Диссертация (1155072), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Тогда приza0  r cos весь угол  2 лежит в резольвентном множестве оператора AГ  a0 I иимеет место неравенствоzI   AГ  a0 I 1CC cos z  a0zz   2.115Кроме того, спектр оператора AГ  a0 I сдвинут влево от мнимой оси и имеет местооценкаzI   AГ  a0 I 1M1 zRe z  0 .Решение v ( x, t ) задачи (2.4.13), (2.4.14) вновь понимается в смысле определения,данного в начале работы, с оператором A(t )   AГ  a0 I .

А именно, v есть непрерывно дифференцируемая на отрезке [0,1] функция со значениями в L2 () ,v(, t )  H Г2 () при каждом t  [0,1] , функция AГ v( x, t ) непрерывна на [0,1] со значения-ми в L2 () , при каждом [0,1] правая и левая части (2.4.13) совпадают как элементыL2 () , и v(,0)  v(,  )   .Следствие 2.6. Пусть a0  0 достаточно велико. Тогда при всех функциях  H Г2 () и f  C0 , ( L2 ()) задача (2.4.13), (2.4.14) имеет единственное решениеv ( x, t ) , функцииvt (, t )и AГ v(, t ) принадлежат пространству C0 , ( L2 ()) , исправедлива оценкаvtC0 , ( L2 (  ))   AГ  a0 I  v ,C0( L2 (  )) M Г    AГ  a0 I  L ( )21f (1   )C0 , ( L2 (  ))с постоянной M Г  0 , не зависящей от  ,  и f .Замечание 2.3.Недостатком приведенного результата является то, чтонижняя граница для a 0 не описана явно.

Вопрос о том, будет ли секториальнымсам оператор AГ , сводится к локализации его спектра. Принимая во внимание,что в кругеz  r спектр состоит лишь из конечного числа собственныхзначений оператора AГ (следствие 2.1.2 [36,гл.2,§2.1]), достаточно установить,что все собственные значения оператораAГлежат строго в левойполуплоскости. Однако, в общем случае это сделать затруднительно. Нижеприведен пример секториального оператора AГ .116Пример. Рассмотрим задачу в прямоугольникеvt ( x, t )  a 2vxx ( x, t )  f ( x, t ), (0  x  2, 0  t  1),(2.4.15)v t 0  v t    ( x) , v x0  b1v x1 , v x2  b2v x1 ,(2.4.16)где a  0 и b1 , b2  .Получим условия, при которых оператор AГ : L2 (0,2)  L2 (0,2) ,AГ u ( x)  a 2u( x) , u  D( AГ )  H Г2 (0,2)  u  H 2 (0,2) : u (0)  b1u (1), u (2)  b2u (1) ,являетсясекториальным.Егособственныезначениявычисляютсянепосредственно. Независимо от коэффициентов b1 ,b2 в нелокальных условиях,числа z1,k ,z1,k (k ) 2 , k ℕ,2a(2.4.17)являются собственными значениями оператора AГ .Если  2  b1  b2  2 , то к этой серии добавляется еще одна серияz 2 ,kb b   arccos 1 2  2m  ,2a22m  ℤ,также отрицательных собственных значений.При b1  b2  2 к серии (2.4.17) добавляется серия22b bz3,k b1  b2  b1  b2 2  b1  b22 , k  0,1,...,12ln1(2k)i4kln1 2 2a22 2 в которой всегда есть неотрицательное собственное значение (при k  0 ).Если же b1  b2  2 , то собственные значения оператора AГ состоят из (2.4.17) исерии11722 b bz 4 ,k b1  b2  b1  b2 122  b1  b222,ln1(2m1)i2(2m1)ln1 2a2222m  0,1,....Вещественные части всех собственных значений этой последней серии будутотрицательными, если2 b bb b ln 1 2   1 2   1    , 2 2 т.

е. b1  b2  2 ch . Итак, условие  2 ch  b1  b2  2 является необходимым идостаточным для секториальности (и сильной позитивности) оператора AГ в этомпримере.Следствие 2.7. Предположим, что  2 ch  b1  b2  2 . Тогда для всех функций  H Г2 (0,2) и f  C0 , ( L2 (0,2)) задача (2.4.15), (2.4.16) имеет единственное решениеv ( x, t ) . При этом функции vt (, t ) и v xx (, t ) принадлежат пространству C0 , ( L2 (0,2))и выполняется оценкаvtC0 , ( L2 (0,2)) vxxC0 , ( L2 (0,2)) M Г  xxL2 (0,2)с постоянной M Г  0 , не зависящей от  ,  и f .1f (1   )C0 , ( L2 (0,2))118Глава 3Нелокальная задача с переменным оператором ,3.1.

Разрешимость в пространстве C0 ([0,1], E)Рассмотрим нелокальную задачуv(t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1) .(3.1.1)в произвольном банаховом пространстве E . Здесь v(t ) , f (t ) и A(t ) удовлетворяютусловиям первой главы;   D , D  D( A(t )) .Задача (3.1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решениеv(t ) и для еѐ решения справедлива формулаt00v(t )  U (t ,0)(I  U ( ,0))1{   U ( , s ) f ( s )ds}   U (t , s ) f ( s )ds ,(3.1.2)где U (t , s ) определяется из соотношения (1.1.5) или (1.1.6).Справедливы следующие леммы.Лемма 3.1.

Пусть A(t ) A1 ( p)  A(t   ) A1 ( p) при некоторых 0  t  t   , p  [0,1] .Тогда для любых 0  s  t  t   , u  D справедливо тождествоU (t , s )u  U (t   , s   )u .(3.1.3)Лемма 3.2. Пусть выполняются условия леммы 3.1. Тогда оператор I  U ( ,0)имеет ограниченный обратный и справедливы неравенства( I  U ( ,0))1EEM ,A(0)(I  U ( ,0))1 A1 ( )(3.1.4)EEM.(3.1.5)Наконец, удобно будет представить v0 в виде суммы следующим образом:v 0   A(0)v(0)  f (0)   A(0)(I  U ( ,0))1{   U ( , s ) f ( s )ds}  f (0) 0 A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds 0119 A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 ((I  U ( ,0)) A1 ( ) f ( )   )  f (0)  A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds 0 A(0) A1 ( ) f ( )  A(0)(I  U ( ,0))1   f (0)  A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 A1 (0)( A(0)   f ( )  f (0))  A(0)(I  U ( ,0))1U ( ,0)( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A(0)(I  U ( ,0))1U ( ,0) A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )  I3  I 4  I 5  I6 ,(3.1.6)гдеI 3  A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds ,0I 4   A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds ,0I 5  A(0)(I  U ( ,0))1 A1 (0)( A(0)   f ( )  f (0)) ,I 6  A(0)(I  U ( ,0))1U ( ,0)( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A(0)(I  U ( ,0))1U ( ,0) A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ).Для нелокальной задачи (3.1.1) справедлива следующая теорема.Теорема3.1.0        1,Пусть0   1.A(0)  f ( )  f (0)  E  ,f  C0 , ( E )принекоторыхТогда задача (3.1.1) разрешима в C0 , ( E) и для еѐединственного решения v(t ) справедливо неравенство120v C  , ( E )  A()v0C0 , ( E ) v C ( E ) 1MA(0)   f ( )  f (0) E 1f (1   )C0 , ( E ) (3.1.7)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  и f .Доказательство.

Воспользуемся неравенством (1.1.28), полученным для задачиКоши. Достаточно установить следующую оценку:v 0 f (0)  Av (0)E E  M { A  f ( )  f (0)E   1 (1   ) 1 fC0 , ( E )}.(3.1.8)Поэтому нужно получить оценки для I 3 , I 4 , I 5 и I 6 в норме E  . Вначалеоценим I 3 . Верна оценка A( )U ( , s)( f ( )  f (s))ds0E  Mf (1   )C0 , ( E ).(3.1.9)Действительно,z1(   ) A( ) exp{ zA( )} A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds0E z1    A2 ( ) exp{ zA( )}U ( , s)E Ef ( )  f ( s) E ds 01   Mz11  0 min  z 2 , (  s)2 (  s)  ds fC0 , ( E ) M1 z1  (  s)  ds0 ( z    s)2   fC0 , ( E ).Рассмотрим два случая: z   и z   .

Пусть сначала z   . Тогда(  s)  dsds1 z 1  .2 2( z    s) ( z    s)1 00z 1    Пусть теперь z   , тогдаz1  0(  s)  ds1   2 ( z    s) z 0 ds1 . 1 z(  s )Поэтому для любого z  0 получимz1  0(  s)  ds1.2  (1   )( z    s) Итак, установили, чтоz1 (   ) A( ) exp{ zA( )} A( )U ( , s)( f ( )  f ( s))ds0EMf (1   )C0 , ( E ).Отсюда следует (3.1.9). Воспользовавшись оценками (3.1.5) и (3.1.9), получаем121I3E Mf (1   )C0 , ( E ),Теперь оценим I 4 . В силу (3.1.5) имеемI4E M A( )U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds0E  M1f (1   ),C0 , ( E )так как здесь имеет место оценка A( )U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds0E  Mf (1   )C0 , ( E ).(3.1.10)Действительно,A( ) exp{ zA( )} A( )U ( , s)[ A( s)  A( )] A1 ( ) f ( )ds1(   )z0E z1    A2 ( ) exp{ zA( )}U ( , s)E E[ A( s)  A( )] A1 ( )E Ef ( ) E ds 01   Mz11 0 min  z 2 , (  s)2 (  s) ds fC0 , ( E ) M1 z1  (  s) ds0 ( z    s)2 fC0 , ( E ).Пусть z   , тогда получаемz 1  (  s)  ds z 1  2( z    s)001ds.2 1  1 ( z    s)Пусть z   , тогдаz 1  0(  s)  ds1  2z( z    s)01ds .  1z(  s )Поэтому для любого z  0z1  0(  s)  ds1.2 (1   )( z    s)Итак,1 (   )zA( ) exp{ zA( )}  A( )U ( , s)[ A(s)  A( )]A1 ( ) f ( )ds 0EОтсюда имеем (3.1.10).Воспользовавшись оценкой (3.1.5), получим оценку для I 5 ,I5E  M A(0)   f ( )  f (0)E .M1f (1   )C0 , ( E ).122Наконец, оценим I 6 .

Справедлива оценкаA( )U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ))E  M fC0 , ( E ).(3.1.11)Действительно,z1 (   ) A2 ( ) exp{ zA( )}U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) z1   A2 ( ) exp{ zA( )}U ( , 0) A1 ( ) f ( ) E  A( ) A1 (0)1 1  Mz1  min ,  fz E EE Ef (0) E  [ A( )  A(0)]A1 (0) M1C  (E),0z1 zfC0 , ( E )EE Ef ( )  f M 1EC0 , ( E ).Итак,z1 (   ) A2 ( ) exp{ zA( )}U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))   A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) E M1    fC0 , ( E ).Отсюда следует (3.1.11). В силу (3.1.5) и (3.1.11) имеем, чтоI6E  M fC0 , ( E ).Объединив оценки для I 3 , I 4 , I 5 и I 6 , получаем (3.1.8).

Характеристики

Список файлов диссертации