) — а >ха Мне>аллен Рп(г.) является многократно рассыатривавшимся пятерне>шционным мваючленом первой степени с узламн интерполяции хн. >, х . Широкое распространение сплайнов во многом вызвано юм, что апи явля>отея в определенном смысле ваиболгл глшгкнмн фувкпиями среди функций, приннма>ащих заданные значения.
Снлайны степени выше первой в случае гладкой г(х) харашо приближают не только сэму функции>, но и се производные. Снлайвы первой степени б>а(1, гг) эазниюиот из рассмоц>ения следу>о. ! щей вариационной задачи. Рассмотрим множество Я! кусо шо-дифференцируомых функций э(х), удовлотворяющих условиям г! э(г:„) — — >'(х„), и =. О,..., 1У; 1>(ь) = / (э'[х)) >[х < со. е Поставил! задачу найти функцию г>(х) Е Я>, реэлизуюшул> ш1 1>(э).
. еэ'> Уравнени! Эйлера для этого функционшш имеет виц эл(г) = О. Таким образом, э>(х) линайна на кэждам из отрезков [х„>, г.„) и, слсдовашльно, э>(:с) = Яа(1, х). Этот подход к приближени>а функции, при кагором естественным образом возник сплайн ба(1, г:), допускает различные обобщения. Рассмотрим, например, множество бз непрерывных, непрерывно-днфференцируемык н дважды кусо шо непрерывна-,вифференцируемык функций э(х), удоелсшаряюэ>ит условиям >. 1 . [ н) = ~(х„), ° = О,..., [У! 1,(.) = ) [эл(х))тбс С Ищется функция эз(х) б Яэ, реализующая пй 1з(э).
Решением эюй заев> качи оказывается сплайн третьей сшпени, удавлотваряющий угшавиям Рэ(хе) = О, Рл[хл) = О. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из сааз вегствующик результатов вариационно!о начисления. Однако дл» полвогы наложения ниже будет приведено его обоснование. 3 8. Интерполяция и приближение «плаинаии Уравнением Эйлера для рассматриваемого функционала является уравнение — — (з) =О, г' а г)хз Дзл т,е. зрб = О. Поэтому ест1хтвенио предположить, что экстремум реализуется на некоторой функции зз(х) Е Яз, непрерывной вместе с первой лроизвгегной, являющейся многочленом третьей степени Р„з(х) = п„е -~- еегх-~-а„зхз4-а зхз на кажлом из отР1пков [х„1, х„).
ПУсть О(х) — непРерывная, непрерывно-дифференцируемая н дважпы кусочно непрерыпнодифференцнруемая функция, удовлепк1ряющая условиям 0(хе) =" 8 0(хл) =О. (3) Положим гг гг (') = / (з2(х) -~- ЗЧл(х))'бх = / (зз(х))'1Ъ+ е е г1 г1 -~ 22 / з~(х)це(х)1(х -~- 1З / (Ол(т))з бх. е е Поскольку цо предположению Р(1) > Р(0), то гг Р'(0) = 2 з~~(х)бе(х) Нх = О. е Представим величину В(г1) = Р'(0)г'2 в виде В = Ьг + ° ° .~-Ьл, Ь = з(з:)О"(х) б = Ргз(х)бе(х) бъ гк и проиаведем в выражении для Ь„дваж,пы интегрирование по чаопзм.
П уч Ье -- Р„'3'( )0(*) бх+ (Р.'з(х)Ч ( ) — Рп(х) /(х)) Š— 1 Вследствие (3) и равенства Р„л (х) = 0 имеем (4) = 2з з(х)0 (х)~ После суммирования по и получим Ф-1 В(12) = РДз(хл)О'(хл) + ), (Рм(х 1) — 2Л(ы,з(хе))0'(хе) — Е~~з(хе)0'(хе) (4) =1 дл» злобой функпии О(х) рассматриваемого вида. При любом 2 можно пцпобригь функцию 01(х) такую, что 01(х1) = 1, 01(хе) = 0 прв и зе 2 в пределах О < и < Я. 7 зез Глава 4.
Приближение функпий и смежвые вопросы Заметим, что мы не имели права провзаоцить интегрирование по частям пепг гредствеиво в исходном интеграле В(О). твк как ееягеи вопрос о гучцествовы|па производных у зз(х) боле» высокого парилка, 1ем первый, в точват хы..., ха. Псдсхавляя такие ал(х) в равенство В(у(х)) = О, 1 = О,..., )У, пшгучаем )У 4- 1 уравнение Ргз(б) =Рйз(1) =б, )Яз(х ) — Р",+г,з(х ) =.б, и=1, ", 17 — 1.
(5) Условие, что минимизирующая функция лринилгает заданные звачеиия в точках х„, порождает '2)г' уравнений Раз( ) = Р ы,з(хв) = )(х„), и =1,..., Л' — 1, Ргз(хо) 7(хо), Рпз(хп) = у(ха), (б) а условия непрерывности в~о[я) в точках т порождыот уравнения Р з(х ) = 1 з цз(х ) (7) а х„— х 2' — х аз(х) = М„г + М„ва (х ы з;а]; Ь Ь здесь Ь = х — хв г.
Из этого соотношения и из условий эз(х — ) = З (х — ), зз(хп) .= З (х ) можно получить, что зз(х) = Р з(х) = М г +Ма + ( М гйпзт~х — х ~ МпЬвз) х — хв г на (х„м х„]. Условия 1".з(х ) = Уиагг,з(хп), порождиот уравнения Ь 4- Ьа+г Ь +г ,У(ха+г) — У(х ) Х(ха) — У(х -г) б Я " 6 пе Ь Ь (й) В совокупности касаи получеио 4дг уравнений (5)-(7) отвосительио 4% неизвестных коэффициентов миогочленов Р з(х).
Исследуем вопрос о разрегпимосчи и о практическом решеиии системы уравнений (5)- (7). Для удобства введем в рассмотрение величвны М„= з~з~(хв). Поскольку функция вз~(х) лииейпа иа [х„г, хв], то 195 з 8. Иитерпозявля и приближение сплайвами Кроме того, имеем условия Регз(зв) = О, Улав(хи) = О, (10) СМ = г( из [Ж вЂ” 1)-!о уравнения с (Ф вЂ” 1)-и неизвестиыьс Мж(М,,...,Ми,)', Ож[й„...,аи !) . Элементы с,з, ь, у = 1,..., Ог — 1, матрицы С согласно (9) задышатся со- отношениями Ь,/8 (Ц+1!г !)!гЗ 1!гьг/6 0 при у = ! -р 1, (! — у( >1, при (П) при а злемезггы 4 столбца г1 — соотношениями Эта система решается мезтщом прогонки (см.
гл. 9) примерно за 81г' арифметических операций. После нахождения М по формуле (8) опре- целяем многочлены Рвз(х). Покажем, что система уравнений (10) однозначно разрешима. Поскольку число уравнений равно числу не!овестных, то достаточно показать, что однородная система СМ = 0 (12) имеет только нулевое регпепие. Прелположим прг гивеое, т. е. что существует ненулевое решение М = (М!в,..., 81л !)т системы (12). Пусть ое — значевне и, при кглором достигается гаах (М ~, т.е.
!с <и (Ме ) )Ме) т 0 Ф вЂ” ! В уравнении ~ с„,гМв = О перенесем в правую часть вгв слашемые, кроме г=! ць чМ" . Получим (13) иначе Мв = О, Ми = О. После подстановки Мо =. 0 и Мь = 0 соответ- ственно в первое и последнее уравнения (8) получим систему Глава 4. Приблнжмгие фувкцнв и смежные вопросы из оютвошевий (11), определяющих с,г, следует, что при любом г справедливы соотношения 1 -сь > ~ )сгг) > О, лм позгому имеем цепочку неравенств )с „Мс ( < ~ )с, ) ~31".( < — (г ) щах )Мс( =. 2 г лл =-)с, (.(бу,ч(=-(см.,Мс„). Вычтем из обеих частей результвругонгего неравенства )г „,М' ( < -)с,„.йугч) 1 выражение, стоящее в правой части.
Получим -)очи, РХ" ) < О. Поскольку 2 с „, и О, зо Мс = О. Мы пришли к противоречвю с предположением о гущсствовшгин у системы (12) невулевого решения. Подведем итог проведенным посцюениям. Доказано существование решения системы (10). Сплайн третьей степени, определяемый соотношениями (8), будет искомым сплайиом, удовлвтворяющилг условиям (б) (7). Лемма.
Полученный сплайн вз(х) рсалнзрсщ нК 12(в). «екг Доксзательщпео. Пусп в(х) — произвольная функция из Яз. Положим О(х) = з(х) — 52[х]. Имеем гг гг г(1) = / (вв(х)) гх = / (эз(х) +Он(х)) г(х = (14) = / (вг(х)) г(х+2В(в(х) — вз(х)) + / ((в(т) — вз(х))') дх, .гв .ге Поскольку зз(х) удовлетворяет условиям (Б), то в соопюшснии (14) имеем В(в(х) — зз(х)) = О.
Таким образом, при любой функции в(х) б Яз справедлино соотношение 2 12(з) = / (вв(х))'Нх=~ (з~~(х))зг(х+ / ((в(х) — вз(2:))") г(х е в е г' 12(в2)+ / ((в(х) в2(х)) ) г1Х. е Отсгцпа следует справедливость утверждения леммы. Из последнего соотношения следует также, что сплайн вз(х) является единственной функцией из рассматриваемого нлассв, нз котоРой 22(з) достигает своего наименьшего значения. 18. Ишерпаляция и приближение «плайнами Задала 1. Доказать, ччо решение системы (10) удовлетноряег неравенству 3 лпах )М ) < шах )г( ); г<е<и-г ' ппп йи г< бл-г 1<вил — 1 получить очсюда однозначную разрешимость системьг (5)-(7). При рассматриваемом подходе получаемый сплайн совпцлаег с )'(х) во нсех узлах; такие сплайны назыаагот пнтсрполлцпоннммп.
Зндача 2. Пусть точки х, распределены равномерно: х„чг —.с ы 6. Значение интерполяционного сплайна третьей степени вз(х) выражается через значения функции )е некоторой с)юрмулой вт(х) = ~ Се(х)г"„. и=о Получить оценку )х — пб) !Се( ')) < аз. (15) аз, Ьз > 0 — абсолютные постоянные, не зависящие от,(, )(г, 6. Из оценки (15) слыпег, что значение сплайив вз(х) в точке т. слаба завигит от значений г'„при большом )(х — ггб)/)г|. Описанный выше способ построения сплайна третьей степени страдает следующим недостатком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
