Диссертация (1155072), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Переписывая разностьexp{(t  s ) A(t   )}  exp{(t  s ) A(t )} в видеexp{(t  s ) A(t   )}  exp{(t  s ) A(t )} ts0exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 43ts2exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 0tsexp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 ,ts2интегрируя первый и второй интегралы по частямts2exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 0  A 1 (t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}ts2t s20A 1 (t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 0  A 1 (t   ) exp{tstsA(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{A(t )} 22 A 1 (t   ) [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s ) A(t )} ts2A 1 (t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 ,0tsexp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 ts2 exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )}tst st s2A(t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 ts2 exp{(t  s ) A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )  exp{tststsA(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{A(t )} 22A(t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )}dt1 ,ts2получаем для I18.4 следующее тождество:44I 18.4   exp{A(t   )} t exp{0t tstsA(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{A(t )} ( f (t )  f ( s ))ds 22exp{A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s ))ds + exp{A(t   )} 0t ts200 exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )} ( f (t )  f (s))dt1ds  A(t   ) exp{A(t   )}t exp{(t  s ) A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) ( f (t )  f ( s ))ds 0 A(t   ) exp{A(t   )} t exp{0tstsA(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{A(t )} ( f (t )  f ( s ))ds 22 A 2 (t   ) exp{A(t   )} t  t  s 0exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t ) exp{(t  s  t1 ) A(t )} ( f (t )  f (s))dt1ds ts2 K1  K 2  K 3  K 4  K 5  K 6 .Оценим K1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 и K 6 в отдельности.

Оцениваем сначала K1 . Пусть z   ,тогдаz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K1t A(t   ) exp{0E z 1(   ) exp{( z   ) A(t   )} E E ts[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )A(t   )}2E EtsA(t )}( f (t )  f ( s)) A(t ) exp{2 fC 0 ,  ( E   )M 1    tt 0ds(t  s) 2M 1 (1   )(t   ) ds  M1  EfE Et 0C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )(t  s )    1  t  s 2    1  2   (t  s)  ds(t  s) 2   t M 1    (1   )t   1fEC 0 ,  ( E   ).При z   получим, чтоz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K11   z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )} E E 45t ts[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )exp{( ) A(t   )}2E E0Mz 1    zt t (t  s)  dsf(t  s)1  0M  t     t fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )E Et M z   t (t  s )    1f (t )  f ( s)2    1ds(t  s)10M 1  (t   ) fC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )E  ds .ПоэтомуK1E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Аналогично оцениваются K 2 и K 3 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 2t [ A(t )  A(t   )]A (t )1E E0Mz 1    z M tt 0fC 0 ,  ( E   ) K2E  z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 3t ts2 0M  t t t M t    fM 1  (t   ) 0(t  s)  dsf(t  s)1  C 0 ,  ( E   )fMz t (z   )M 1  t t ts2 0f0(t  s)  dt1ds(t  s  t1 ) 2  fM 2  (t   ) fC 0 ,  ( E   )fEds C 0 ,  ( E   ), z 1(   ) A(t   ) exp{( z   ) A(t   )} E E Ef (t )  f ( s)(t  s  t1 )E E0 t C 0 ,  ( E   )M 1  (t   ) C 0 ,  ( E   )exp{t1 A(t   )} E E [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )1  dsE  (t  s)1  0ds(t  s)1(t  s)1  A(t ) exp{(t  s) A(t )}( f (t )  f ( s))(t  s)1  f (t )  f ( s)t  z 1(   ) A(t   ) exp{( z   ) A(t   )} E E EC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E  M   1  t  K3)t ds(t  s)1E  0E  2   M 2  (t   ) fdt1 ds C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ).Далее, оцениваем K 4 .

Изпользуя неравенства (1.1.3), (1.1.9), (1.1.10), (1.1.11)имеемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 4E46 z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E exp{A(t   )} E E t A1(   ) (t   ) exp{(t  s) A(t   )}[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E Ef (t )  f ( s) E ds E E0t M(t  s)1  0f (t )  f ( s)E  t Mtds 0  (t  s)  dsf(t  s)1  C 0 ,  ( E   ).Во-первых,t   (t  s)  ds(t  s)1  0t   t  ds(t  s)1  0,(   )      во-вторых,t   (t  s)  ds(t  s)1  0t   0 t  ds.(t  s)1 Поэтомуt   (t  s)  ds(t  s)1  02  12 1 . min,        Итак,z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 4E2 M t fC 0 ,  ( E   ).Отсюда вытекаетK4E  M 1  (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Точно также оценивается K 5 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 5E z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E exp{A(t   )} E E t A1(   ) (t   ) exp{0ts[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )A(t   )}2E Et  f (t )  f ( s) E ds  M0M 21 -tt 0  (t  s)  ds(t  s)1  ft  s 2 C 0 ,  ( E   )1  E Ef (t )  f ( s)exp{E  tsA(t )}2E Eds M 1  11  min,  ft    C 0 ,  ( E   )472M 1 (     )t fC 0 ,  ( E   )M 2  (t   ) f K5C 0 ,  ( E   )E  M 2  (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Наконец, оценим K 6 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}K 6E z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E exp{A(t   )} E E t  t  s 0A 2(   ) (t   ) exp{t1 A(t   )}ts2E E[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )t  t  s  exp{(t  s  t1 ) A(t )} E E f (t )  f ( s) E dt1ds  M0M 1tt   (t  s)  ds(t  s)1  02M 1 (     )t f ,C0( E   )f ,C0( E   )M 2  (t   ) fts2t12   f (t )  f ( s)M 1  11min,  ft     ,C0( E   ) K6E  E EE  dt1 ds C 0 ,  ( E   )M 2  (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для K1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 и K 6 , получимI 18.4E  M 3  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Из полученных оценок для I18.1 , I18.2 , I18.3 и I18.4 следует, чтоI 18E  M 4  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Остается, используя оценки для I16 , I17 , I18 и I19 , получить неравенство (1.2.8).Теперь оценим g (t ) в C0 , ( E  ) .

Установим, чтоg (t )E  g (t   )  g (t )M fE  C 0 , ( E   ), 0  t 1,M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )(1.2.10), 0  t  t    1.(1.2.11)Сначала докажем (1.2.10). В силу (1.1.9), (1.1.16) и (1.1.10), (1.1.17) при   1имеемz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}g (t )z1(   )Et0A2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]( f (t )  f ( s)) ds E48z1  tA2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]f (t )  f ( s)EEE  ds 0 Mz1  t011 min  2 ,(t  s )  (t  s)  t  ds f2  z (t  s)  M 1 z 1  (t  s)  (t  s)  dsf( z  t  s) 2 t t0C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Если z  t , тогдаz1  t0(t  s)  (t  s)  ds z 1 t  2 ( z  t  s) tt0(t  s)  ds z 1 t  2( z  t  s)t0t  ds.( z  t  s) 2  1  Если z  t , тогдаz1  t0(t  s)  (t  s)  ds z 1  2 ( z  t  s) tt0(t  s)  ds1   2 z t( z  t  s) tt0t  t  ds.(t  s)1 t   Поэтому для любого z  0 получимz 1  t0t  (t  s)  (t  s)  ds. (1   )( z  t  s) 2 t Итак,g (t )E   M 1 1 (1   ) 1 t   fC0 , ( E   ).(1.2.12)Отсюда, во-первых, следует (1.2.10), во-вторых, (1.2.11) при t   .

Действительно,воспользовавшись оценкой (1.2.12) и неравенством треугольника получаемg (t   )  g (t )E   g (t   ) M 1 1 (1   ) 1 [(t   )    t   ] f ,C0E  ( E   ) g (t )E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Пусть t   . Разобьѐм g (t   )  g (t ) в виде суммы следующих интеграловg (t   )  g (t ) t A(t   )[U (t   , s )  exp{(t    s ) A(t   )}] ( f (t   )  f ( s ))ds t tA(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s ))ds tt 0( A(t   )[U (t   , s )  exp{(t    s ) A(t   )}]  A(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}]) 49t  ( f (t )  f ( s ))ds A(t   )[U (t   , s )  exp{(t    s ) A(t   )}] ( f (t   )  f (t ))ds 0 I 20  I 21  I 22  I 23 .Воспользовавшись тождествомz1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 20 z1 (   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}] ( f (t   )  f ( s )) ds ,tоценим I 20 в E  :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 20t tE z 1(   ) A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}]( f (t   )  f ( s)) ds Ez1(   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}]t f (t   )  f ( s)E   fds  Mz1  t t ,C0 M 1 (t   ) zt 1  t (t    s)  dsf( z  t    s) 2C 0 ,  ( E   ).Пусть сначала z   .

Тогдаz 1  t t t (t    s)  ds z 1  2( z  t    s)t ds.( z  t    s) 2 1  Пусть теперь z   , тогда имеемz 1  t t 1(t    s)  ds  2z( z  t    s)t t (2 ) 2  ds.(t    s)1    Поэтому справедливо неравенствоz1  t t 2  (t    s)  ds( z  t    s) 2  (1   )для любого z  0 . Воспользовавшись этим неравенством, получаемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 20Отсюда следует11min  2 ,(t    s)  (t    s )  (t   )  ds 2  z (t    s) ( E   )E EEM 2  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).50I 20E  M 2  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Аналогично оценивается I 21 . В силу тождестваz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 21 zt1 (   )A2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}] ( f (t )  f ( s )) dstимеемz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 21Et z 1(   )A2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]( f (t )  f ( s)) ds Etz1(   )tA2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]t11 min  2 ,(t  s)  (t  s)  t  ds f2  z (t  s) t Mz1  EEt M 1t z1  tt (t  s) ds( z  t  s) 2fC 0 ,  ( E   )f (t )  f ( s)C 0 ,  ( E   ).Пусть z   , тогдаtz 1  t (t  s)  ds z 1  2( z  t  s)tt ds.( z  t  s) 2 1  Пусть теперь z   , тогдаz 1  tt 1(t  s)  ds  2z( z  t  s)tt ds.(t  s)1    Поэтомуzt1  t (t  s)  ds.( z  t  s) 2  (1   )Итак, установили оценкуz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 21EM 1  (1   )t fC 0 ,  ( E   )Отсюда для I 21 вытекаетI 21E  M 2  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )..E  ds 51Далее, оцениваем интеграл I 23 .

Характеристики

Список файлов диссертации