Диссертация (1155072), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Для доказательства теоремы 2.2 в правой частинеравенства (2.1.4) достаточно доказать, чтоv 0E  f (0)  Av (0) M { A  f ( )  f (0)E E   1 (1   ) 1 fC0 , ( E )}.(2.1.10)Поэтому нужно получить оценки для I1 и I 2 в норме E  . Сначало оценим I1 . Всилу (2.1.5) и (2.1.7) при n  2 имеемz 1(   ) A exp{ zA}I1z1  A exp{( z    s) A}2E EE ( I  exp{A}) 1f ( )  f ( s) E ds  Mz1  0E E0(  s)  ds( z    s) 2 Пусть сначала z   , тогдаz1  0(  s)  ds z 1 2 ( z    s) ds ( z    s)2  (1   ) 1 .0Пусть теперь z   , тогдаz 1 0(  s)  ds z   2 ( z    s) 0  ds  1 . 1 z(  s )Поэтому для любого z  0z1  0(  s)  ds  1 (1   ) 1 .( z    s) 2 fC0 , ( E ).101Итак, для I1 установили оценкуI1 M 1 (1   ) 1 fE C0 , ( E ).Теперь оценим I 2 в норме E  .

Воспользовавшись оценками (2.1.5) и (2.1.7) приn  1 , получаемz 1(   ) A exp{ zA}I 2E ( I  exp{A}) 1E E{z 1(   ) A exp{ zA}( A  f ( )  f (0))E z 1(   ) A exp{( z   ) A} E E f ( )  f (0) E }  M 1 { A  f ( )  f (0)E z 1     zfC0 , ( E )}.Так какz 1     1,zмы получим, чтоz 1(   ) A exp{ zA}I 2E M 1 { A  f ( )  f (0)E  fC0 , ( E )}.ОтсюдаI2E  M 1 { A  f ( )  f (0)E  fC0 , ( E )}.Объединив оценки для I1 и I 2 , получаем (2.1.10).Теорема 2.2 доказана.Следствие 2.1.

Пусть A  f ( )  f (0)  0 , f  C0 , ( E) при некоторых 0     ,0    1 . Тогда задача (2.1.1) разрешима в C0 , ( E ) и для еѐ единственного решенияv(t ) справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  Av0C0 , ( E )Mf (1   )(2.1.11)C0 , ( E )с постоянной M , не зависящей от  ,  и f .Следствие 2.2. Предположим, что A  E  , f (0)  f ( ) , f  C0 , ( E) при некоторых0     , 0    1 .

Тогда задача (2.1.1) разрешима вC0 , ( E )и справедливонеравенствоv C  , ( E )  Av0C0 , ( E ) 1MA E 1f (1   )C0 , ( E )102с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  и f .Если в нелокальной задаче (2.1.1)   0 и   1 , то для задачиv (t )  Av (t )  f (t ) (0  t  1), v (0)  v (1)(2.1.12)справедливо следующее утверждение:Следствие 2.3. Пусть f (0)  f (1) и f  C0 , ( E) при некоторых 0     , 0    1 .Тогда задача (2.1.12) разрешима в C0 , ( E) и справедлива оценка (2.1.11).103 ,2.2. Разрешимость в пространстве C0 ([0,1], E   )Как известно, для задачи Коши (2.1.3) справедлива теорема (см.

[4]).Теорема 2.3. Пусть v0  f (0)  Av0  E  , f  C0 , ( E  ) при некоторых 0       ,0    1. Тогда существует единственное решение задачи (2.1.3), причемAv, v  C0 , ( E   ) , v  C ( E  ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E 0) AvC0 , ( E  ) v C ( E ) M { v0E   1 (1   ) 1 fC0 , ( E  )(2.2.1)}с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  , v 0 и f .Для нелокальной задачи (2.1.1) справедлива следующая теорема.Теорема2.4.A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E   )Пустьпринекоторых0       , 0    1.

Тогда существует единственное решение задачи (2.1.1),причем Av, v  C0 , ( E  ) , v  C ( E  ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E0 ) AvC0 , ( E  ) v C ( E ) M { A  f ( )  f (0)E   1 (1   ) 1 fC0 , ( E  )}(2.2.2)с M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f .Доказательство. Для доказательства в неравенстве (2.2.1) достаточно оценить v 0в норме E  . Воспользуемся тождеством (2.1.9).

Оценим I1 и I 2 в отдельности.Сначала оценим I 2 в норме E  . В силу (2.1.5) имеемz 1(  ) A exp{ zA}I 2E ( I  exp{A}) 1E E{z 1(  ) A exp{ zA}( A  f ( )  f (0))E z 1(  ) A exp{( z   ) A}( f ( )  f (0)) E }  M 1 { A  f ( )  f (0)E   M 1 { A  f ( )  f (0)E  z 1 (z   )1  f ( )  f (0)z 1   (z   )1   M 1 { A  f ( )  f (0)E   ffE  C0 , ( E   )C0 , ( E   )}}}.Отсюда получимI2E  M 1 { A  f ( )  f (0)E   fC0 , ( E   )}.(2.2.3)104Теперь оцениваем I1 :z 1(  ) A exp{ zA}I1 z 1 E ( I  exp{A}) 1E EA 2 exp{( z    s) A}( f ( )  f ( s)) ds E0 M 1 z 1 1 ( z    s)f ( )  f ( s )2   E  ds 0 M1z1 0(  s)  ds( z    s) 2   fC0 , ( E   ).Пусть сначала z   , тогдаz1 0(  s)  dsz 1 ( z    s) 2   ds ( z    s)2 01 (1   ) 1.1Пусть теперь z   , тогдаz 1 0(  s)  dsz    ( z    s) 2   0 ds  1 .1 (  s )zПоэтому для любого z  0z 1 0(  s)  ds  1 (1   ) 1.2   ( z    s)Итак, установили оценкуI1E  M 1 (1   ) 1 fC 0 , ( E   )(2.2.4).Из (2.2.3) и (2.2.4) следует, чтоv 0E   f (0)  Av(0)E   M { A  f ( )  f (0)E    1 (1   ) 1 fC0 , ( E   )}.(2.2.5)Используя оценку (2.2.5) в правой части неравенства (2.2.1), получаем (2.2.2).Теорема 2.4 доказана.1052.3.

Разрешимость в пространствах С ([0,1], E ) и С0 , ([0,1], E)Если в доказанной теореме 2.2    и   0 , то получаем:Теорема 2.5. Пусть A  f ( )  f (0)  E , f  C  ( E ) при некотором 0    1. Тогдасуществует такое единственное решение задачи (2.1.1), что Av, v  C  ( E ) ,v  C ( E ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C ( E )  AvC ( E )1 v C ( E )  M  A  f ( )  f (0)E1f (1   )C ( E )(2.3.1)с постоянной M , не зависящей от  , и f .Следствие 2.4. Предположим, что f (0)  f (1) , f  C  ( E ) при некотором 0    1.Тогда задача (2.1.12) разрешима в пространстве Гѐльдера C  ( E ) и выполняетсяоценкаv C ( E )  AvC ( E )Mf (1   )(2.3.2)C ( E )где M не зависит от  и f .В весовом пространстве Гѐльдера C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0    1) с нормойfC0 , ( E ) f supC(E)(t   ) f (t   )  f (t )0t t  1Eимеет место следующий результат:Теорема 2.6.

Пусть   D ( A) и f  C0 , ( E) при некотором 0    1. Тогда задача(2.1.1) разрешима в C0 , ( E) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C , ( E )  Av0C0 , ( E ) M  AE1f (1   )C0 , ( E )(2.3.3),(2.3.4)с постоянной M , не зависящей от  , и f .Доказательство. Воспользуемся неравенствомv C , ( E )  Av C , ( E )  M  Av000E1f (1   )C0 , ( E )полученным для задачи Коши (2.1.3) [43, 71]. Достаточно получить оценку Av0 внорме E . Представим Av0 в следующем виде:106Av0  Av (0)   ( I  exp{A})1 A exp{(  s) A}( f ( )  f (s))ds 0 ( I  exp{A}) 1 A  f ( )  I1  I 2 ,(2.3.5)гдеI1   I1   ( I  exp{A})1 A exp{(  s) A}( f ( )  f (s))ds ,0I 2  ( I  exp{A}) 1 A  f ( ) .Оценим I1 и I 2 в отдельности.

Оценим сначала I1 в норме E . В силу (2.1.5) и(2.1.7) при n  1 имеемI1E ( I  exp{A}) 1E EA exp{(  s) A} E  E f ( )  f ( s) E ds 0M0(  s ) dsf(  s )C0 , ( E )Mds (  s )1 0fC0 , ( E )MfC 0 , ( E ).Теперь воспользовавшись оценкой (2.1.5), оценим I 2 :I2E ( I  exp{A}) 1E EAE f ( )E M1 AE fC 0 , ( E ).Объединив оценки для I1 и I 2 , получаемAv0E M { AE  1 fC 0 , ( E )}.(2.3.6)Используя (2.3.6) в правой части неравенства (2.3.4), получим (2.3.3).Теорема 2.6 доказана.nЗамечание 2.1.

Если оператор I   ci exp{i A} имеет ограниченный обратныйi 1в E , то тогда используя те же методы, мы можем получить аналогичныерезультаты для решения более общей нелокальной задачиv(t )  Av (t )  f (t ) (0  t  1),nv(0)   ci v(i )   ,i 1где 0  1  2  ...  n  1.1072.4. Приложения к главе 2В предыдущих разделах были рассмотрены задачи в классе параболическихдифференциальных уравнений. Здесь же мы применим полученные в абстрактнойситуации результаты к двум следующим классам операторов:а) сильно эллиптическим функционально-дифференциальным операторам срастяжением и сжатием пространственных переменных в ограниченной областиn;б) эллиптическим операторам в ограниченной области  nс нелокальнымикраевыми условиями, связывающими значения функции и ее производных награнице области со значениями на некотором компакте внутри области (такимобразом, охвачен случай параболических уравнений с нелокальными условиямикак по времени, так и по пространственным переменным).Для этого в каждом из упомянутых случаев мы убедимся, что соответствующий оператор удовлетворяет (1.1.2) и порождает аналитическую полугруппу вE  L2 () .Отметим, что смешанные задачи для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами пространственных переменных изучалисьметодами теории полугрупп в работах [35, 39].

Рассматривались вопросы, связанные с обобщенными и сильными решениями смешанных задач, а также пространством начальных данных. Существенную роль здесь играют результаты,полученные ранее для эллиптических дифференциально-разностных уравнений(см. [38, 60, 78, 79]).Начальные задачи для параболических функционально-дифференциальныхуравнений с запаздыванием по времени и неограниченными операторными коэффициентами рассматривались в [14, гл. 2]. Разрешимость, гладкость, асимптотические свойства и оценки решений в весовых пространствах Соболева на полуосиустанавливались на основе исследования соответствующих операторных пучков.108Параболические уравнения с нелокальными условиями по пространственнымпеременным играют важную роль в теории многомерных диффузионныхпроцессов (см. [15] и приведенную там библиографию). Систематическое изложение теории нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений можнонайти в [16,36,37].

Характеристики

Список файлов диссертации