Диссертация (1155072), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Разобьѐм W1 (t   )  W1 (t ) в сумму следующих интеграловW1 (t   )  W1 (t ) t A(t   )U (t   , s )ds( f (t   )  f (t )) 0t [ A(t   )U (t   , s )  A(t )U (t , s )]( f (t )  f ( s ))ds 0t A(t   )U (t   , s )( f (t   )  f ( s ))ds t tA(t )U (t , s )( f (t )  f ( s ))ds  I 1  I 2  I 3  I 4 .t Оценим I 1 , I 2 , I 3 и I 4 в отдельности. Сначала оценим I 1 . Воспользовавшисьтождествомt A(t   )U (t   , s )ds  A(t   )[U (t   , t   )  U (t   ,0)]A1 (t ) 0t A(t   )U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t )ds ,(1.1.33)0оценками (1.1.3) и (1.1.14), (1.1.15) при   0 , получимI1Et 0 [ A(t   )U (t   , t   ) A1 (t )A(t   )U (t   , s)E EE E A(t   )U (t   ,0) A1 (t )[ A(t )  A( s)]A 1 (t )E EE Eds ] f (t   )  f (t )E21t (t  s )  ds]t    s (t   ) M 3  (t   )  (t   )  [ M  M1  M 20ft f ,C0 ,C0 M3(E)  (t   )  ds f(t    s)10M 3  (t   ) (E)fC0 ,  ( E )C0 ,  ( E ).Оценим теперь I 2 .

В силу (1.1.20) при   1 имеемt I2EA(t   )U (t   , s)  A(t )U (t , s)f (t )  f ( s)E EEds 0 t    dsM 1 (ts) 0t ds(t  s ) 2  0 1 tM 1 f C  , ( E ) 0 (1   )t f ,C0(E)M 2  (1   )(t   ) fC0 ,  ( E ).Далее, воспользовавшись оценкой (1.1.15) при   0 , получаем оценку для I 3 ,I3Et A(t   )U (t   , s)t Mt t (t   )  ds(t    s)1ff (t   )  f ( s)E EM 1  (t   ) (E) ,C0fEds C0 ,  ( E ).Точно также получаем оценку для I 4 ,tI4EtA(t )U (t , s)t E Ef (t )  f ( s)Eds  Mt t  ds(t  s)1 C  , ( E )f0M 1  (t   )fC0 ,  ( E ).Объединив оценки для I 1 , I 2 , I 3 и I 4 , получим (1.1.31).

Из (1.1.30) и (1.1.31)вытекает, чтоW1C0 ,  ( E ) M 1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E ).(1.1.34)Теперь аналогичные оценки установим для W2 (t ) . Сначала оценимW2 (t ) вC ( E   ) :z1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}W2 (t )z1  tA2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)E EE[ A( s)  A(t )]A1 (t )E Ef (t ) E ds 0t11  Mz1     min  2 ,(t  s) ds f2z(ts)0(t  s) dsf( z  t  s)20t ,C0(E) M 1 z 1    Пусть z  t , тогдаz1  t0(t  s)  ds z 1  t 2( z  t  s)t01tds.2 1  1 ( z  t  s)C 0 , ( E ).22Пусть теперь z  t , тогдаz1  1(t  s)  ds  2z( z  t  s)t0t0tt1ds .  1zt(t  s)Поэтому для любого z  0 получимz1  1(t  s)  ds.2 (1   )( z  t  s)t0Итак, установили, чтоE  M 1  1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E )C ( E  ) M 1  1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E )W2 (t ).Отсюда получаемW2.(1.1.35)Теперь оценим W2 (t ) в C0 , ( E) .

Установим оценкуW2C0 ,  ( E ) M 1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E ).(1.1.36)Для этого достаточно доказать, чтоW2 (t ) M 1 fEW2 (t   )  W2 (t )EC0 ,  ( E ),0  t 1,M  (1   )(t   ) f(1.1.37)C0 ,  ( E ), 0  t  t    1.(1.1.38)Сначала установим (1.1.37). Воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.15) при  0 , получаемtW2 (t )EA(t )U (t , s)E E[ A( s)  A(t )]A 1 (t )E Ef (t )Eds 0tM0ds(t  s)1fC0 ,  ( E ) M 1t  fC0 ,  ( E ) M 1t   fC0 ,  ( E ).Поэтому для любого 0  t  1 справедливо неравенствоW2 (t )E M 1t   fC0 ,  ( E ).(1.1.39)Из последнего неравенства, во-первых, следует (1.1.37), во-вторых, (1.1.38) приt   .

Действительно, в силу (1.1.39) и неравенства треугольника получимW2 (t   )  W2 (t )E W2 (t   ) 2M 1 (t   )   f ,C0E W2 (t )(E)EM 21    (t   )  M 1 [(t   )    t   ] ff ,C0=(E)M 1  (t   )fC0 ,  ( E )C0 ,  ( E ).23Пусть теперь t   . Тогда представим разность W2 (t   )  W2 (t ) в виде суммыследующих интеграловW2 (t   )  W2 (t ) t  { A(t   )U (t   , s)[ A(s)  A(t   )]A1(t   ) f (t   )  A(t )U (t , s)[ A( s)  A(t )]A1 (t ) f (t )}ds 0t A(t   )U (t   , s)[ A( s)  A(t   )]A1 (t   ) f (t   )ds ttA(t )U (t , s)[ A( s)  A(t )]A1 (t ) f (t )ds  I 5  I 6  I 7 .(1.1.40)tСначала оценим I 5 . Для этого преобразуем I 5 в видеt I5 A(t   )U (t   , s)[ A(t )  A(t   )]A1 (t   ) f (t   )ds 0t [ A(t   )U (t   , s)  A(t )v(t , s)][ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds 0t A(t   )U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t )( f (t   )  f (t ))ds 0t A(t   )U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t )[ A(t   )  A(t )]A1 (t   ) f (t   )ds 0 Q1  Q2  Q3  Q4 .(1.1.41)Оценим Q1 , Q2 , Q3 и Q4 в отдельности.

Оценим сначала Q1 . Воспользовавшисьтождеством (1.1.33), оценками (1.1.3) и (1.1.14), (1.1.15) при   0 , получаемQ1t  { A(t   )U (t   , t   ) A1 (t )EA(t   )U (t   , s)E E[ A(t )  A( s)]A1 (t )E EE E A(t   )U (t   ,0) A1 (t )E Eds } [ A(t )  A(t   )]A 1 (t   )E Ef (t   )E0t  { M  M1  M 20(t  s)  ds}  ft   st C0 ,  ( E ) M30  ds(t    s)1M 3 f C  , ( E ) 0 (t   ) Точно также получаем оценки для Q3 и Q4 :t Q3E0A(t   )U (t   , s)E E[ A(t )  A( s)]A1 (t )E Ef (t   )  f (t )Eds fC0 ,  ( E ).24t M0t (t  s)    ds(t    s)(t   ) t E ,C0M (t   )    (t   ) Q4fM(E)  dsf ,C0A(t   )U (t   , s)(E)E Ef(t    s)1 (t   ) 0M  (t   ) fC0 ,  ( E )[ A(t )  A( s)]A1 (t )C0 ,  ( E ),E Eds 0 [ A(t   )  A(t )]A (t   )f (t   )1E Et Eds  M0t   ds(t    s)1M0M (t   )   C  , ( E )fM  (t   ) C  , ( E )f0(t  s )    dsft   s0C0 ,  ( E )fC0 ,  ( E ).Наконец, оценим Q2 .

В силу (1.1.3) и (1.1.20) при   1 имеемt Q2EA(t   )U (t   , s)  A(t )U (t , s)E E[ A(t )  A( s)]A1 (t )f (t )E EEds 0 t  M    ds 1 0 (t  s)t ds(t  s )02  f M [  1  t  C  , ( E )t 0  t fM 1  (1   )  0 ,C0(E) ds(t  s ) 2 M  (1   )(t   ) f] fC0 ,  ( E )C0 ,  ( E ).Объединив оценки для Q1 , Q2 , Q3 и Q4 получим, чтоI5EM  (1   )(t   ) fC0 ,  ( E ).Воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.15) при   0 ,получаем оценку для I 6 ,t I6EA(t   )U (t   , s)tt Mtds(t    s)1fE E[ A( s)  A(t   )]A1 (t   )C  , ( E )0M  (t   )  (t   ) C  , ( E )f0E Ef (t   )M  (t   ) fEds C0 ,  ( E )Точно также оцениваем I 7 :tI7tMt EA(t )U (t , s)tds(t  s)1fE EC  , ( E )0[ A( s)  A(t )]A1 (t )M  (t   )  (t   ) fE EC  , ( E )0f (t )EM  (t   ) ds fC0 ,  ( E )..25Объединив оценки для I 5 , I 6 и I 7 , получаем (1.1.38).Оценим теперь W3 (t ) в C ( E   ) и C0 , ( E) .

Сначала оценим W3 (t ) в C ( E   ) .Воспользовавшись оценками (1.1.11) и (1.1.14), получаемz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}W3 (t ) A1   (t )U (t ,0) A1 (0)E EE z 1(   ) A1(   ) (t ) exp{ zA(t )} E  E f (t )  f (0)EMt  t  fC0 ,  ( E )=M fC0 ,  ( E ).Отсюда для любого 0  t  1W3 (t )M fE C0 ,  ( E ).ПоэтомуW3M fC ( E  )C 0 ,  ( E ).(1.1.42)Теперь оценим W3 (t ) в норме C0 , ( E) . В силу (1.1.14) при   0 имеемW3 (t )E A(t )U (t ,0) A1 (0)E Ef (t )  f (0)E Mt   fC0 ,  ( E ),т.

е.W3 (t ) Mt   fEC0 ,  ( E ).Отсюда, во-первых, следует оценкаW3 (t )EM fC0 ,  ( E ), 0  t  1,(1.1.43)во-вторых,W3 (t   )  W3 (t )EM (t   ) fC0 ,  ( E ), 0  t  t    1,(1.1.44)при t   . Действительно,W3 (t   )  W3 (t ) 2M (t   )E W3 (t   ) E W3 (t )M 2 1   f C  , ( E ) 0(t   ) E M [(t   )    t   ] ffC0 ,  ( E )M 1 (t   ) fC0 ,  ( E )C0 ,  ( E ).Пусть теперь t   , тогда преобразуем разность W3 (t   )  W3 (t ) в видеW3 (t   )  W3 (t )  A(t   )U (t   ,0) A1 (0)( f (t   )  f (t ))  [ A(t   )U (t   ,0)  A(t )U (t ,0)]A1 (0)( f (t )  f (0))  I 8  I 9 .Воспользовавшись формулой (1.1.14) при   0 , оценим I 8 :26I8E A(t   )U (t   ,0) A1 (0)M E(t   ) f (t   )  f (t )E EfC0 ,  ( E ).Далее, воспользовавшись оценкой (1.1.21), оценим I 9 :I9E [ A(t   )U (t   ,0)  A(t )U (t ,0)] A1 (0) M (  t  t      MC0 ,  ( E )t t) t   f f 2   t 2   M (t   )  (t   )E E ,C0M 21  (t   ) (E)f ,C0f (t )  f (0) f(E)C0 ,  ( E )EM 1 (t   )fC0 ,  ( E ).Объединив оценки для I 8 и I 9 , получаем (1.1.60).

В силу (1.1.59) и (1.1.60) имеемW3C0 ,  ( E )M fC0 ,  ( E ).(1.1.45)Теперь аналогичные оценки установим и для W4 (t ) . Сначала оценим W4 (t ) внорме C ( E   ) . В силу (1.1.3), (1.1.11) и (1.1.14) имеемz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}W4 (t )1   A1(t )U (t ,0) A (0)E z 1(   ) A1(   ) (t ) exp{ zA(t )} E  E 1[ A(0)  A(t )]A (t )E Ef (t )E EEMt   tfC0 ,  ( E )M fC0 ,  ( E ).Отсюда для любого 0  t  1 получаемW4 (t )M fE C 0 ,  ( E ).ПоэтомуW4M fC ( E  )C0 ,  ( E ).(1.1.46)Оценим теперь W4 (t ) в норме C0 , ( E) , т.е. установим оценкуW4C0 ,  ( E )M fC0 ,  ( E ).(1.1.47)Для этого достаточно доказать, чтоW4 (t )EM fW4 (t   )  W4 (t )EC0 ,  ( E )M (t   ) , 0  t 1,fC0 ,  ( E )(1.1.48), 0  t  t  1 .(1.1.49)Сначала установим (1.1.48). Воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.14) при  0 , получаемW4 (t )E A(t )U (t ,0) A1 (0)E E[ A(0)  A(t )]A 1 (t )E Ef (t )E Mt  fC0 ,  ( E ) Mt   fC0 ,  ( E ).27ПоэтомуW4 (t )E Mt   f(1.1.50)C0 ,  ( E )при любом 0  t  1 .

Из последнего неравенства, во-первых, следует (1.1.48), вовторых, (1.1.49) при t   . Действительно, в силу (1.1.50) и неравенства треугольника имеемW4 (t   )  W4 (t ) 2M (t   )E W4 (t   )  W4 (t )EEM 2 1   f C  , ( E ) 0(t   )  M [(t   )    t   ] fM 1 f C  , ( E ) 0(t   )fC0 ,  ( E )C0 ,  ( E ).Пусть теперь t   , тогда представим разность W4 (t   )  W4 (t ) в видеW4 (t   )  W4 (t )  A(t   )U (t   ,0) A1 (0)[ A(0)  A(t   )]A1 (t   )( f (t   )  f (t ))  A(t   )U (t   ,0) A1 (0)[ A(t )  A(t   )]A1 (t   ) f (t )  A(t   )U (t   ,0) A1 (0)[ A(0)  A(t )]A1 (t   )[ A(t )  A(t   )]A1 (t ) f (t )  [ A(t   )U (t   ,0) A1 (0)  A(t )U (t ,0) A1 (0)][ A(0)  A(t )]A1 (t ) f (t )  I 10  I 11  I 12  I 13 .(1.1.51)Оценим I 10 , I 11 , I 12 и I 13 в отдельности.

Характеристики

Список файлов диссертации