Диссертация (1155072), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Тогда преобразуем W3.3 (t   )  W3.3 (t ) в следующем виде:W3.3 (t   )  W3.3 (t )  A(t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}] A1 (0)( f (t   )  f (t ))  [ A(t   )  A(t )]U (t   ,0) A1 (0)( f (t )  f (0))  A(t )[U (t   ,0)  U (t ,0)]A1 (0)( f (t )  f (0))  [ A(t   ) exp{(t   ) A(t   )}  A(t ) exp{tA(t )}] A 1 (0)( f (t )  f (0))  I 33  I 34  I 35  I 36 .(1.2.38)73Сначала оценим I 33 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 33E z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E  A1 (   ) (t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}] A1 (0) M (t   )     f (t   )  f (t )E  M (t   ) f ,C0( E   ) I 33f (t   )  f (t )EEE  M (t   ) fEC 0 ,  ( E   ).Аналогично оценивается I 34 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 34 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )Mz 1    zf (t )  f (0)E   I 34 z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E A(t   )U (t   ,0) A1 (0)E EEM  t    E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )EEf (t )  f (0)M (t   ) fEC 0 ,  ( E   ).Далее, получим оценку для I 35 .

Используя (1.1.71) и (1.1.72), разобьѐм I 35 в видесуммы следующих интегралов:I 35    A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}( f (t )  f (0))dt1 0  A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}[ A(t )  A(0)]A 1 (0)( f (t )  f (0))dt1 0  exp{t1 A(t )}A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0)( f (t )  f (0))dt1 0t A(t )U (t   , t1 )[ A(t )  A(t1 )]exp{(t1  t ) A(t )}U (t ,0) A1 (0)( f (t )  f (0))dt1 t I 35.1  I 35.2  I 35.3  I 35.4 .Для I 35.1 , I 35.2 , I 35.3 и I 35.4 получаем следующие оценки:z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 35.1E z 1  A 2 (t ) exp{( z  t  t1 ) A(t )}( f (t )  f (0))E Edt1 0 Mz1  dt1 (z  t  t )012   f (t )  f (0)E  Mt    z tdt1 (t  t )011  fC 0 ,  ( E   )74Mt       1   t tz1(   )fC 0 ,  ( E   )M 1 (t   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 35.2fzEC 0 ,  ( E   )1   I 35.1E  M 1 (t   ) fC 0 ,  ( E   ),A 2 (t ) exp{( z  t  t1 ) A(t )}E Edt1 0 [ A(t )  A(0)]A 1 (0)f (t )  f (0)E EEdt1 (z  t  t ) Mz 1   t 0Mt    z0t  dt1ft  t1 ,C0M (t   ) ( E   )fMt   t  f   t ,C0( E   I 35.2) ,C0E  ( E   )f (t )  f (0)Mt    1  t 1M (t   ) z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 35.3 z 1  2E  1EffC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ),A(t ) exp{( z  t1 ) A(t )} E E A2 (t )[U (t ,0)  exp{t1 A(t )}] A1 (t )E Edt1 0 f (t )  f (0)E Mzdt1f (t )  f (0)z  t11    1t0Mt     1  t tfC 0 ,  ( E   )M       t t I 35.3E  z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 35.4t A(t )U (t   , t1 )E EE  1fC 0 ,  ( E   )M 1 (t   )EfMt z    t 1 t M 1 (t   )C 0 ,  ( E   )ffC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ), z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E [ A(t )  A(t1 )]A 1 (t )exp{(t1  t ) A(t )} E E dt1 E Et1 A(t )U (t ,0) A (t )Mt    z tt tEEdt1(t    t1 ) 1f (t )  f (0)f ,C0( E   ) I 35.4E  Et Mz 1  zM  t     t M 1  (t   )tf ,C0ft  t1 dt1t    t1( E   )C 0 ,  ( E   ).Объеденив оценки для I 35.1 , I 35.2 , I 35.3 и I 35.4 , получим, чтоI 35E  M  (t   )fC 0 ,  ( E   ).f (t )  f (0)M 1  (t   )fE  C 0 ,  ( E   )75Теперь оценим последнее слагаемое I 36 в (1.2.38).

В силу тождества[ A(t   ) exp{(t   ) A(t   )}  A(t ) exp{tA(t )}] A 1 (0)  exp{(t   ) A(t   )}[ A(t   )  A(t )]A 1 (0)  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}]  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}]  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}] [ A(t )  A(0)]A 1 (0)  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}] [ A(t )  A(0)]A 1 (0)(1.2.39)преобразуем еѐ в виде:I 36   [ A(t   ) exp{(t   ) A(t   )}  A(t ) exp{tA(t )}] A 1 (0)( f (t )  f (0))   exp{(t   ) A(t   )}[ A(t   )  A(t )]A 1 (0) ( f (t )  f (0))  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}] ( f (t )  f (0))  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}] ( f (t )  f (0))  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}] [ A(t )  A(0)]A 1 (0) ( f (t )  f (0))  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}] [ A(t )  A(0)]A 1 (0) ( f (t )  f (0))  I 36.1  I 36.2  I 36.3  I 36.4  I 36.5 .(1.2.40)Каждое слагаемое (1.2.40) оценим в отдельности:z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 36.1E z 1(   ) A(t   ) exp{( z  t   ) A(t   )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (0)Mz 1    z  t I 36.2I 36.4E   I 25E   I 29f (t )  f (0)M (t   ) E  E  fE  C 0 ,  ( E   )M (t   ) fM (t   ) fM  t  z   I 36.1f ,C0E  C 0 ,  ( E  ,)I 36.3C 0 ,  ( E  ,)I 36.5( E   )M  t  M (t   ) E   I 26E   I 30  ffC 0 ,  ( E   )E  E  f (t )  f (0)E EC 0 ,  ( E   )E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   )Из полученных оценок для I 33 , I 34 , I 35 и I 36 следует.,M (t   ) fM (t   ) fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )Объединив оценки для I 36.1 , I 36.2 , I 36.3 , I 36.4 и I 36.5 , получаем неравенствоI 36E,.76W3.3 (t   )  W3.3 (t )E  M  (t   )fC 0 ,  ( E   ), 0  t  t    1.(1.2.41)Используя доказанные неравенства (1.2.30), (1.2.37) и (1.2.41), получаем(1.2.28).

Из (1.2.27) и (1.2.28) вытекаетW3C0 , ( E   ) M 1 fC 0 ,  ( E   ).(1.2.42)Теперь получим оценки для W4 (t ) в C ( E  ) и C 0 , ( E   ) . Сначала оценим внорме C ( E  ) :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W4 (t ) A1  (t )U (t ,0) A1 (0)E z 1(  ) A1(  ) (t ) exp{ zA(t )} E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t )EEE Ef (t )EMt t  f (t )E  M fC0 , ( E   ).Отсюда для любого t  0 имеемW4 (t )M fE  C0 , ( E   ).ПоэтомуW4M fC ( E   )C0 , ( E   ).(1.2.43)Теперь оценим W4 (t ) в C 0 , ( E   ) , т. е. установим оценкуW4C0 , ( E   )M fC0 , ( E   ).(1.2.44)Для этого достаточно доказать, чтоW4 (t )E  W4 (t   )  W4 (t )M fE  C0 , ( E   )M (t   ) f, 0  t  1,C 0 ,  ( E   )(1.2.45), 0  t  t    1.(1.2.46)Сначала докажем неравенство (1.2.45):z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}W4 (t ) A1   (t )U (t ,0) A1 (0)EEE z 1(   ) A1(   ) (t ) exp{ zA(t )} E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t )E Ef (t )EMt t  f (t )E   Mt  fC0 , ( E   ).Поэтому для любого 0  t  1W4 (t )E   Mt  fC0 , ( E   ).(1.2.47)77Из последнего неравенства, во-первых, вытекает (1.2.45), во-вторых, (1.2.46)при t   .

Действительно, воспользовавшись оценкой (1.2.47) и неравенствомтреугольника получим, чтоW4 (t   )  W4 (t )E   W4 (t   ) 2M (t   )  f W4 (t )E  C 0 ,  ( E   ) M [(t   )   t  ] fE  M 1 (t   )fC0 , ( E   ).C 0 ,  ( E   )Пусть t   . Применив формулу (1.1.51) для разности W4 (t   )  W4 (t ) , оценим I 10 ,I 11 , I 12 и I 13 .

Сначала оценим I 10 в E  :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I10 A1   (t   )U (t   ,0) A1 (0)M (t   ) (t   )  f (t   )  f (t )E  E EE z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E [ A(0)  A(t   )]A 1 (t   )M (t   ) f I 10C0 , ( E   )E EE  f (t   )  f (t )M (t   ) fEC0 , ( E   ).Для I 11 и I 12 соответственно получимz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 11 A1   (t   )U (t   ,0) A1 (0)M (t   )  f (t )E  M (t   ) z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I12 A1   (t   )U (t   ,0) A1 (0) f (t )EMt  (t   ) f (t )E EE  E z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E [ A(t )  A(t   )]A 1 (t   )E EfE ,C0( E   ) I 11E  f (t )E EM (t   ) fEC0 , ( E   ). z 1(   ) A1(   ) (t   ) exp{ zA(t   )} E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t   )M (t   ) fC0 , ( E   )E E I 12[ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E  M (t   ) fE EC0 , ( E   )Наконец, оцениваем I 13 .

Пусть z   , тогдаz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I13E z 1   A(t   ) exp{ zA(t   )} E E  A(t   )U (t   ,0) A1 (0)  A(t )U (t ,0) A1 (0) E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t )Mz 1         t f (t )ztE  M        t  fztC0 , ( E   )E Ef (t )E tt   M     t.78 fC0 , ( E   )1  M   t      t fC0 , ( E   )M 1 (t   )fC0 , ( E   ).Пусть теперь z   . Тогда преобразовав I 13 в видеI 13  A(t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}] A1 (0)[ A(0)  A(t )]A1 (t ) f (t )  A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0)[ A(0)  A(t )]A1 (t ) f (t )  exp{(t   ) A(t   )}[ A(t   )  A(t )]A 1 (0)[ A(0)  A(t )]A 1 (t ) f (t )  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}][ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t )  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}][ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t )  I 13.1  I 13.2  I 13.3  I 13.4  I 13.5 ,(1.2.48)оценим сначала I13.1 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I13.1E z 1   exp{ zA(t   )} E E  A2 (t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}] A1 (0) E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t ) M 1   (t   )  1 t  f (t )E  M (t   ) f ,C0( E   ) I 13.1E  M (t   ) f (t )E EfEC0 , ( E   ).Аналогично оценивается I13.2 и I13.3 :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I13.2E z 1   exp{ zA(t )} E E  A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) E  E [ A(0)  A(t )]A 1 (t ) M 1   t  1t  f (t )E  M (t   ) f ,C0z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I13.3 [ A(t   )  A(t )]A 1 (0)Mz 1 z    t z  t f (t )E  M (t   ) EE Ef( E   )I 13.2E  f (t )E EM (t   ) fEC0 , ( E   ). z 1   exp{( z  t   ) A(t   )} E E [ A(0)  A(t )]A 1 (t )C0 , ( E   ) I 13.3E EE  f (t )EM (t   ) fC0 , ( E   ).Далее, оцениваем I13.4 .

Характеристики

Список файлов диссертации