Диссертация (1155072), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Сперва оценим I 10 . В силу (1.1.3) и(1.1.14) при   0 имеемI 10E A(t   )U (t   ,0) A1 (0)E EM  (t   ) (t   ) [ A(0)  A(t   )]A 1 (t   )M f C  , ( E ) 0(t   ) fEEC0 ,  ( E )f (t   )  f (t )E.Точно также оцениваем I 11 и I 12 :I 11E A(t   )U (t   ,0) A1 (0)I 12EM  (t   ) (t   ) E Ef[ A(t )  A(t   )]A 1 (t   ) ,C0 A(t   )U (t   ,0) A1 (0) [ A(t )  A(t   )]A (t )1E Ef (t )(E)E EM (t   ) C0 ,  ( E ) Mt E,[ A(0)  A(t )]A 1 (t   )Eff (t )E EM f C  , ( E ) 0(t   ) E EfC0 ,  ( E ).Наконец, воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.21) оценим I 13 :I 13E A(t   )U (t   ,0) A1 (0)  A(t )U (t ,0) A1 (0)E E[ A(0)  A(t )]A 1 (t )E Ef (t )E28 M (  t) t fM C0 ,  ( E )(t   ) fC0 ,  ( E ).Объединив оценки для I 10 , I 11 , I 12 и I 13 , получаем (1.1.49).В конце доказательства оценим W5 (t ) в нормах C ( E   ) и C0 , ( E) .

Вначалеоценим W5 (t ) в C ( E   ) . Преобразуем W5 (t ) в видеW5 (t )  exp{tA(t )}v 0  exp{tA(t )}[ A(t )  A(0)]A 1 (0)v0  A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}]A1 (0)v0  F1 (t )  F2 (t )  F3 (t ) .(1.1.52)Сначала оценим F1 (t ) . В силу (1.1.9) имеемF1 (t )E  exp{tA(t )} E  E v 0E  M v 0E .ОтсюдаF1C ( E  ) M v 0E .(1.1.53)Воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.10) при   0 , получаем оценку дляF2 (t ) :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}F2 (t )E z 1(   ) A(t ) exp{( z  t ) A(t )} E  E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)Mz 1 (   ) t v 0z tE  M v 0E Ev 0E.E Итак, для любого 0  t  1E  M v 0E C ( E  ) M v 0E F2 (t ).(1.1.54).(1.1.55)ОтсюдаF2Наконец, оцениваем F3 (t ) в C ( E   ) . Пусть сначала z  t , тогда в силу (1.1.9) и(1.1.18) при   1 имеемz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}F3 (t )E z 1(   ) exp{ zA(t )} E  E A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) Mt 1 (   ) t  1 v 0E Mt     v 0E M v 0E .E Ev 0E(1.1.56)29Пусть теперь z  t , тогда воспользовавшись оценками (1.1.10) и (1.1.18) при   0 ,получаемz1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}F3 (t ) E  A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0)E Ev 0EzA(t ) exp{ zA(t )} E  E  tMt v 0t  E Mt     v 0E M v 0E .(1.1.57)Из (1.1.56) и (1.1.57) следует, что при любом 0  t  1F3 (t )E  M v 0E .ОтсюдаF3C ( E  ) M v 0E .(1.1.58)Используя оценки (1.1.53), (1.1.55) и (1.1.58), получаем для W5 (t ) неравенствоW5C ( E  ) M v 0E .(1.1.59)Теперь оценим W5 (t ) в норме C0 , ( E) , т.е.

докажем оценкуW5 ,C0(E)Mv 0 E .(1.1.60)Для этого достаточно установить, чтоW5 (t )EW5 (t   )  W5 (t ) M v 0EE , 0  t 1,M v 0(    )(t   ) E (1.1.61), 0  t  t    1.(1.1.62)Сначала установим неравенство (1.1.61). В силу (1.1.14) при   0 имеемW5 (t )E A(t )U (t ,0) A1 (0)EEv 0E M v 0E .Далее, установим (1.1.62). Пусть t   , тогда воспользовавшись тождеством(1.1.52),оценимсначаларазностьF1 (t   )  F1 (t ) .ПреобразуемразностьF1 (t   )  F1 (t ) в видеF1 (t   )  F1 (t )  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}]v 0  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}]v 0   1   2 .(1.1.63)Вначале оценим  1 . В силу (1.1.12) имеем1E exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )} E  E v 0E30 M  v 0EM v 0(t   ) E .(1.1.64)Теперь оценим  2 :2E [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}]v0EA(t ) exp{(t  s) A(t )}v 0Eds 0M0dsv 0(t  s)1  E M 1 v 0(    )(t   ) E .(1.1.65)Из (1.1.64) и (1.1.65) следует, чтоF1 (t   )  F1 (t )M v 0(    )(t   ) EE , 0  t  t    1.(1.1.66)Теперь оценим разность F2 (t   )  F2 (t ) при t   .

Сначала воспользовавшисьоценками (1.1.3) и (1.1.9) оценим F2 (t ) в норме E :F2 (t )E exp{tA(t )} E  E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)E Ev 0E Mt  v 0E  Mt   v 0E .Итак,F2 (t )E Mt   v 0E .(1.1.67), 0  t  t    1.(1.1.68)Отсюда следует оценкаF2 (t   )  F2 (t )EM 1 v 0(t   ) E Действительно, в силу (1.1.67) и неравенства треугольника имеемF2 (t   )  F2 (t )E 2M (t   ) F2 (t   ) v 0E E F2 (t )E M [(t   )    t   ] v 021  M v 0(t   ) E M 1 v 0(t   ) E E .Наконец, оценим разность F3 (t   )  F3 (t ) .

Для этого сначала F3 (t ) оценим в E :F3 (t )E exp{tA(t )} E  E A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}]A1 (0) Mt  v 0E  Mt   v 0E EEv 0E.Отсюда в силу неравенства треугольника получаем оценкуF3 (t   )  F3 (t )EM 1 v 0(t   ) E , 0  t  t    1.Используя оценки (1.1.66), (1.1.68) и (1.1.69), получим (1.1.62).(1.1.69)31Пусть теперь t   . Преобразуем разность W5 (t   )  W5 (t ) в видеW5 (t   )  W5 (t )  [ A(t   )  A(t )]U (t   ,0) A1 (0)v0  A(t )[U (t   ,0)  U (t ,0)]A1 (0)v0  I 14  I 15 .(1.1.70)Оценим I 14 и I 15 в отдельности. Воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.14),для I 14 получимI 14E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) Mv 0E EEA(t   )U (t   ,0) A1 (0)M v 0(t   ) E EEv 0E.Далее, оценим I 15 .

Воспользовавшись тождествомU (t   ,0)  U (t ,0)  [U (t   , t )  I ] U (t ,0) ,(1.1.71)гдеU (t   , t )  I  exp{A(t )}  I t U (t   , t1 ) [ A(t )  A(t1 )] exp{(t1  t ) A(t )}dt1 tt 0t   A(t ) exp{t1 A(t )}dt1 U (t   , t1 ) [ A(t )  A(t1 )] exp{(t1  t ) A(t )}dt1 ,(1.1.72)преобразуем I 15 в виде00I 15    A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}v 0 dt1   A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}[ A(t )  A(0)]A1 (0)v0 dt1   exp{t1 A(t )}A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}]A1 (0)v0 dt1 0t A(t )U (t   , t1 ) [ A(t )  A(t1 )]exp{(t1  t ) A(t )}U (t ,0) A1 (0)v0 dt1 t 3  4  5  6 .(1.1.73)Сначала оценим  3 :3E(t  t1 ) 1   A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}v 0E(t  t1 )   1 dt1 00dt1v 0(t  t1 )1 E t 1  v 0E 2   1   v 0 1 t (t   ) E M 1 v 0(t   )E .Теперь воспользовавшись оценками (1.1.3) и (1.1.10) при   0, оценим  4 :324EA(t ) exp{(t  t1 ) A(t )} E  E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)v 0E EEdt1 0M0t  dt1v 0t  t1E Mt v 0tE M   1 v 0t 1 E M v 0(t   ) E .Для  5 имеем5Eexp{t1 A(t )} E  E A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0)EEv 0Edt1 0Mv 0t 1E M   1 v 0t 1 E M v 0(t   ) E .Наконец, оценим  6 .

В силу (1.1.3), (1.1.9) и (1.1.14), (1.1.15) при   0получаемt 6EA(t )U (t   , t1 )[ A(t )  A(t1 )]A 1 (t )E Eexp{(t1  t ) A(t )} E  E dt1 E Etv 01 A(t )U (t ,0) A (0)EEt  t1 dt1t EMt    t1tt Mtdt1v 0(t    t1 )1E  M 1  v 0E v 0E M v 0(    )(t   ) E .Объединив оценки для  3 ,  4 ,  5 и  6 , получаем, чтоI 15EM v 0(    )(t   ) E .Наконец, объединив оценки для I 14 и I 15 , получаем (1.1.91).Используя оценки (1.1.29), (1.1.35), (1.1.42), (1.1.46) и (1.1.59), получим оценкудля v (t ) в норме C ( E   ) , т.

е.v C ( E  ) M  v0E  1f (1   )C0 , ( E ),(1.1.74)а используя оценки (1.1.34), (1.1.36), (1.1.45), (1.1.47) и (1.1.60), получим оценкудля v (t ) в норме C0 , ( E) , т. е.vC 0 ,  ( E ) 1 Mv 0 E 1f (1   )C0 ,  ( E ).(1.1.75)Оценку для A(t )v(t ) в C0 , ( E) получаем в силу неравенства треугольника изуравнений (1.1.1):33A()vC0 , ( E ) 1Mv0E 1f (1   )C0 , ( E ).(1.1.76)Остается, используя оценки (1.1.74), (1.1.75) и (1.1.76), получить неравенствокоэрцитивности (1.1.28).

Теорема 1.1 доказана.f  C0 , ( E )Следствие 1.1. Предположим, что A(0)v0  f (0) ,при некоторых0        1 , 0    1 . Тогда задача (1.1.1) разрешима в C0 , ( E ) и для еѐединственного решения v(t) справедливо неравенствоv C  , ( E )  A()v0C0 , ( E )Mf (1   )(1.1.77)C0 , ( E )с постоянной M , не зависящей от  ,  и f .Очевидно, что если в теореме 1.1 взять    и   0 , то для задачи Коши (1.1.1)в пространстве Гѐльдера C  ( E )  C  ([0,1], E ) (0    1) с нормойfC ( E ) fC(E) supf (t   )  f (t )0t t  1Eимеет место следующий результат:Теорема 1.2. Пусть v0  f (0)  A(0)v0  E , f  C  ( E ) при некоторых 0      1 .Тогда задача (1.1.1) разрешима в C  ( E ) и для еѐ единственного решения v(t)справедлива оценкаv C ( E )  A()vC ( E )1 v C ( E )  M  v0E1f (1   )C ( E ),где M не зависит от  , v0 и f .Из последней теоремы вытекает утверждение.Следствие 1.2.

Пусть A(0)v0  f (0) , f  C  ( E ) при некоторых 0      1 . Тогдазадача (1.1.1) разрешима в C  ( E ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C ( E )  A()vгде M не зависит от  и f .C ( E )Mf (1   )C ( E ),(1.1.78)34 ,1.2.

Характеристики

Список файлов диссертации