Диссертация (1155072), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

При z   имеемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q1 { A2 (t   )U (t   , t   ) A1 (t )t 0A2 (t   )U (t   , s)EEEEE z 1(   ) exp{ zA(t   )} E E  A2 (t   )U (t   ,0) A1 (t )[ A(t )  A( s)]A 1 (t )E EEEds} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t   )E E59 f (t   )E M1  t 11  2 t  1 M 1    t 00(t  s)  ds    f (t   )(t    s) 2  ds f2  (t    s )   1      M     f(1   )(2 ) 1 C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )M 1 (1   )(t   ) E  fC 0 ,  ( E   ).Если z   , тогдаz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q1 { A(t   )U (t   , t   ) A1 (t )t A(t   )U (t   , s)E EE z 1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )} E E EE[ A(t )  A( s)]A 1 (t ) A(t   )U (t   ,0) A1 (t )E EEEds} [ A(t )  A(t   )]A 1 (t   )E Ef (t   )E0Mz 1  {M 1  M 2  M 3zM 4 z  t 0ds(t    s) 1f ,C0( E   )t 0(t  s)  ds }  f (t   )t   sM 4 (t   )   f    ,C0( E   )E  M 4  (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Поэтомуz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q1EM  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Отсюда следуетQ1E  M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь воспользовавшись тождествомz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q4  z 1(   ) t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) f (t   )ds ,0оценим Q4 в норме E  :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q4z1(   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)EEE[ A(t )  A( s)]A 1 (t )0 [ A(t )  A(t   )]A 1 (t   )E Ef (t   )EE Eds 60 Mz1(   )t 0 M 1 z 1  t 011min  2 ,(t  s)    ds f (t   )2  z (t    s) (t  s)    dsf( z  t    s) 2C 0 ,  ( E   )M 1  (1   )(t   ) fE  C 0 ,  ( E   ).Итак, для Q4 справедливо неравенствоQ4E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Далее, оценим Q2 .

Пусть сперва z   . Тогда в силуz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}Q2   z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}t [ A(t   )U (t   , s)  A(t )U (t , s)][ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds0имеемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q2t A(t   )U (t   , s)  A(t )U (t , s) z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} E E EE E[ A(t )  A( s)]A 1 (t )E Ef (t )Eds 0Mz 1  z f ,C0t 0 2 t  s (t  s)( E   ) (t  s )  f (t )M   t  (1   ) 1 E   fds  ,C0t Mz ( E   )0 1(t  s) 2  (t  s)M  (1   )(t   ) f ds C 0 ,  ( E   ).Пусть теперь z   . Тогда преобразуем интеграл Q2 в следующем виде:t Q2 A(t )U (t , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds t 0A(t   )U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds 0 Q2.1  Q2.2 .Воспользовавшись тождествомz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} Q2.1  z 1(   ) exp{ zA(t )}t A2 (t )U (t , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds ,0сначала оценим интеграл Q2.1 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}Q2.1t 0A2 (t )U (t , s )EEE z 1(   ) exp{ zA(t )} E E [ A(t )  A( s)]A 1 (t )E Ef (t )Eds 61t  M1  0t (t  s)  dsf (t )(t  s) 2M 1   (t   ) (1   ) 1 (t   )  Q2.1E   M1  0fC 0 , E  ( E   )ds(t  s) 2 M (1   )(t   ) M (1   )(t   ) fffC 0 , ( E   )C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )ds .В силу тождестваz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )} Q2.2   z 1(   ) exp{ zA(t   )}t A2 (t   )U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) f (t )ds0аналогичные оценки устанавливается и для Q2.2 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q2.2t A2 (t   )U (t   , s)EEE z 1(   ) exp{ zA(t   )} E E [ A(t )  A( s)]A 1 (t )f (t )E EEds 0t  M 1  0(t  s)  dsf (t )(t  s) 2M 1   (t   ) (1   ) 1 (t   )  Q2.2fE  t E   M 1  0C 0 , ( E   )ds(t  s) 2 M (1   )(t   ) M (1   )(t   ) ffC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )ds .Объединив оценки для Q2.1 и Q2.2 , получаемQ2E  M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).А объединив полученные оценки для Q1 , Q2 , Q3 и Q4 , получаем, чтоI5E  M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Наконец, используя оценки для I 5 , I 6 и I 7 , получаем (1.2.17).Далее, перейдем к оцениванию W3 (t ) в нормах C ( E  ) и C0 , ( E  ) .

Оценимсначала его в C ( E  ) . Представив W3 (t ) в видеW3 (t )  A(t )U (t ,0) A1 (0)( f (t )  f (0))  exp{tA(t )}( f (t )  f (0)) 62 exp{tA(t )}[ A(t )  A(0)]A 1 (0)( f (t )  f (0)) + A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0)( f (t )  f (0))  W3.1 (t )  W3.2 (t )  W3.3 (t ) ,(1.2.22)оценим W3.1 (t ) , W3.2 (t ) и W3.3 (t ) в отдельности.

Пусть вначале оценим W3.1 (t )вC ( E  ) . В силу тождестваz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )} W3.1 (t )  z 1(  ) A(t ) exp{( z  t ) A(t )} ( f (t )  f (0))имеемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W3.1 (t )Ez 1  t  ( z  t ) 1  f f.C 0 ,  ( E   ) fC 0 ,  ( E   ).Отсюда для любого t  0 следуетW3.1 (t )E  C 0 ,  ( E   )ПоэтомуW3.1C ( E   ) fC 0 ,  ( E   ).(1.2.23)Оценим теперь W3.2 (t ) в норме C ( E  ) . Применив формулуz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )} W3.2 (t )  z 1(  ) A(t ) exp{( z  t ) A(t )} [ A(t )  A(0)]A 1 (0) ( f (t )  f (0)) ,получаемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W3.2 (t )1 [ A(t )  A(0)]A (0)E Ef (t )  f (0)EE z 1(  ) A(t ) exp{( z  t ) A(t )} E E Mz 1  t ztf (t )  f (0)E   Mt   fC 0 ,  ( E   ).Итак,W3.2 (t )E   Mt   fC 0 ,  ( E   ).ОтсюдаW3.2C ( E   )M fC 0 , ( E   ).(1.2.24)Наконец, оценим W3.3 (t ) в C ( E  ) :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W3.3 (t )E z 1(  ) A1(  ) (t ) exp{ zA(t )} E  E  A1 (  ) (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) Mt    f (t )  f (0)Итак,E  EE Mt   ff (t )  f (0)C 0 ,  ( E   ).E63W3.3 (t ) Mt   fE  C 0 ,  ( E   ).Отсюда следуетW3.3C ( E   )M fC 0 , ( E   ).(1.2.25)Из (1.2.23), (1.2.24) и (1.2.25) вытекает оценкаW3C ( E   )M fC 0 , ( E   ).(1.2.26)Теперь оценим W3 (t ) в C0 , ( E  ) .

Для этого достаточно доказатьW3 (t )M fE  W3 (t   )  W3 (t )E  C 0 , ( E   )M  (t   ) , 0  t 1,fC 0 ,  ( E   )(1.2.27), 0  t  t    1.(1.2.28)Сначала установим неравенство (1.2.27). Используя тождество (1.2.22), оценимфункции W3.1 (t ) , W3.2 (t ) и W3.3 (t ) в E  :W3.1 (t )E   exp{tA(t )} E E f (t )  f (0)W3.2 (t )E   W3.2 (t )E  W3.3 (t )E   W3.3 (t )E   Mt   fE   Mt   f Mt   fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ),,.ПоэтомуW3 (t )E   W3.1 (t )E   W3.2 (t ) W3.3 (t )E  E   Mt   fC 0 ,  ( E   ).(1.2.29)Из последнего неравенства, во-первых, следует (1.2.27), во-вторых, (1.2.28) приt   . Действительно, в силу (1.2.29) и неравенства треугольника получим, чтоW3 (t   )  W3 (t ) M [(t   )    t   ] fC 0 , E  ( E   ) W3 (t   )E   2 M (t   )   f W3 (t )C 0 , ( E   )E  M 1 (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Пусть теперь t   .

Сначала установим неравенствоW3.1 (t   )  W3.1 (t )E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   ), 0  t  t    1.(1.2.30)Для этого преобразуем разность W3.1 (t   )  W3.1 (t ) в видеW3.1 (t   )  W3.1 (t )  exp{(t   ) A(t   )}( f (t   )  f (0))  exp{tA(t )}( f (t )  f (0))  exp{(t   ) A(t   )}( f (t   )  f (t )) 64 [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}]( f (t )  f (0))  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}]( f (t )  f (0))  I 24  I 25  I 26 .(1.2.31)Оценим I 24 , I 25 и I 26 в отдельности. Для I 24 имеемI 24 exp{(t   ) A(t   )} E E f (t   )  f (t )E  E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь перейдем к оцениванию I 25 .

Пусть z   :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25E z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} E E  exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )} E E f (t )  f (0)Mz 1    zf (t )  f (0)E  M  t  z  fC 0 , ( E   )M  t    fC 0 , ( E   )EM (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Пусть теперь z   . Тогда преобразуя разность exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )} ввидеexp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )} t exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 0t 2exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 0t exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 ,(1.2.32)t2интегрируя первый и второй интегралы по частямt 2exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 0  A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}t 2t 20A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 011  A 1 (t ) exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{ (t   ) A(t   )} 22 A 1 (t ) [ A(t   )  A(t )] exp{(t   ) A(t   )} 65t 2A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 ,(1.2.33)0t exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 t2 exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}t t t 2A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 t2 exp{(t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) 11 exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{ (t   ) A(t   )} 22t A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 ,(1.2.34)t2получаем равенство11I 25   A 1 (t ) exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{ (t   ) A(t   )} ( f (t )  f (0)) 22 A 1 (t ) [ A(t   )  A(t )] exp{(t   ) A(t   )} ( f (t )  f (0)) t 2A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 ( f (t )  f (0)) 0 exp{(t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) ( f (t )  f (0)) 11 exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{ (t   ) A(t   )} ( f (t )  f (0)) 22t A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}( f (t )  f (0))dt1 t2 I 25.1  I 25.2  I 25.3  I 25.4  I 25.5  I 25.6 .Оценим каждое слагаемое тождество (1.2.35) в отдельности:z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.1E1 z 1(   ) exp{( z  (t   )) A(t )}2E E(1.2.35)66 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )M 1 1     (t   )    1 t tfC 0 ,  ( E   )E EM 1 (t   ) z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.2 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )M 1 (t   ) E Ef1( (t   ))   1 f (t )  f (0)2EfC 0 ,  ( E  C 0 ,  ( E  E  z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.3t 2E  Ef f (t )  f (0)E  M tt 2t0 I 25.3dt1(t    t1 ) 2  E  M 1 (t   ) z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.4EE EfM 1    t f (t )  f (0)E   I 25.4ffM (t   ) fE  z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.5EC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ), ,C0E E( E   )C 0 ,  ( E   )f (t )  f (0)M (t   ) fEC 0 ,  ( E   ), z 1(   ) exp{ zA(t )} E E 1f (t )  f (0) exp{ (t   ) A(t   )}2E EM 1 (t   ) C 0 ,  ( E   ),M 1 (t   ) 1[ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) A(t ) exp{ (t   ) A(t )}2E EM 1 1     t  t f z 1(   ) exp{ zA(t )} E E M 1     t  t C 0 ,  ( E   )1( (t    t1 ))    2 dt1 2C 0 ,  ( E   ) A(t ) exp{(t   ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )f z 1   0 M 1 (t   ) M 1     t t  (t   )1  M 1 (t   ) exp{( z  t1 ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )1  E   z 1(   ) exp{ zA(t )} E E (t   )    1 f (t )  f (0) I 25.2) I 25.1)E  EM 1    1t   2C 0 ,  ( E   ) I 25.5E  E Ef (t )  f (0)M 1 (t   ) E  fC 0 ,  ( E   ),,67z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 25.6t  z 1(   ) A1(   ) (t ) exp{ zA(t )} E  E EA1(   ) (t ) exp{t1 A(t )}t2E E[ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )} E E f (t )  f (0)M1  (t   ) f I 25.6C 0 ,  ( E   )t E  E  dt1  M  t   dt1ft11 t 2M 1 (t   ) E EfC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для I 25.1 , I 25.2 , I 25.3 , I 25.4 , I 25.5 и I 25.6 , получаемI 25E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь перейдем к оцениванию слагаемое I 26 в тождестве (1.2.31).

Характеристики

Список файлов диссертации