Диссертация (1155072), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Действительно, в силу (1.2.63) и неравенства треугольника получимF2 (t   )  F2 (t )E   F2 (t   )E   F2 (t )E   M [t   (t   )  ] v 0E  86 2M (t   )v 0E   21  M  v 0E  M 1 v 0(t   )E  .Аналогично оценивается F3 (t   )  F3 (t ) . Сначала оценим F3 (t ) :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}F3 (t )E z 1(   ) A1(   ) (t ) exp{ zA(t )} E  E  A1   (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) E  E v0E Mt     v 0E   Mt  v 0E  .Используя эту оценку, в силу неравенства треугольника при t   имеем:F3 (t   )  F3 (t )E  M 1 v 0(t   )E  , 0  t  t   1 .(1.2.65)Из (1.2.62), (1.2.64) и (1.2.65) следует (1.2.58).Пусть теперь t   . При z   преобразуя W5 (t   )  W5 (t ) в виде (1.1.70), оценимI14 и I 15 в отдельности.

Оценим сначала I14 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I 14E z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) A(t   )U (t   ,0) A1 (0)M  (t   ) v 0   (t   ) E  E Ev0EM v 0(t   ) Mz 1    v 0zE   I 14E  E  M v 0z  M v 0(t   ) E  E  E E.Теперь оценим I15 . В силу тождества (1.1.71) и (1.1.72) разобьѐм его в виде суммыинтегралов (1.1.73) . Сперва оценим первое слагаемое  3 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 3  (t  t1 )1  A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )}v0EE z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E (t  t1 )   1 dt1 0M    1  v 0z tE  M    1  v 0 t 3E  E  M  =   ttM 1 v 0(t   ) Mz 1  zdt1v 0(t  t1 )1 M 1 v 0(t   )01v 0E  E  E  E  .Далее, воспользовавшись неравенствами (1.1.3) и (1.1.10) при   0 ,оценим второеслагаемое  4 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 4E z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E 87  A(t ) exp{(t  t1 ) A(t )} E E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)E Ev0Edt1 0Mz 1  ztv 0t  t10M  (t   )     (t   ) tE  1v 0E  Mt v 0z   tM v 0(t   ) E  E  Mt v 0   t 4E  E  M v 0(t   ) E  .В силу (1.1.9), (1.1.10) при   0 и (1.1.17) при   1 оценим  5 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 5E z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E   exp{t1 A(t )} E E A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) E  E v0Edt1 0Mz1  v 0zt1M  (t   )     (t   ) tE  Mz tM v 0(t   ) 1v 0E     1v 0E  E  M tv 0 5   1E  E  M v 0(t   ) E  .Наконец, используя оценки (1.1.3) и (1.1.9), (1.1.10) при   1 , (1.1.14) при   0 ,оцениваем  6 :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 6t U (t   , t1 )E EE z 1   A2 (t ) exp{ zA(t )} EE [ A(t )  A(t1 )]A 1 (t )E Eexp{(t1  t ) A(t )} E E dt1 t1 A(t )v(t ,0) A (0)M   v 0E EE  v0EMz1  z2M v 0(t   )E  t t  t1 dt1 v 0t 6E  E  M  1   v 0zM v 0(t   )E  E  .Объединив оценки для  3 ,  4 ,  5 и  6 , получимI 15E  M v0(t   )E .А из оценок полученных для I14 и I15 следует оценка (1.2.58) для W5 (t   )  W5 (t )при z   .

Пусть теперь z   , тогда представим разность W5 (t   )  W5 (t ) в видеW5 (t   )  W5 (t )  A(t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}]A1 (0)v0  A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}]A1 (0)v0  [ A(t   ) exp{(t   ) A(t   )}  A(t ) exp{tA(t )}]A1 (0)v0 88 W5.1  W5.2  W5.3 .Сначала оценим W5.1 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}W5.1E z 1   exp{ zA(t   )} E E  A2 (t   )[U (t   ,0)  exp{(t   ) A(t   )}] A1 (0) E  E v0M v 0(t   )  W5.1E  E  E M 1   (t   )  1 v 0M v0(t   ) E E  .Аналогично устанавливается оценкаW5.2E  M v 0(t   ) E  .Наконец, получим оценку для W5.3 .

В силу тождества (1.2.39) преобразуем его вследующем виде:W5.3  [ A(t   ) exp{(t   ) A(t   )}  A(t ) exp{tA(t )}]A1 (0)v0  exp{(t   ) A(t   )}[ A(t   )  A(t )]A1 (0)v0  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}]v0  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}]v0  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}][ A(t )  A(0)]A1 (0)v0  [exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )}][ A(t )  A(0)]A1 (0)v0  L1  L2  L3  L4  L5 .Оценим L1 , L2 , L3 , L4 и L5 в отдельности.

Сначала оценим L1 :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}L1 [ A(t   )  A(t )]A 1 (0)E EM v 0(t   ) Ev0E   z 1   A(t   ) exp{( z  t   ) A(t   )} E  E EMz 1    v 0z  t  L1E  E  M v 0(t   ) M 1    v 0t E  E  .Восспользовавшись неравенством (1.2.60), оцениваем L2 :L2E   1E  M v 0(t   ) E  .Так как неравенство (1.2.60) справедливо при t   и t   .Перейдем к оцениванию L3 .

Воспользовавшись ранее известной оценкой(см.[4, 71])89exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )} E    E  Mt1   , 0  t  t   1 ,получаемL3 2E  E   exp{(t   ) A(t )}  exp{tA(t )} E M 1   v 0t 1  t E   E  M 1 v 0(t   )E  v 0E  Mt1   v 0E  .Ещѐ раз воспользовавшись формулами (1.2.32), (1.2.33) и (1.2.34), перепишем L4 ввиде11L4   A 1 (t ) exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{ (t   ) A(t   )} 22 [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0  A 1 (t ) [ A(t   )  A(t )] exp{(t   ) A(t   )} [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0 t 2A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   )}exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 0 [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0  exp{(t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0 11 exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{ (t   ) A(t   )} [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0 22t A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 t2 [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0  L4.1  L4.2  L4.3  L4.4  L4.5  L4.6 .(1.2.66)Каждое слагаемое (1.2.66) оценим в отдельности:z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.1 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) v0EE EM 1     t v 01(t   )2z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.2EE1 z 1(   ) exp{( z  (t   )) A(t )}2E E1[ A(t )  A(0)]A 1 (0)A(t   ) exp{ (t   ) A(t   )}2E EE  M 1 v 0(t   )E   L 4 .1E  M 1 v 0(t   )E   z 1(   ) exp{ zA(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E E,E E90 A(t   ) exp{(t   ) A(t   )} E EM 1 v 0(t   )z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.3 L4.2E   z 1  E[ A(t )  A(0)]A 1 (0)t 2E  v0E EM 1    v 0t EM 1 v 0(t   )E  E  ,exp{( z  t1 ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E E0 A 2 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )} E  E [ A(t )  A(0)]A 1 (0) M1  t 2  t0dt1(t    t1 ) 2v 0M 1 v 0(t   ) E  z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.4EM 1     t v 0t E   M  v 0E  M v 0(t   ) z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.5E [ A(t )  A(0)]A (0)E Ev0Ez 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L4.6 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) Mz1  t t 2E E  t  dt1( z  t1 ) 2E  M 1 v 0(t   )E   L4.4E  E  E   z 1(   )E M L4.6t t 2E  ,E  v0E,E  t 1exp{ (t   ) A(t   )}2E EE E M 1M v 0(t   ) 1  E EM v 0(t   ) E  v 0E  M 1 v 0(t   )A 2 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )}t2  t  dt1t12M 1 v 0(t   )v 0E  E  ,EEexp{(t    t1 ) A(t   )} E E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)v 0dt1  z 1(   ) exp{ zA(t )} E E M 1   t   v 01t   2 L4.5E[ A(t )  A(0)]A 1 (0)E E1[ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) A(t ) exp{ (t   ) A(t )}2E E1E  v0 z 1(   ) exp{ zA(t )} E E  A(t ) exp{(t   ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) L 4 .3E  E EE  M 1 v 0(t   ).Объединив оценки для L4.1 , L4.2 , L4.3 , L4.4 , L4.5 и L4.6 , получаемE EE  v0Edt1 91L4E  M v 0(t   ) .E  Теперь в силу тождестваz1(   )A(t ) exp{ zA(t )}L5   z1(   )A2(t ) exp{( z  t  t1 ) A(t )} [ A(t )  A(0)]A1 (0)v0 dt10оценим L5 .

Пусть z   , тогдаz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L5 z 1(   )A2 (t ) exp{( z  t  t1 ) A(t )}E EE[ A(t )  A(0)]A 1 (0)E Ev0Edt1 0 Mz1  t  dt1 (z  t  t )0v 02Mz 1 t  z v 0ztE  1E  M v 0(t   ) E  .Пусть теперь z   , тогдаz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}L5 z 1(   )A2 (t ) exp{( z  t  t1 ) A(t )}E EE[ A(t )  A(0)]A 1 (0)E Ev0Edt1 0 Mz1  t  dt1 (z  t  t )02v 0E  Mz  1t  dt1v 0t  t1M v 0(t   ) 0E  Mt v 0   tE  M v 0(t   ) E  .ПоэтомуL5E  E  .Объединив оценки для L2 , L3 , L4 и L5 имеемW5.3E  M v0(t   ) E .Из оценок полученных для W5.1 , W5.2 и W5.3 вытекает (1.2.58).Итак, используя неравенства (1.2.5), (1.2.17), (1.2.26), (1.2.43) и (1.2.55),получим, чтоv C ( E ) M { v 0E  1f (1   )C 0 ,  ( E   )}.(1.2.67)Из (1.2.16), (1.2.18), (1.2.42), (1.2.44), (1.2.56) следует оценка для v (t ) в нормеC0 , ( E   ) , т.

Характеристики

Список файлов диссертации