Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ют лучшей организации вычислений. При применении процедуры, описанной в з 4, вычисление интеграла высокой кратности как бы сводилось к вычислению б«шьшого числа интегралов медыней кратности. П«люму при вычислении инзегралов высокой кратности иногда можно использовать указанные выше резервы повышения эффективности в случае вычисления серий интегралов. Обратим внимание на следуюгпую опасность, возникающую при одновременном поучении результата сразу по всей серии задач. Прсдъявляелгая к решению совокупность задач соответствует какомуто реальному явлению.
Может глучитыя, что ранее явление не «обсчитывалось» на ЭВМ и предъявляемая математическая модель пе является удовлетворительной. Тогда в случае одновременного решения задач серии вге результаты вычислений окажутся бесполезными. При пшледовазпльном решении задач можно уже после получения первых рнзулыэтов обнаружить рассогласование математической модели с общей картиной явления.
Такое рассогла«иванне зцпвчпо при решении новых задач, и обычно оно устраняотгя но сразу, а после больпвио числа пробных просчетов и совместного облужденяг«модели закв:шиком и исполнителем. Исполнитель имеет особыс оснонання быть заинтересованным в обсунСцснии постановки задачи. Если исходная постановка задачи окажшся нервзумгюй, ому придется потратить много времени на ныбор нового алгоритма н яаписание новой щюграммы. Участвуя в обсуждении, исполнитель может уяснить себе все«можныг варианты изменения постановок задачи н про,еусмотреть их при гхлзнвленгш программы решения задачи.
В свпзи с этим при решении задач новых типов особенно важно, чтобы программа подразделялась на отдельные функциональные блоки, повдающиесл независимому излшнению. Часто столкновение исходных позиций зэкэзчика (обсчет ь»щробной мгщели) и исполнителя (минимальный объем рабат) приводит к построении) упрощенной модели нвления, быстрый обсчет которой позволяет решить вопрос о целесообразн«лги рассмотрения Голее сложной мгщели. Рассмотрим другой пример, относящейся к организации работы по выбору метода интегрирования е случае кратных и«пегралов.
Часто вычисление интегралов по сложной области сводят к вычисеенню нн«егразов по области, являющейся прямым произведением областей простейшего вида: отрезков, параллелепипедов, лучей, бесконечных прямых, кругов, сфер, шаров и т.д. Для зэклх сгандартных областей имеется достаточное количество совершенных ме- 311. 0 выборе метода решения за,лачи Его удобно записать в виде ! !(У) =- / / р(!. )и й, где 5! единичная сфера, бь! — злемент ее площади, р(! з!) ! ! (!ыз !ыз !!'зз) з! (!"! !'з! !'зз) ! ! '! ыз ! ыз Предположим, что решено вычиюгять интеграл при помаши квадратур, явля- ющихся прямым про!шаг!!с!щам квадратур по отрезку [1, 2) и по сфере 5!.
Под прямым произеедсггием кмзлратуры з ! (!) сй м ~ з! !з(! ) ! з=! и квадратуры р(ь)а =ХА;р(ы,) з=! аде'.ь понимается квадратура Г, / р(1, ы)з(ыб! м ~ ~ г(11' д(!з, зз). ! л !=!!-! (2) Исследуеы зависимость погрешности интегрирования от способа интегрирова- ния и от числа узлов. Для исследовании поведения погрешности чигченного интегрярованвя по оси 1 выберем какую-то «базовую» квадратуру по шшнич- ной сфере: р(з4 г1! = Е й;р(ы,')г л з=! (3) имеется в виду, что число аллоя що мало и в то же время выражения С(!) =-У д(1, ы)а и а'(!) ='Е К„'д(1,ы,') л з=! имеют одинаковый качественный характер поведения по 1.
Например, можно попытаться взять в качестве (3) квадратуру 2я р(ы) зуьз — ~ р(ыг, ыз, ьт) 3 где суммирование щюизводится но 6 точкам пересечения едиаичиой сферы с координатными осями кз, яз, яз. годов интегрирования, и после такого преобразования области интегри!юввння можно применить процедуру, описаннук! в 1 4, нли какую-либо другую, аналогичную ей. Пусть вычисляется интеграл у(!) =- Х(кг, лм лз) г!ягг)кзот!. Глава 5. Многомерные задаче Предположим, что для вычисленвя интеграла по оси ( принято решение прим нить или формулу Гаусса, или формулу Симпсона. Последовательно применя„ формулы Гаусса / б(()оУ и ~ пэй((") 1 г=! при ~ = п„пэ, узлах, получаем век порыв величины Сэ ~,у.(-эП,) э=1 Точно так же при числе узлов и .= пг, пг,... получаем приближения по фор.
муле Симпсона Яэ,. Из рассмотрения поведения всех этих величин можно усмотреть значевие предела Уо, к которому опи стремятся. Далее, при каждом и среди асах приблияивий С" и Вэ, < пи и( < и выберем приблизсение Г„, обеспечивающее лучшую точность, я вводом функцию Ю(п) =- (Гэ — У" ( погрешности численного интегрирования по оси (. Точно так же фиксируется векоторая бэюээя квадратура по пероменвой ( (часто эта квадратура Гаусса с двумя узлами) и строится функция эг (т) погрешжюси чяслшшого интегрирования по сфере ы. Прсдпшюжим, что суьтар1мя погрешвость есть В = ээ(п) В и (т).
Еглв значения функлви Г' вычисляют. ся везааисилю. го трудоемкость метода пропорциональна пт. Минимизируя пгя при заданном требовании ив точность, чпзлэ т~(п) то (т) < е, получаем искомые значения числа учло» по и шэ. В зависимости ог то~о, какой «ведра туре — Гаусса или Симпсона — отвечает дашке и, выбираем соответствующую квадратуру. В г ~учае сомнений е правомерности испопьзоваиия этой методики остаегся возможность про ерить пр ильность резулыата, проыыя допош~ительное интегрироээиие с несколько отличными от пе и ще значениями и и т. Приведем типичный пример подобной оргапшапиии выбора способа интегрирования по каждой из осей в случае большой серии интегралов по единичному э-мерпому кубу.
По каждой из осей применяется форыула Гаусса, при выборе числа ее узлов по каждой из осей в кюгестве базовых квадратур ло остальным осям берутся квадратуры Гаусса с двумя узлами. Дробление числа узлов по каждой из рассматриваемых осей продолжается до тех пор, пока разность между двумя последующими приближениями не станет менее чем с ° э г. После определения таким образом нужного числа узлов гг('), соответствующего кажцой оси, производится вычисление интеграла с п(г) узлами по каждой из осей. Иэ-за некоторой ненадежности описанного алгоритма обычно производится проверка правомерности его применения е случае данной серии интегралов: выбираштя доститочно представительна» псдсерия интегралов и для нее результаты расчетов па данному алгоритму сравниваются с риэультатамн расчетов при несколько измененных знююниях числа узлов по осям. 5 11.
О выборе метода решения задачи Литература 1. Бахвалов Н.С. Об оптимштьных оцеяках скорости сходимости квадратурвых процессов и методов ивтегрирования типа Манто-Карло на классах функций. // В кнл Чигленные методы решения дифференциальных и нигвгршп наш уравнений и квадратурные формулы. — Мл Наука, 1984. С. 5-бЗ. 9 Бахвалов Н. С. Численные метолы.
— М.. Наука, 1975. З Лоусон Ч., Хансов Р. Численное решенно задач мшода наименьших кведратов. —- 51л Наука, 198б. 4 Мысовских И. П. Интишоляпионные кубатурные фориулы. — Ыл Наука, 1981. 5 Никифоров А.Ф.. Суслов С.К., Уваров В. Б Классические орик опальные поли- номы дискретной переменной. -Мл Наука, 1985. б Никольский С. М. Квадратурные формулы. — Мл Наука, !979. 7. Соболев С. 71. Введение в теогяпо кубатуриых формул.
— Мл Наука, 1974. Глава б— Численные методы алгебры '%' К численпыы методам юпебры традиционно отвесят численные мепь ды решения систем линейных алпбраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, нахождения собствешгых значений и собственных векторов матриц н нулей многочленов. При формальном подходе решение этих задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера; длл нахождения собственных значений матрицы досгаточно аыписать характеристическое уравнение н найти его корни.
Однако эти рекомендации встречают жпражения со многих сторон. Так, при непосредственном раскрытии определителей решение сигземы с т неизвестными требует порядка тйо арифметических операций; уже при гп = 30 такое чисяо операций недоступно для современных ЭВМ. При сколь-нибудь болыпих ш применение методов с таким парядкол~ числа операций будет невозможно и в обозримом будущем. Другой причиной, по которой эти классические способы неприменимы даже при малых гв, является сильпсе влияние на окончательный результат округлений при вычислениях.
Уже при ш = 20 при расчетах на современных ЭВМ типична аварийная остановка из-за переполнения порядка чисел. Даже если такая остановка не происходит, результат вычислений часто далек от истинного значения из-эа влияния вычислительной погрешности. Точно твк же обстоит дело нри нахождении собственных значений матриц < использованием явного выражения характеригтического многочлона. Методы решения алгебраических задач раздеяяюттш па точные, итерационные и вероятностные.
Классы задач, для решения которые обычно применяют методы этих групп, можно условно назвать соответственно классами задач с малым, средним и большим числом неизвестных. Изменение объема и структуры памвти ЭВМ, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещонию границ применения методов в сторону систем более шясоких порядков. В настоящее время точные методы обычно примевяюпя для решения систем до порядка 104, итерационные — до порядка 10г. При изучении итерационных процессов нам понадобятся паватиа ноРм вектора и матрицы. Напомним определения основных норм в простран- 251 Глава б.
Численные мегслы алгебры ствах векторов и матриц. Если в пространстве векторов х =- (хг,...,:с ) т введена норма ()х((, то согласованной с вей нормой в пространстве матриц А называют гюрыу ))А(( = вор((Ах((/)(х)). Паиболее употребительны в пространстве векторов следующие нормы: )(х)(, = шах (х.), (2) 1<1'< ))х()1= ~ )х ), 1=1 ))А)(, = 1пах () )а,г)), 1=1 (5) ((А((1 = 1пах ®о<1(), (б) ()А((г = пих Л'„.л1 1<1< * (7) здесь и далее Л11 — собственные значения матрицы В. Приведем вывод этих ссютпошений для всществегпюго случая. Поскольку, согласно (2), )(Ах(), = п1ах!) а,гхг! < шахЯе, (игах)х,)) < шах(~ )аг)) гпах)хг), 1 1 )(Ах)( < шах( ) )аб)). Пусть шахД )а,г)) достигается при 1 = 1; для вектора х = (эгйп(ап),..., в15п(а1,„)) имеем ()х)(, = 1, )(Ах() > ~)'у а11хг~ = ~)л11) = (гпах~(а11))))х))ш. Иэ этих ссютношений следует (5).
а согласованными с ними нормами в пространгтве матриц явлюотся со- ответственно нормы Глава б. Численные методы алгебры Точно так же двя нормы вектора, определяемой по фармуле (3), имгим ()Ах((! = ~)~ а!зт!) < (шах) )а, () ~ (:г ), т. е. ((Ах)(г (~ ) ((Ах)(г = ~ )Яа, х ( =. ) )е,!()т!) = () (а;!()(тр(= = (ушах) )и!!()) )Яз(=- (шах~ (а, ()()х((П отсюда слепует (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
