Диссертация (1155072)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»На правах рукописиУДК 517.95, 517.98Ханалыев Аскер РесуловичКОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬЗАДАЧИ КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙСпециальность 01.01.02 –«Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управление»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Л.Е.РоссовскийНаучный консультант: д.ф.-м.н., профессор А.АшыралыевМосква – 20162ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Глава 1. Задача Коши для параболических дифференциальныхуравнений с переменным оператором . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1. Постановка задачи. Разрешимость в C0 , ([0,1], E) и C  ([0,1], E ) . . . . . 151.2. Теорема о разрешимости в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . .

. . . . 341.3. Приложения к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Глава 2. Нелокальная задача с постоянным оператором . . . . . . . . . . . 982.1. Постановка задачи. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E) . . . . 982.2. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . . . . .

. . . . . . . 1032.3. Разрешимость в пространствах C  ([0,1], E ) и C0 , ([0,1], E) . . . . . . . 1052.4. Приложения к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.4.1. Параболическое функционально-дифференциальноеуравнение с растяжением и сжатием пространственныхпеременных . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальнымусловием на  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133Глава 3. Нелокальная задача с переменным оператором . . . . . . . . . . 1183.1. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E) . . . . . . .

. . . . . . . . 1183.2. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . . . . . . . . . . . . 1293.3. Разрешимость в пространствах C  ([0,1], E ) и C0 , ([0,1], E) . . . . . . . 1333.4. Приложения к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 136Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384ВведениеАктуальность темы. Изучение надземных месторождений нефти и газа, рядзадач механики жидкости, математической биологии, финансовой математикиприводят к решению различных локальных или нелокальных краевых задач дляпараболических уравнений. Поэтому изучение этих задач не теряет своей актуальности (см., например, [19, 59, 64-66, 75]).Коэрцитивная разрешимость – одно из актуальных направлений в теориидифференциальных уравнений с частными производными. А именно:- коэритивные неравенства широко применяются при изучении линейныхзадач (см.

[25]);- коэрцитивность помогает изучить безусловно устойчивые разностныесхемы (см. [3, 5, 6]);- коэрцитивность дает возможность построить разные аналитико-численныеметоды решения задач (см. [25]).В литературе представлены различные результаты по точным оценкам,максимальной регулярности, коэрцитивной разрешимости. Классические результаты даны в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н.

Уральцевой,П. Е. Соболевского и др. (см. [13, 25-29, 40-47, 73, 74]).Диссертационная работа посвящена коэрцитивной разрешимости параболических уравнений. Во-первых, изучается коэрцитивная разрешимость задачи Кошиv (t )  A(t )v(t )  f (t )(0  t  1),v(0)  v 0(1)для дифференциального уравнения с действующим в банаховом пространстве Eлинейным неограниченным, сильно позитивным оператором A(t ) , имеющим независящую от t , всюду плотную в E область определения D  D( A(t )) и порождающим аналитическую полугруппу exp{ sA(t )} ( s  0) . Доказываются абстрактныетеоремы и рассматривается их применение. Во-вторых, исследуется коэрцитивнаяразрешимость нелокальных задач как с постоянным операторомv(t )  Av(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1) ,(2)5так и с переменным операторомv (t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1)(3)для параболических дифференциальных уравнений и приводятся приложенияполученных абстрактных результатов.Введем банахово пространство C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E)(0     ,0    1) ,полученноезамыканием множества всех гладких функций f (t ) , определенных на отрезке [0,1]со значениями в E в нормеfC0 , ( E ) fC(E)(t   ) f (t   )  f (t ) sup0t t  1E.Здесь под C ( E )  C ([0,1], E ) понимается банахово пространство определенных на[0,1] со значениями в E непрерывных функций f (t ) с нормойfC(E) max f (t ) E .0  t 1Таким образом, при    и   0 пространство C0 ,0 ( E)  C0 ,0 ([0,1], E) (0    1)совпадает с пространством Гѐльдера C  ( E )  C  ([0,1], E ) (0    1) , для которогонорма имеет видfC (E) fC(E) supf (t   )  f (t )0t t  1E.А при      пространство C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0    1) с нормойfC0 , ( E ) f supC(E)(t   ) f (t   )  f (t )0t t  1Eсовпадает с пространством C0 ( E)  C0 ([0,1], E) (0    1) , норма в котором имеет видfC0 ( E ) fC(E) sup0t t  1t  f (t   )  f (t )E,причем нормы этих пространств равномерно по   (0,1) эквивалентны.Известно, что в случае произвольного неограниченного сильно позитивногооператора и любого банахова пространства E коэрцитивная разрешимость задачи(1), (2) и (3) отсутствует в C (E ) [см., например, 22, 29, 71, 72].

Так каканалитичность полугруппы является лишь необходимым, но не достаточнымусловием коэрцитивной разрешимости этих задач в этом пространстве. Поэтому6оченьважновыделитьфункциональныепространства,гдеэтизадачикоэрцитивны.Первые теоремы о коэрцитивной разрешимости для абстрактной задачи Кошиполучены в 1964 году в работе П.Е.Соболевского для пространств C0 ( E ) (0    1)и Lp ( E)  Lp ([0,1], E) (1  p  ) . В его работе [43] коэрцитивная разрешимость задачиКоши для параболического дифференциального уравнения доказывается впространстве C0 ( E) при v0  D( A) . В 1972 году В.

П. Аносов и П. Е. Соболевскийустановили коэрцитивную разрешимость задачи Коши в пространстве Слободец1pкого Wp ( E )  Wp ([0,1], E ) (1  p  , 0    ) (см. [2]). Более того, аналитичностьполугруппы является необходимым и достаточным условием коэрцитивнойразрешимости задачи Коши в пространствах C0 ( E) и Wp (E ) . В 1974 году П.

Е.Соболевский и Да Прато показали коэрцитивную разрешимость той же задачи впространствах C([0,1], E , ) (0    1) и Lp ([0,1], E , p ) (0    1, 1  p  ) , где E , p( 0    1, 1  p  ) банаховы пространства, полученные вещественным методоминтерполяции из пары E и D ( A) ( D( A)  E , p  E ) (см.

[47, 73, 74]).Эти результаты стали началом для полученных в дальнейшем результатов окоэрцитивной разрешимости. Коэрцитивная разрешимость задачи Коши впространстве C  ( E ) при Av 0  f (0) доказана в работе А. Ашыралыева и П.Е.Соболевского (см.[7]). В 1989 году А. Ашыралыев доказал коэрцитивность задачиКоши для параболического уравнения с постоянным оператором в пространствахC0 , ( E ) и C0 , ( E   )  C0 , ([0,1], E  ) (0       ,0    1) , тем самым, в нормах этихпространств были получены коэрцитивные неравенства (см.[4, 71]).Таковы основные результаты коэрцитивной разрешимости задачи Коши (1) дляпараболического дифференциального уравнения с постоянным операторомA(t )  A .Коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с переменным оператором в пространствах Гѐльдера C0 ( E) с7весом t  , Слободецкого Wp (E ) и в пространстве C ( E )  C ([0,1], E ) при 0      1установлены в [2, 32, 43].

Отметим, что коэрцитивная разрешимость задачи (1) вC ( E ) при 0    1 в условиях выпольнения условия Гѐльдера с любым показа-телем 0    1 для оператора A(t ) A 1 ( ) по t в норме E  получается предельнымпереходом   0 из оценок коэрцитивности схем Роте и Кранка-Николсон,которая ещѐ ранее установлено в работе [3].В диссертационной работе исследуются коэрцитивная разрешимость задачиКоши (1) и нелокальных задач (2), (3) в пространствах C0 , ( E) и C 0 , ( E   ) .Доказываются коэрцитивные неравенства в нормах этих пространств.Цель работы.Цель настоящей диссертации – изучить коэрцитивную разрешимость задачиКоши (1) и нелокальных задач (2), (3) для абстрактных параболических уравненийв пространствах гладких функций, расширить число функциональных пространств, где рассматриваемые задачи коэрцитивны.Методы исследования.В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов.Научная новизна.Все результаты диссертации являются новыми.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации