Диссертация (1155072), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Используя оценку (3.1.8)в правой части неравенства (1.1.28), получим неравенство коэрцитивности (3.1.7).Теорема 3.1 доказана.Следствие 3.1.Пусть0        1, 0   1.A(0)   f ( )  f (0)  0 ,f  C0 , ( E )при некоторыхТогда задача (3.1.1) разрешима в C0 , ( E) и выполняетсяоценка (1.1.77).При   0 и   1 для нелокальной краевой задачиv(t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v (0)  v (1)(3.1.12)справедливо следующее утверждение:Следствие 3.2. Предположим, что f (0)  f (1) и0        1, 0   1.f  C0 , ( E ) при некоторыхТогда задача (3.1.12) разрешима в C0 , ( E) и справедливонеравенство коэрцитивности (1.1.77).Теперь введем банахово пространство E0 , , состоящее из элементов w E , длякоторых конечна норма123 ,w 0  max e zA(t ) w  sup    ( z   ) (e( z ) A(t )  e zA(t ) ) w .0 z 1EE0 z z  1Имеет место следующий результат (см.

[72]):Теорема 3.2. Пусть v0  f (0)  A(0)v0  E0 , , f  C0 , ( E) при некоторых 0     ,0      1 . Тогда задача (1.1.1)разрешима в C0 , ( E) и для еѐ единственногорешения v(t ) справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  A()v0 ,C0( E)  ,1 M  v0 0 f(1) ,C0( E) (3.1.13)с M , не зависящей от  ,  , v 0 и f .Далее, справедливы следующие леммы (см.[72]):Лемма 3.3. Для любых 0  s  s    1 , 0  t  1 и 0    1 справедлива оценкаexp{ sA( )}  exp{( s   ) A(t )} E  E M ,( s   )(3.1.14)где M не зависит от t, s,  и  .Лемма 3.4. Для любых t , s,  [0,1] верны оценки[exp{tA( )}  exp{ sA( )}] A 1 ( )E EA(t )[exp{tA( )}  exp{ sA( )}] A2 ( ) M t  s e  min{t , s} ,E E(3.1.15) M t  s e  min{t ,s} ,(3.1.16)где M  0 и   0 не зависит от t, s, и  .Для задачи (3.1.1) справедлива следующее утверждение.Теорема 3.3.

Пусть A(0)  f ( )  f (0)  E0 , , f  C0 , ( E) при некоторых 0     ,Тогда для единственного решения v(t ) задачи (3.1.1) в C0 , ( E)0      1.справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  A()v0C0 , ( E )1 , M  A(0)   f ( )  f (0) 0 f (1   )C0 , ( E )(3.1.17)с M , не зависящим от  ,  ,  и f .Доказательство.

Для доказательства теоремы в правой части неравенство (3.1.13)достаточно доказать, чтоv0 ,01 , M  A(0)  f ( )  f (0) 0 f (1   )C0 , ( E ).(3.1.18)124Оценим I 3 , I 4 , I 5 и I 6 в отдельности в норме E0 , . Сначала оценим I 3 .Воспользовавшись оценкой (3.1.5), получимI3 , , M  A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds000Mf (1   )C0 , ( E ),(3.1.19)так как , A( )U ( , s)( f ( )  f (s))ds00Mf (1   )C0 , ( E )(3.1.20).Действительно, в силу (1.1.9), (1.1.13) и (1.1.10), (1.1.15) при   0 для любогоz  0 имеем, чтоexp{ zA( )} A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds0  A( ) exp{ zA( )}U (, s)1 1   M  min  ,(  s)  ds fz  s0dsf1  (s)0 M1  ,C0f ( )  f ( s) E ds E E0E(E)C0 , ( E )M1(  s)  dsf( z    s ) 0 M1    f ,C0(E)M1fC0 , ( E )C0 , ( E )(3.1.21).Пусть   z  .

Тогда воспользовавшись формулами (1.1.13), (1.1.15) при   0и (3.1.14) при    , для любых 0  z  z    1 получаем   ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})  A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds 0 M    ( z   )M1( z   )  ( z   )A( )U ( , s)E Ef ( )  f ( s) E ds 0ds0 (  s)1   fEC0 , ( E )M1  f ( z   )  C0 , ( E )M2fC0 , ( E )(3.1.22).Пусть теперь z    и   z . Воспользовавшись оценками (1.1.15) при   1 и(3.1.15), для любых 0  z  z    1 получим  ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds 0E M   ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A1 ( )  A2 ( )U ( , s)0E Ef ( )  f ( s) E ds M1( z   ) E E 1 ds0 ( z    s)2  fC0 , ( E )125M 2 1fz1 (1   )C0 , ( E )M3f1 C0 , ( E )(3.1.23).Теперь пусть z     и   z .

Тогда ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})  A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds0 M    ( z   ) EA( )(exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})U ( , s)( f ( )  f ( s)) E ds 0 M    ( z   )    M1( z   ) A( )(exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})U ( , s)( f ( )  f ( s)) E ds  0 ds( z    s)2 M 2f( z   ) (1   )( z   )1    M1f C  (E ) ( z   ) ,0(E) ,C0M 2 f( z   ) ds  (  s )1 C0 , ( E )M3f (1   )fC0 , ( E )C0 , ( E ).(3.1.24)Используя оценки (3.1.21), (3.1.22), (3.1.23) и (3.1.24) получаем (3.1.20).Далее, оценим I 4 . В силу (3.1.5) имеем , ,I 4 0  M  A( )U ( , s)[ A( )  A( s)]A ( ) f ( )ds100Mf (1   )C0 , ( E ),(3.1.25)так как ,M  A( )U ( , s)[ A( )  A( s)]A ( ) f ( )ds100Mf (1   )C0 , ( E )(3.1.26).Действительно, воспользовавшись оценками (1.1.3), (1.1.9), (1.1.13) и (1.1.10),(1.1.15) при   0 , получим, что для любого z  0exp{ zA( )} A( )U ( , s)[ A( )  A( s)] A1 ( ) f ( )ds0E  A( ) exp{ zA( )}U ( , s)E E[ A( )  A( s)] A1 ( )f ( ) E ds E E01 1  M  min  ,(  s) ds fz  s0M1 f ,C0(E)(  s) dsfzs0 M1 C0 , ( E )M1fC0 , ( E )C0M1 ,(E)fdsf1(s)0 M1 C0 , ( E ).C0 , ( E )(3.1.27)126Пусть   z  .

В силу (1.1.3), (1.1.13), (1.1.15) при   0 и (3.1.14) при   для любых 0  z  z    1 имеем ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U ( , s)[ A( )  A( s)]A1 ( ) f ( )ds 0 M  ( z   )M1( z   )  (z   )A( )U ( , s)E EE[ A( )  A( s )]A1 ( )E Ef ( ) E ds 0ds0 (  s)1 f ,C0(E)M 1f ( z   )  C0 , ( E )M2fC0 , ( E )(3.1.28).Пусть теперь z    и   z . Тогда воспользовавшись оценками (1.1.3), (1.1.15)при   1 и (3.1.15), для любых 0  z  z    1 получим, что ( z   ) (exp{( z   ) A()}  exp{ zA( )})  A( )U ( , s)[ A( )  A( s)] A1( ) f ( ) ds0 M    ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A1 ( ) A2 ( )v( , s)E EE[ A( )  A( s)] A1 ( )E Ef ( ) E ds E E0M1( z   ) ( z   )    1  ds0 ( z    s)2 fC0 , ( E )M 2 1 fz1  (1   )C0 , ( E )M3f1 C0 , ( E )(3.1.29).Пусть z     и   z , тогда ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U ( , s)[ A( )  A( s)]A1 ( ) f ( )ds 0M  ( z   )  M  ( z   ) EA( )(exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})U ( , s )[ A( )  A( s)]A1 ( ) f ( ) ds E0 A( )(exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )})U ( , s)[ A( )  A(s)]A 1( ) f ( ) ds E  M1( z   )  0 dsf( z    s ) 2 M 2 1f(1   )( z   )1C  , ( E )0  M1( z   ) M 2 fC0 , ( E )( z   )   ds (  s ) 1C0 , ( E )fC0 , ( E )M3f (1   )C0 , ( E ).(3.1.30)Используя оценки (3.1.27), (3.1.28), (3.1.29) и (3.1.30) ), получим оценку (3.1.26).Легко устанавливается оценка127 , ,I 5 0  M A(0)  f ( )  f (0) 0(3.1.31)для I 5 .Наконец, оценим I 6 .

Для любого z  0 справедлива оценкаexp{ zA( )}A( )U ( ,0) (( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) A( ) exp{ zA( )}U ( ,0) A1 ( ) [ A( )  A(0)]A1 (0)E EE E( f ( ) E  A( ) A1 (0)1 1 f ( ) E )  M min ,  fz C0 , ( E )E EEf (0) E  M11 fC0 , ( E ). (3.1.32)Пусть вначале   z  . Тогда для любых 0  z  z    1 имеем   ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U (,0)  (( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ))EM    ( z   )  (( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ))(z  )M1       f  (z  )C0 , ( E ) M2 fC0 , ( E )E(3.1.33).Пусть теперь z    и   z , тогда   ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U ( ,0)  (( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) E 1  1   M (z  )  f2   ( z   ) 2   (z  )C0 , ( E ) M1 fC0 , ( E ).(3.1.34)Наконец, пусть z     и   z .

Тогда получим, что   ( z   ) (exp{( z   ) A( )}  exp{ zA( )}) A( )U ( ,0)  (( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) EM1  1  1   f( z   )    ( z   ) 2     ( z   ) 2  C0 , ( E ) M1 fC0 , ( E ).(3.1.35)Используя оценки (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34),(3.1.35) и неравенство (3.1.5), получимоценку I 6 в норме E0 , : , ,I 6 0  M A( )U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ) 0 128 M1 fC0 , ( E ).(3.1.36)Наконец, объединив оценки (3.1.19), (3.1.25), (3.1.31) и (3.1.36), получаем(3.1.18).

Используя оценку (3.1.18) в правой части неравенство (3.1.13), получимнеравенство коэрцитивности (3.1.17). Теорема 3.3 доказана.1293.2. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E  )Для нелокальной краевой задачи (3.1.1) верна следующая теорема.f  C0 , ( E   )A(0)  f ( )  f (0)  E  ,Теорема 3.4. Пусть0          1 , 0    1.при некоторыхТогда существует единственное решение задачи(3.1.1), причем A(t )v, v  C0 , ( E  ) , v  C ( E  ) и справедливо неравенствоv C  , ( E 0) A()v M  A(0)   f ( )  f (0)C0 , ( E  )E  v C ( E 1f (1   ))C0 , ( E  )(3.2.1)с M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f .Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации