Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 42
Текст из файла (страница 42)
С учетом (3) получаем оценку и' г(гАсу Аг.4еу АгАс у дгАа'т 2 и'Ы 2п 2 2 (2йг)гр Ж'/* ' (4) где Из =- г)~/(4 ° 2г/'). Таким образом, построенная функция принадлежит рассыатриваемому классу и для нее выполнясгс» неравенство (4) с постоянной йз, не зввисягоей от узлов аятегрироввния, оиа обращается в нуль во всех узлах Р. Следовательно, способ построения требуемой функции для глобал совокушяхти узлов Р„..., Рл уквжиь Бэппе п1юизводилась оценка снизу погрепшости квадратур, т.е. формул шгтегрироваяия 1,'гч — — Фч(Ог,..., С г; рг,..., р г), С=2,..., Ж, где узлы интегрирования Р и веса .У ве зависит ст конкретной пццьштегрвльгюй функции.
Для ыногих задач практически более эффективными являются способы интегрирования, где последуивцие узлы интегрирования выбираются в зависимостл от информации об уже вычисленных значениях функции, наприыгр способы интегрщюввния с автоматическим выбором шага. Пусть имеется какой-то способ интегрирования, где информации о подынтегрвльной функции учитывается лишь в виде информации о ее значениях в отдельных тачках. Этот способ определяется заданием первого узла интегрирования, правила„по которому отыскивавзтся следующие Узлы, и способа вычисления приближенного значения инте:рвла. Таким Образом, всякий такой способ укладывается в следуницую схему: звдаготся некоторый узел Рг, функции ггв Глава З.
Многомерные эв.,лачн определяющие выбор следуэлцнх узлов интюрирования э зависимости от Ранее накопленной инфоРмации о поцынтагРальной фУнкции, и фУнкщш блан, Юк' ун, ул ). Здесь О~г — точки облги;ти С, уг — числа. При приближенном вычисленгя конкретного интеграла послаяователыго вычисл~погся величины Е(Рг) Рг =- гуг(РВ Е(Рг)) ЕИг) Рз = гуз(Рг Рд Е(Рг) Е(Рг)) Е(Рг) Е(рк) н затем полаппот Е(Х) = Бн( Рн..., Рн, Е(Рг)... Е(Рк)). Поскольку точка Е'1 задается вместе с заданием функций Фг и Як, за виснмскть этих функций от Рг можно было бы опустить.
Так же, как в случае квалратурных формул, можно определить но. грешность метода прн вычислении данного интеграла Е(н(Е) .= Е(Е) — Б(Рн..., Ргб Е(Рг),..., Е(Рь)), погрешность метода на классе ЕЕк(Р) = -, ~Е1к(Е) ~ Еек и оптимальную оценку погрепгностн иа множестве всевозможных запалов интегрирования Рк(Р) = шЕ ЕЕк(Р).
гьв,,..,в,в„ Теорема (без докгзательсгва). ЕЕуса|ь ютсс функция Р— выяукгыа ценшрально симмюаричшгб когашюп с ценшром симмеглрии Š— ш О и все функции этого клас(и равномерно ограничены. Тогда опппивольные оценки погрешности на мноэквствах всевозможных квадрашурны:с формул и всевозможных способов гтглегрировакил сотгодаккш И'к(Р) = Вк(Р). Условие выпуклости класгл Р означает, что выесте с лк1бьнги Ен Ег б Р этому классу принадлежат также все функции Е = 0Е, б(1 — 01фз при О < В < 1. Условие, что класс является ценшрально симметричным с центром силгмвгрии Е ш О, означает, что вместе со всякой функцией этому классу принадлежит также функция В частности, все классы С„(А) удовлетворяют условиям теоремы и может показаться, что рассьютрение более широкого множества способов интегрирования не представляет интереса.
Однако такой вывод нельзя признать правилыпям. Методы интегрирования с выбо1юм узлов интегрирования в зависимости от полученной в процессе вычислений инфор-- мации продемонстрировали на практике свою высокую эффективность 27. Оценка снизу погрешностя по сравнению с квадратурными форь<улами с заранее фиксированными узлами интегрировании. Поэтому более правильным будет вывод о том, что практически встречающнеит задачи более точно описываются некоторыыи невыпуклыми классами функций. Например, типичным классом функций, встреча<пищи<я в приложениях, является класс ку<тлп<оанвлитических функций.
Обратимся к одномерному случаю. В случаа выпукл<к."ги класса функций полусумма двух функций класса также принадлежит этому классу. Полусул<ма функций, нме<ощих ( точек, где нарушается аналитичносггэ ьюжет иь<еть 2( точек с нарушением аналитичности. Таким образом, класс аналитических функций, имеющих не более заданного числа 1 точек парушени» аналитичности, не является выпуклым.
Ясли число точек нарушении аналитичности не ограяичено сверху, то класс функций не являстгл замкнутым: предел посл<довательности кусочно-аналитических функций с неограниченно растущим числом точек нару<пения аналитичности может оказаться функцией, не являющейся кусочно-аналитической. Вьппе произвсдилось сравневие мппщов интегрирования по верхней грани погрешности на классе функций.
Однако возм<экна следующая ситуация. Дэа метода имеют одинаковые погрешности на классе функций, в то же время на болыпнпстве функций класса один из методов имеет меньшую погре<ппость. Ясно, что этот метод является более предпочтительным и сравнение методов по верхней грани погрешности на классе функций в дашюм сэучае не дает общей картины. Из скшанпого выше вытекает актуальность ре<пения слцлующих зада <. Задача 1. Как прави<пно описать клэсг. реально вогреча<ощих<л <пунк- ций? Задача 2.
Как правильно ввести меру в пространстве реально встречающихс» подынтегральпых функций? (Ни про одно из известных определений меры в пространстве функций нельзя сказать, что оло правильно описыаст обстановку, характерную лли приложений.) Приведем примеры некоторых алгоритмов интегрировш<ия с вь<рюроь< Узлов в зависиыости от ранее полученной информации. Многоь<ер«ый интеграл записывается как повторный 1У) = ) П( ' ) б '<, э о Уь<(*<) 1<(Х<) = / 12(Х! Хэ)<(хэ, <(ай гэ*-<(м .ж.-<) 1, <(тм..., эз <) = / Дх<,...
х,)<(хм Глава 5. Многомерные валюш. и численное интегрирование по некоторым иа перел~вялых ху произво. дится посредством одномерных алгоритмов интегрирования с автоматическим выбором шага. Следующий алгоритм вычисления многомерных интегралов имеет дру гую структуру. Среди известных алгоритмов интегрирования с автома. тическим выбо1юм узлов интегрирования этот алгоритм является наиГюлее эффективным по отно~ггению к задаче вычисления интегралов от функций с особенностями функции или ео производных в изолированных точках. Пуси, вычисляется интеграл ((Х) НХ, П = [о~ < х~ < 60..., а, < з, < 6„), Х = (хн..., з,).
Заменой переменных ге = 0,5(о; + Ь,) + 0,5(а; — 6„)6„1 = 1,..., Ю интеграл превращмггся в интеграл по кубу ( ((Х)дх = / д(1)а, а=( — 1ЕП <1,...,-1<В<1), с=(й,...,г). В основу метода положены кубатурные формулы д(1) д1 ж С;(д), д = 1, г, З. Для вы шсления интеграла ( д(г)Ф вычисляются гя((д) и Ггзг(д) и про- веряется условие (5) !Ф(д) -Я(д)1 < . Здес» е — некоторая условная мера погрепгншжи. Если это условгг выполнено, то за приближенное значение ивтеграла по С принимается значение, вычисленное гю кубатуриой формуле Щ обычно являющейся линейной комбинацией формул с)", и Я. Если условие (5) не выполняется, го куб С разбивается на 2" равных кубов и описанный алгоритм применянгся к каждому нз этих кубов.
Процесс дробления продолжается до тех пор, пока условие (5) не будет выполнено. Если при делении шага Ь пополам наступит такой ыомент, когда й' станет машинным нулеы, то счет прекращается. Испшгьзуемые в стандартных программах кубатуркые формулы Я' имеют следующий вид. 5 7. Оценка свезу погрешности 1222 = Вз Е д(зо, уо) 4- Вз Е д(зб, И) + И ьр!.=и Иьй=з -3-Вз ) д(зу, 27) 4- Вз ~ д(й, ун), И4б=з И,Ы=г где 0,658149897623035910, В = 0,549119831921783496, 0,894427190999915878, и =- 0,316227766016837933, 1,06136206790541224, Аз = -0,234973179016523356, 0,173611111111111111, 3,99942795838189963, Вз = -6,29803906949301074, 0,124007936507936507, Вз = 3,17460317460317460, (кз точна для всех много гвенов степени пе больше 5.
точна для всех многочлеззов степени не болыпе 7. о= 7= Аг = Аз =- Вз = Вз =- (кз Формула зЯ Форлзула 13з 11.з=з 1. з=2: за =А, ) д(зо, зо)+Аз ) д(зВ,2В)+Аз ), д(зЪ27), 1 04Ы=з ИеЫ=г И,Ы=г 231 8 121 дз 44д(0, О, О) + — Е ~ 1, )(11 ')(11! И,ЫИИ=' р10 ~, д(з у 1) ИИзддь =' ( 1552 1573 Ч ')( ) И И Ф=' ." ~,К ='7=') "") ! Н-(ИИИь)=г д(;,0,9) ), д(0 Вд) И,И=г ИЗЧ=' Ы 1ь=' з 4 з 5 з З.„~з = -З), + -бЪ 9 9 Формулы 72зз и (7з точны для всех многочленов стипени не больше 5. Формула ззз точна для всех многочленов степени не болыпе 7. Глава 5. Многомерные задачи 0 8. Метод Монте-Карло При построении квадратурных формул вместо с формулой, как правило, получалась оценка ее погрешности на некотором классе функций.
На. пример,,вдя одномерной формулы трапеций была получена оценка пс гре«пности вида са«жбАт!«' т на классе функций со второй производной, ограниченной по модулю постоянной Аз; здесь !«'--число узлов инто грировапия. Такого рсша оценки погрешности назывюот гарзитлпроеонними ецеиьамв погрешности иа»ассе фу««хцой. На основы«ии этой оценки можно гарантироватге что погрешность приближенного значения инте грала не превосходит определенной величины для всех подьпггегральных функций из рассматриваемого клас«я. Оценивая погреппвкть метода как оценку на классе функций, при оценке погрешности коикреп«ого интеграла мы ориептируем«:я па величину, получающуюся в случае ннтегри!ювания «худи«ей» функции рассматриваемого класса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
