Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 35
Текст из файла (страница 35)
у=э+2 Многочлены наилучшего равномерного приближения или близкие к ним используются как важный саосввной элеьсент и счвцпдртных программах вычисления элементарных н специальных функций. Часиз возникает ситуация, когда функция задается очень сложным явным выражением (например, в виде инснграла 1(х) = / Р(х,р)с)9), а по холу .со решения конкретной задачи ее значение прихссвится вычислять в очень З 7. О форме записи лпгагочлеиа многих точках.
В этом случае часто полезна вместо непосредственного вычисления значений функции воспользоваться интерполяцией ге значений по шблице или приблизить функцию многочленом. Иногда для ягой цели использугот многочлены наилучшего приближения в норме Сз или наилучшего равномерною прибзижеиии. Конечно, в каждом конкретном случае полшво посмотретаз оправдаюг ли себя затраты 1го посгроению приближающего многочлева. 2 7.
О форме записи многочлена Одна гхз стандартных программ наилучшего равноьюрвопз приближения была отлажена в случае приближеви» функций лгногочлевами невысокой степени и вкзпочона в пакет г."гандартиых програмлс Однако при практическом использовании программы дзя приближония функции лгногочлевами высокой степени в рядо случаев оказывалось, что программа выдает приближение к функции, не обеспечивающее ожидаемой сочности, или итерационный процесс ве ссудили, продолжаясь веограничеино долго, звк по приходилось прскршцать вычиглония. Восле вракти вюкого и теоретического анализа возникшей ситуации удалось усгвновить причину проигходнщгго.
Двя определенности булга~ говорить о приближении функции па от 1жзке [ — 1, 1]. Было установлено, что в случае недсслжгочио гладкой функции ко. эффициенты многочлеиа, приближающего ее с высокой точностью, обязательно будут очень большиьпь За исключением 1юрцго встречаюгцелогя случая, когда этв коэффициенты записываются в ЭВМ без округлений, в этот многочлон вносится погрешность, и ои плохо приближает рассматриваемую функцию. Бели эти коэффициенты и записаны в ыа1пино бгз округлений, ти все равно значения многочлеиа при ]т], блюзкоы к 1, будут находиться с большой вычислишльной погршпиогтыо.
Сфармулируем соответствующие утверждения бшюе строго. Предположим, что существует последовательность мвопзчленов удовлетворяющих условию ]((х) — Р™(х)] < 2 "' ва [ — 1, 1] (1) (Р" (я) — не обязательно многочлены наилучшего равномерного приближения); предположим также, что кснффициеиты этих много гленов растут не очень сильно: ~(») 1 = 2 ']о™] < М 2Я"', д > б. (2) Глава 4. Приближение функций в смеплые вопРосы 1ВВ Обснначим через С„открытую облжть, ограниченную дугами, из лв:бои пзчки которых отрезок [-1, 1] вицен под углом дь Известна Теорема. Пусть последовательнасгпь многочленов Р"'(я) рдоалеглворлепг сошпяашеяилм (1), (2). Тогда фунт?вл /(я) мааюегп бмть апалипшчгскв продолгюена в открмгпрго область хелшлексного переменною Ст, р я(2д + 1)/(2д + 2). Примечании Если вместо условия (1) имеем условие ]/(а) — Р'"(х)[ < 1/тг, то ыожно поюазаттп что шах [/О?(х)[ < со при любам д > О.
(-!-~г;г-г) Какие практические следствия вытекалн из этой теоремыд Если число а записываетгл в системе с плавыощей запятой с 1 деон пнями разридами, то его погрешность может оказатьгя больше (а[2' г ~; в худшем случае, когда погрешности коэффициентов а'" одного знака, погрешность значения ?ю? Р (1)= ) а'", г=а явля~ощаяся глсдгтвиеы этих пограпгнсстей, может пренюйти величину с ? ) ) [, [ 2-г-' =?ж2 — '-' г=а Чтобы качественно представить характер влияния этой ногрегпиосги, будем считать, что чигло т, входящее в условия (1), (2), и числа велики. Пусть фуякция /(г) аналитична в некоторой области сгт„и на аналитична ни в какай области Ст при дг < ра. Пусть дв выбираатся из соси.ношения да =- [2ре — я]/2(я — ре)].
Всньмем произвольное д < да. Егли предпаложиттп что дл» всех т выполняется неравенство 1м < 2г"', то, согласно выше сформулированной теореме, /(г) будет аналитична в соатеетствующгй области Ст при 1с < уга и получается противоречив с предположанием о свойствах функции /(г). Таким образом, будут встречаться сколь угодно большие т, для уюторых 1ж > 2вв'. Следовательно, при неблагоприятном стечении обстоятельств погрешность от округления зншгений а может оказачъся больше, чем 2" 2 г ~. В то жс время нельзя рассчитывать на оценку пагрешнгюнг, лучшую, чем (1).
Для суммаршш погрешности, получающейся от замены /(я) на Р (я) и ат погрешностей в коэффициентах мнагочлена, мы не можем предложить оценки лучшей, чем е(т) = 2э 2 ' '+2 '". уравнение для точки экстремума т функции е(т) имеет вид г'(щ) =- 1л2.2э'"2 г — 1п2 ° 2 ~ 1ВО ! 7. О форме записи многочлена 721 ~1(ее~) Отшода следует, что 2'ь = ~ — ) 2г)(еьг).
Подставив зто значение в Я выражение для с(т), получим ейч ) 2 -!1(ч ') ,(,л) = Н 2-"'в")2-' е Ц 2-"(взб = г) 0 ! 2х е)!еьг) й Р11~ 2 Фе+~) 2 'Лд Таким образом, при вычислениях на ЭВМ с ! разрядами нельзя падеятьгл на получение более то шых приближений к значениям функции, чем с 1/(0+1) разрядами. Например, для функции Г(з,) = (1-)-25хз) нижней граяью )г, при ксцорой Дз) аналитична в области 6, будет уо = ахс!20,2; соответствующее значение )) + 1 = 3,2.
Таким образом, на ЭВМ с 60 двоичными разрядами мы в лучшем свучае можелг рассчитывать на получение приближений к згщчениям функции примерно с 20 верными двоичными разрядами. Если производная Г(~)(х) не существует в некоторой внутренней точке отрезка при не очень болыпом 1, то согласна примечанию к теореме имеет место еще бблыцая позоря точности ршулшата. Можно привести сшдщощисг довод об нсключнт!шьиости подобной сбсгановки. <)бы гно приходится приближать целые функции или такие, особенности которых лежат далеко за единичным круголс Тогда из проведсчгиых выгне рассмотрений столь удручающие выводы не сзедуют. Форь~~ьно зто верно, однако такого рода функции гасто, являясь целыми а ахиги ге*комн фупкпиямн, очень бысцю возраспиот при увеличении мнимой части у аргумента.
Хотя для таких фувкпий величины )„осгюстгя равномерно ограниченными по ц, ояи могут принимать счщн большие зваче пгя, что нщичива (1„(2 окажется существенно больше допусгилюй погрешности. Примером подобных функций является функция р(х) = ехр(!лгз) г)г дхя больших л. 3о Эти обстоительства побуждщот к отысканию иных простых форм записи и вычисления значений многочлеггов.
Обратимси к форме записи многочлонов наилучшет приближения в виде суммы значений многочленов Чебышева (х) с г)г2)(х)' (3) Имеем 2 1 2' (х)2' (х) ) 2 при п=т= О, и/ з х)Г хй ), 6'" пРипз+та > О, поэтому 2" ' Т() и з — ь)Г:*' ~ ' 1 ~Л:Р гг ! ь)) хз у=! г=е Глава 4. Приближение функций е смежные вопросы 190 Воспользуемся неравенством Коши- Буняковского )4 ( = ~. 1 .)с11) < (2. 1) . (~г1~) = (и .1 1)~.
г=е г.=-е г=е ,=е г=е Отсюда заключаем, что В ))1'ь — Т))г. — О. .) 1 /1-:2 т!.! ьУ1 — ху Таким обрюом, в этом глучае зеличигш ~ )г1,,( растет не быстрее, чем г=-е ,/иь Поскольку )Т„(а:)( < 1, *о погрешность в значении мноючлена, коюрая являеття следствием погрешнштей в г(г, не превзойдет величины порядка ( 'г )41 ))2 г = 0(угп2 ). Такан оценка погреппюсти оказывеат- г=е ся приелшеиой при реальных вычислениях. Конечно, не обязательно пргдсгавлнгь мпогочлоны, приближагощио функцию, в виде линейной комбинации (3) многочленов с!ебьплсва.
В зависилнюти от конкретной обстановки иногда удобнее представлять многочлен как линейную комбинацию многочленов какой-либо другой ортогональной системы, напримор многочланов Лежандра (Ыы рассмотрели систему многочленов Чебыпюва вследствие ааиболыпей просюты 1жкуррентпых сгютношений дд» вычисления их значений.) Дадилг рекомендации по вычисленвю значений миогичлена Р„(х) на отрезке (-1, Ц безотносительно к вопросу о наялучшем приближении г)>ункций.
Пусть в обычной форме этот многочлен записываеп:я в виде ~г о хг э=с и погрешность порядса (~ )а ))2 является допустимой. Тогда имеет г'=а смыгл воспользоваться схемой Горнера Р„(х) = ос + х(а~ +в( ° +х(а„~ + хо„)...)). В противном случае этот многочлен целесообразно представлять в виде линейной комбинации ортогональных многочленов, например многочленов Чебьгшеаш Р„(х) =~ В Т.(х). Э а Интерполяция и приближение сплайиэми Дэя уменьшения числа действий при вычислении значений Р„(гг) це. лесасбраэно поступить следующим обрезом.
Полагаем Ос = «уа — бг/2, Ог -— (ог г(гш)/2, у = 1,..., а — 2, о„= г]н/2. Пя — г = Уэ,/2, При необходимости вычислить Р,(г) находшэ Рг н затем погэадовательно находим оя .г,..., эо = Р„(х) по рекуррентнай г]юрьгуле аэ = рэьгг — оаег р Пь. Известно, что вычислительная пагрегпнасть заката алгоритма есть О (и гп1п(гб 1 гпах 1«н(х)2 ). э/] — «г.) (-гд] Задача 2. Проверить, что действительно ае = Р„(г:]. В 8. Интерполяция и приближение сплайнами Для определенности будеы говорить о приближонии функции /(«) на отртке [О, 1]. 1азобьелг его на части [га, х~], ., [«н мхл], ге = О; хэ = 1, н обозначим эта Разбиение чаРт П.
Е1азовем сплаанам оаэ(/, х) подлдиа т функцию, являгощугогж многочленом сщпени т на каждом из отрезков [хп,, хэ], т е. ~ан(/, х) = Рэ (х) =аэе+ . э аям.с' п1ш гм 1 < «< хэ, (1] и удовлетворяющую усяовиям непрерывности производных до порядка гл — 1 в точках гл .-., «м-м РЩ(х ) — Р1ь) («„) при ь, =О, гп — 1, = 1,..., ]У вЂ” 1. (2) Втго имеется в распоряжении 1у = Ж(аг+1] неизвестных ком[гфициептов а эе и сотпошеиип (2) обРатУюг системУ из (гУ вЂ” 1)т линейных алгебРаических уравнений. Другие уравногшя для коэффициентов получавлгя из условия близости сплайна к прибпижаемой функции и из некоторых дополнительных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
