Диссертация (1155072), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

е.92v C  , ( E0 ) M  v0E 1f (1   )C0 , ([ 0,1], E   ).(1.2.68)Оценку для A(t )v(t ) в норме C0 , ( E  ) получаем в силу неравенства треугольникаиз уравнений (1.1.1):A()vC0 , ( E  ) M  v0E 1f (1   )C0 , ([0,1], E  ).(1.2.69)Остается, используя оценки (1.2.67),(1.2.68) и (1.2.69) получить неравенствокоэрцитивности (1.2.1). Теорема 1.3 доказана.931.3. Приложения к главе 1а) Рассмотрим смешанную задачу для параболического уравнения: v(t , x) 2 v (t , x )a(t,x)  v(t , x)  f (t, x), 0  t  1, 0  x  1, t2xv(0, x)   ( x), 0  x  1,v(t , 0)  v(t ,1), v (t, 0)  v ( t,1), 0  t  1,xx(1.3.1)где a(t , x) ,  ( x) и f (t , x) достаточно гладкие заданные функции, a(t , x)  0 ;   0 –достаточно большое число.Введем банахово пространство C  [0,1] (0    1) всех непрерывных функций (x) , удовлетворяющих условию Гѐльдера с нормойC  [0,1] C [0,1] ( x   )   ( x).0 x  x  1 supЗдесь под C[0,1] понимается пространство определенных на [0,1] непрерывныхфункций  (x) с нормойC [0,1] max  ( x) .0 x 1Известно, что дифференциальное выражениеAt , xu  a(t , x)u(t , x)  u (t , x)определяет сильно позитивный оператор At , x , действующий в пространстве C  [0,1]с областью определения C  2 [0,1] и удовлетворяющий условиям u (t ,0)  u (t ,1) ,u x (t ,0)  u x (t ,1) (см.[40, 46, 62, 63]).

Итак, смешанная задача (1.3.1) сводится кабстрактной задаче Коши (1.1.1). Поэтому справедливы следующие теоремы.Tеорема 1.4. Пусть f (0, x)  0 , f  C0 , (C  [0,1]), 2 C 2(   )   [0,1] при некоторыхx 20      1, 0  2(    )    1, 0    1 . Тогда для решения смешанной задачи (1.3.1)справедлива оценкаvtC 0 , ( C  [ 0,1]) 2vx 2C 0 , ( C  [ 0 ,1])vtC ( C 2 (   )   [ 0 ,1])941 M ( )f  (1   ) ,C01  2   x 2( C [ 0,1])C 2 (   )   [ 0 ,1] с постоянной M (  ), не зависящей от  ,  , f и  . 2 C 2(  )   [0,1] при некоторыхx 2Tеорема 1.5.

Пусть f (0, x)  0 , f  C0 , (C 2(   )   [0,1]),0       , 0    1, 0  2(   )    1, 0    1 . Тогда для задачи (1.3.1) имеет местоследующее неравенство:vtC 0 , ( C 2 (    )   [ 0 ,1]) 2vx 21 M ( )f (1   ) ,C0 ,C0(C(C2 (   ) 2 (  ) [ 0 ,1])[ 0,1])vt 2x 2C ( C 2 (   )   [ 0 ,1]),C 2 (   )   [ 0,1] где M (  ) не зависит от  ,  ,  , f и  .Доказательства этих теорем опираются на следующую теорему (см.

[62]).Tеорема 1.6. E (C  [0,1], At , x )  C 2   [0,1] при всех 0  2    1 , 0  x  1 и 0  t  1.б) Пусть теперь  – единичный открытый куб с границеймерному евклидову пространствуnS,и принадлежащий n -(0  xk  1, k  1,..., n) ,     S . Рассмотрим намножестве [0,1]   смешанную задачу v(t , x) n 2v(t , x) t   ar (t , x) x 2   v(t , x)  f (t , x),r 1r x  ( x1 ,..., xn )  , 0  t  1,v(0, x)   ( x), x  ,v(t , x)  0, x  S .(1.3.2)Здесь ar (t , x) , f (t , x) (t  [0,1], x   ) ,  ( x) (x   )  заданные гладкие функции иar (t , x)  0 ;   0 – достаточно большое число.Введем банахово пространство C01 () (  (1,..., n ), 0  xk  1, k  1,..., n) всех непрерывныхфункций,удовлетворяющихусловиюГѐльдераспоказателем  ( 1 ,...,  n ) ,  k  (0,1) , k  1,..., n и с весом xk (1  xk  hk )  , 0  xk  xk  hk  1, k  1,..., n ,kkдля которых конечна нормаfC 01 (  ) fC ()nsup0  x k  x k  hk 1, k 1,...,nf ( x1 ,..., xn )  f ( x1  h1 ,..., xn  hn )  hk  k xk k (1  xk  hk )  k .k 195Здесь C () пространство определенных на  непрерывных функций с нормойfC() max f ( x) .xИзвестно, что дифференциальное выражениеnAt , xu   ar (t , x)r 1 2u(t , x) u (t , x)xr2определяет сильно позитивный оператор At , x ,действующий в пространстве C01 () ,с областью определения D( At , x )  C012 () и удовлетворяющий в S условию u  0(см.[40,46]).

Поэтому задача (1.3.2) является задачей Коши (1.1.1). Используяранее доказанные теоремы, получаем:Tеорема 1.7. Пусть f (0, x)  0 , f  C0 , (C01 ()), 2 2,..., C012(   )   () при некото22x1xnрых 0      1, 0  2(   )    1,   {1 ,..., n }, 0  k  1, k  1,..., n . Для решения смешанной задачи (1.3.2) справедливо неравенство коэрцитивностиvtC 0 , ( C 01( ))nr 1 2vxr2C 0 , ( C 01(  ))1 M ( )f  (1   )C 0 , ( C 01(  ))1 nr 1 2xr22 (   )  C 01() с M (  ) , не зависящей от  ,  , f и  .в) Наконец, в области {0  t  1, x n} рассмотрим задачу Коши для многомерногопараболического уравнения 2m -го порядка с переменными коэффициентами посовокупности переменныхr v(t , x) v(t , x)a(t,x)  v(t , x)  f (t , x),rrnr1txxr2m1nn 0  t  1, x, r  , r  r1    rn ,nv(0, x)   ( x), x  ,(1.3.3)где ar (t , x) , f (t , x) и  ( x) достаточно гладкие заданные функции,   0 – достаточнобольшое число.Банахово пространство всех непрерывных функций  (x) , определенных наи удовлетворяющих условию Гѐльдера с нормойC (n) C(n) supx , yy 0n ( x  y )   ( x)y,n96обозначим через C  (ных наnn) (0    1) , где C (n) – банахово пространство определен-непрерывных функций  (x) с нормойnC() maxn  ( x) .xДопустим, что a (t, x)(i )Bt , x ( ) r  2mrr11– символ действующего на функции вBt , x r 2m  (1 ,..., n )    (i n )rn ,nnдифференциального оператораr1x1    xnrnrar (t , x)удовлетворяет неравенствамM1 2m (1)m Bt , x ( )  M 2 2m.Из результатов работ [24, 61, 63, 71] следует, что задачу (1.3.3) можно свести кабстрактной задаче Коши (1.1.1) в банаховом пространстве E  C  (n),   (0,1), ссильно позитивным оператором At , x  B t , x  I .Теорема 1.8.

Предположим, что f (0, x)  0 . Для решения задачи Коши (1.3.3)справедливы следующие оценки:vtC0 , ( C  (n vr1x1  xnrnrr 2m)) 1 M ( ) f  (1   ) ,C0(C (C0 ,(C (1n)) nr 2m))vtC ( C 2 m (   )  ( r1x1  xnrnn))rC 2 m (   )  (,n )0      1, 0  2m(    )    1, 0    1,vtC0 , ( C 2 m (   ) (n))r 2m 1 M ( ) f  (1   ) vr1x1  xnrnrC0 , ( C 2 m (   ) (C0 , ( C 2 m (   ) (n))r 2mn))vt r1x1  xnrnC ( C 2 m (   )  (rC 2 m (   ) (0       , 0    1, 0  2m(   )    1, 0    1с постоянной M (  ) , не зависящей от  ,  ,  , f и  .n)),n )97Доказательство теоремы 1.8 основывается на ранее доказанных теоремах, в томчисле на известных оценках в C  (n) для эллиптического оператора At , x иструктуре дробного пространства E (C  (Tеорема 1.9.

E (C  (n), At , x )  C 2m  (nn), At , x ) из следующей теоремы [49, 71].) при всех 0  2m    1 , x nи 0  t  1.98Глава 2Нелокальная задача с постоянным оператором ,2.1. Постановка задачи. Разрешимость в пространстве C0 ([0,1], E)В произвольном банаховом пространстве E рассмотрим нелокальную задачуv (t )  Av (t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1)(2.1.1)для абстрактного параболического дифференциального уравнения с постояннымлинейным неограниченным, сильно позитивным оператором A , имеющим всюдуплотную в E область определения D ( A) .

При этом  A – производящий оператораналитической полугруппы exp{tA} (t  0) . Как и в первой главе, здесь v(t ) и f (t )искомая и заданная функции, определенные на [0,1] со значениями в E ; v (t ) –производная, понимаемая как предел по норме E соответствующего конечноразностного отношения;   D ( A) .Функцию v(t ) назовем решением задачи (1.1), если выполнены следующиеусловия:1) функция v(t ) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1];2) элемент v(t ) принадлежит D ( A) при каждом t  [0,1] и Av (t ) непрерывна на[0,1];3) функция v(t ) удовлетворяет уравнению и нелокальному условию (2.1.1).Задача (1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение v(t )при гладких данных  , f (t ) и для еѐ решения справедлива формулаt00v(t )  exp{tA}( I  exp{A}) 1{   exp{(  s ) A} f ( s)ds}   exp{(t  s ) A} f ( s)ds.Введем дробное пространство E  E , ( A, E) (0    1) с нормойuE sup z1 A exp{ zA}uРазрешимость задачи Кошиz 0E uE.(2.1.2)99v (t )  Av (t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v 0(2.1.3)в пространстве C0 , ( E) установлена в работе [4].

Именно справедлива теорема.Теорема 2.1. Пусть v0  f (0)  Av0  E  , f  C0 , ( E) при некоторых 0     ,0    1 . Тогда существует единственное решение задачи (2.1.3), причемAv, v  C0 , ( E ) , v  C ( E  ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  Av0C0 , ( E ) v C ( E ) 1Mv0 E 1f (1   )C0 , ( E )(2.1.4)с M , не зависящей от  ,  , v 0 и f .Приведем некоторые свойства полугруппы, необходимые в дальнейшем.Лемма 2.1. Для любого 0    1 верна оценка( I  exp{A}) 1EE M1,M1  0.(2.1.5)Доказательство.

Известно, чтоexp{tA} E E  M exp{t} , M  0 ,   0(2.1.6)и( I  exp{A}) 1  I  exp{A}  exp{2A}  ... .Тогда( I  exp{A}) 1E E M  M exp{}  M exp{2}  ...  M [ I  exp{}  exp{2}  ...] M M1 .I  exp{}Итак, верна оценка (2.1.5).Лемма 2.2. Для любого t  0 справедливы оценкиA n exp{tA}E E Mt  n , n  0;1; 2,(2.1.7)где M не зависит от t (см.[71]).Для нелокальной задачи (2.1.1) справедлива теорема.Теорема 2.2. Пусть A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E) при некоторых 0     ,0    1 . Тогда существует единственное решение задачи (2.1.1), причемAv, v  C0 , ( E ) , v  C ( E  ) и выполнено неравенство100v C  , ( E )  Av0C0 , ( E ) v C ( E ) 1MA  f ( )  f (0) E 1f (1   )C0 , ( E )(2.1.8)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  и f .Прежде чем перейти к доказательству теоремы 2.2, приведем одно тождестводля v0 :v 0  f (0)  Av (0)  ( I  exp{A}) 1  A exp{(  s ) A}( f ( )  f ( s ))ds 0 ((I  exp{A}) 1 A  f ( )  f (0))  I 1  I 2 ,(2.1.9)гдеI 1  ( I  exp{A})1 A exp{(  s) A}( f ( )  f (s))ds ,0I 2   ((I  exp{A}) 1 A  f ( )  f (0)).Доказательство теоремы 2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации