Диссертация (1155072), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Воспользовавшись тождествомz1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 23  z1 (   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}] ( f (t   )  f (t )) ds ,0получаемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 23t E z 1(   ) A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}]( f (t   )  f (t )) ds E0 z 1(   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}]E E0 f (t   )  f (t )E  ds  Mz1  t 0 fC 0 ,  ( E   )M 1 z1   (t   )t 011min  2 ,(t    s)    (t   )  ds 2 z(ts)(t    s)  dsf( z  t    s) 2C 0 ,  ( E   )M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).ОтсюдаI 23E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Наконец, оценим интеграл I 22 .

Пусть z   . Преобразуем I 22 в видеt I 22A(t   )[U (t   , s )  exp{(t    s ) A(t   )}] ( f (t )  f ( s ))ds 0t A(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s ))ds  I 22.1  I 22.2 .0Оценим I 22.1 и I 22.2 в отдельности. Сначала получим оценку для интеграла I 22.1 . Всилу тождестваz 1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 22.1  z 1(   )t exp{ zA(t   )}A2 (t   )[U (t   , s)  exp{(t    s) A(t   )}] ( f (t )  f ( s )) ds ,0оценок (1.1.9) и (1.1.17) при   1 имеем, чтоz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 22.1E z 1(   ) exp{ zA(t   )} E E 52t A2 (t   )[U (t   , s)  exp{(t    s ) A(t   )}]f (t )  f ( s) E ds EE0 M 1  t (t    s )   2 f (t )  f ( s)E  ds 0 M1    t t(t    s)  2 fC 0 ,  ( E   )t M 1    t(t    s)  2 (t  s)  fC 0 ,  ( E   )ds 0ds  M (1   ) 1 1   t    1 fC 0 ,  ( E   )02  M (1 -  )(t  t ) f ,C0( E   )M 1 (1   )(t   )fC 0 ,  ( E   ).Отсюда следуетI 22.1E  M 1 (1   )(t   )fC 0 ,  ( E   ).Точно также оцениваем I 22.2 в E  .

Воспользовавшись тождествомz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 22.2  z1(   )t exp{ zA(t )}A2 (t )[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}] ( f (t )  f ( s )) ds ,0оценками (1.1.9) и (1.1.17) при   1, получаемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 22.2 z 1(   )Et exp{ zA(t )} E E A2 (t )[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]EEf (t )  f ( s) E ds 0 M1  t (t  s) 2f (t )  f ( s)E  ds  M1    t0t (t  s)  2 (t  s)  fC 0 ,  ( E   )0 M 1   t t (t  s) 2 fC 0 ,  ( E   )ds  M (1   ) 1 1   t    1 f02 M (1   )(t  t )f ,C0( E   )M 1 (1   )(t   )fC 0 ,  ( E   )Отсюда следует неравенствоI 22.2E  M 1 (1   )(t   )fC 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для интегралов I 22.1 и I 22.2 , получаемI 22E  M 1 (1   )(t   )fC 0 ,  ( E   )..C 0 ,  ( E   )ds 53Теперь докажем эту оценку для I 22 при z   .

Для этого преобразуем I 22 в видеt I 22 ( A(t   )[U (t   , s )  exp{(t    s ) A(t   )}]  A(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}]) 0 ( f (t )  f ( s ))ds t [ A(t ) exp{(t  s ) A(t )}  A(t   ) exp{(t    s ) A(t   )}] ( f (t )  f ( s ))ds 0t [ A(t   )U (t   ,0t [ A(t   )U (t   ,0tststs ts)  A(t )U (t ,)]exp{A()}( f (t )  f ( s ))ds 2222tstststs ts)  A(t )U (t ,)][U (, s )  exp{A()}]( f (t )  f ( s ))ds 22222 I 22.1  I 22.2  I 22.3 .Так как I 22.1   I 18 , справедлива оценкаI 22.1 I 18E  E  M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь оценим I 22.2 в норме E  :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 22.2t 0 A(M   1  tt 0t 0M1   t2   t  s   t s  2 f   1f (t )  f ( s)     1(t  s)  ds f  (t  s )t st 0 1(t  s) 2  (t  s)  t(1   ) 1 M 2  (1   )(t   ) EEt s 2    1t s 2 1  tsts ts) exp{A()}( f (t )  f ( s)) ds 222EMz 1  zM   1 z t z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} E E tst  s 1 t  s)  A(t )U (t ,)]A ()222[ A(t   )U (t   ,E ,C0 f( E   ) ,C0( E   )I 22.2 ds f2 M 1(t  t ) E  E  ds C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )   f  1 M 2  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).54Теперь оцениваем I 22.3 :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 22.3t A(t   )U (t   ,0M1   tt M1  z t z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} E E tsts)  A(t )U (t ,)22Mz 1   f (t )  f ( s) E ds zE0EE0t M1   t0 ,C0 f( E   ) ,C0( E   ) I 22.3t s 2  (t  s)  ds f 1(t  s) 2  (t  s)  t(1   ) 1 ftsts ts, s)  exp{A()}222EE 2 42 t  s (t  s) 1(t  s) 2  (t  s)M 2  (1   )(t   ) t U( ds f2 M 1(t  t ) E  f (t )  f ( s)C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )ds    f  1 M 2  (1   )(t   ) E  fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для I 22.1 , I 22.2 и I 22.3 ,получаем нужную оценку для I 22 .

Из оценокустановленных для I 20 , I 21 , I 22 и I 23 вытекает (1.2.11). Из (1.2.10) и (1.2.11) следуетоценкаgC 0 , ( E   )Mf (1   )C 0 ,  ( E   ).(1.2.13)Используя неравенства (1.2.11), (1.2.12), (1.2.10) и (1.2.11) получаем, чтоW1 (t )E  W1 (t   )  W1 (t )Mf (1   )E  C 0 ,  ( E   )M (1   )(t   ) , 0  t 1,fC 0 ,  ( E   )(1.2.14), 0  t  t    1.(1.2.15)Из (1.2.14) и (1.2.15) (или (1.2.6) и (1.2.13)) следуетW1C0 , ( E   )Mf (1   )C 0 ,  ( E   ).(1.2.16)Теперь установим аналогичные оценки и для W2 (t ) .

Сначала оценим W2 (t ) внорме C ( E  ) :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W2 (t )E55zt1(  )A2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)[ A( s)  A(t )]A 1 (t )EEf (t ) E ds E E0 Mz1(  )t011 min  2 ,(t  s)  ds f2  z (t  s) E   M1z1 t0(t  s )  ds( z  t  s) 2fC 0 ,  ( E   ).Пусть z  t , тогдаz 1 t0(t  s)  ds z 1 t 2( z  t  s)t01tds.2 1 1( z  t  s)Пусть теперь z  t , тогдаz1 t01(t  s)  ds  2z( z  t  s)t01tttds .  1 tz(t  s)Поэтому для любого z  0 справедливо неравенствоz1 t01(t  s)  ds.2 (1   )( z  t  s)Итак,z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}W2 (t )EM1f (1   )C 0 ,  ( E   ).ОтсюдаW2 (t )E  M1f (1   )M1f (1   )C 0 , ( E   ).Из последнего неравенства следуетW2C ( E   )C 0 ,  ( E   ).(1.2.17)Теперь оценим W2 (t ) в норме C0 , ( E  ) , т.

е. установим неравенствоW2C0 , ( E   ) M 1 (1   ) 1 fC 0 , ( E   ).(1.2.18)Для этого достаточно доказать, чтоW2 (t )E  W2 (t   )  W2 (t ) M 1 (1   ) 1 fE  C 0 ,  ( E   )M  (1   )(t   ) f, 0  t 1,C 0 ,  ( E   ), 0  t  t    1.Сначала установим (1.2.19):z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}W2 (t )E(1.2.19)(1.2.20)56z1(   )tA2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)[ A( s)  A(t )]A 1 (t )EEE Ef (t ) E ds 0 Mz1(   )11 min  2 ,(t  s)  ds f (t )2  z (t  s) t0 M 1 z 1  E  t0(t  s )  ds( z  t  s) 2fC 0 ,  ( E   ).Пусть, z  t , тогдаz 1  t0(t  s)  ds z 1 t 2( z  t  s)t0tds.( z  t  s) 2 1  При z  t получаемz1  t01(t  s)  ds  2z( z  t  s)t0tttds.(t  s)1 z    t   Поэтому для любого z  0z1  t0t(t  s)  ds.( z  t  s) 2  (1   )Итак, установили оценкуW2 (t )E  M 1t f (1   )C 0 , ( E   )(1.2.21).Из последнего неравенства, во-первых, вытекает (1.2.19), во-вторых, (1.2.20) приt   .

Действительно, в силу (1.2.21) имеемW2 (t   )  W2 (t )E   W2 (t   )2M 1 (t   )  (t   )  (1   )(t   ) E  f W2 (t )C 0 ,  ( E   )E  M1[(t   )   t  ] f (1   )M 2  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Теперь при t   оценим W2 (t   )  W2 (t ) . Перепишем эту разность в виде (1.1.40).Сперва оценим первое слагаемое I 6 равенство (1.1.40).

Воспользовавшисьтождествомz 1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 6 z1(   )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)[ A( s)  A(t   )]A1 (t   ) f (t   )ds ,tполучаемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I 6E z 1(   ) 57t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)t Mz 1(   )t tEE[ A( s)  A(t   )]A 1 (t   )E E11min  2 ,(t    s )  ds f (t   )2  z (t    s)  M1zt (t    s)  dsf( z  t    s) 21  t C 0 ,  ( E   )E  f (t   ) E ds .Пусть сначала z   , тогдаt z 1  t t (t    s)  ds z 1  2( z  t    s)t ds.( z  t    s) 2 1  Пусть теперь z   .

Тогда имеемzt 1  t 1(t    s)  ds  2z( z  t    s)t t (2 ) 2  ds.(t    s)1    Поэтому справедливо неравенствоz 1  t 2  (t  s)  ds.( z  t  s) 2  (1   )t Итак,I6E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Далее, в силу тождестваz1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 7  z 1(   )tA2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)[ A( s)  A(t )]A1 (t ) f (t )dstаналогично оценим I 7 :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I 7 z 1(   )tA2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)t Mz1(   )tt EE11 min  2 ,(t  s)  ds f (t )2  z (t  s) E[ A( s)  A(t )]A 1 (t )E   M1z1  tt E E(t  s)  ds( z  t  s) 2Пусть z   :z 1  tt При z   имеем(t  s)  ds z 1  2( z  t  s)tt f (t ) E ds ds.( z  t  s) 2 1  fC 0 ,  ( E   ).58zt1  t 1(t  s)  ds  2z( z  t  s)tt ds.(t  s)1    Поэтомуtz 1  t (t  s)  ds.( z  t  s) 2  (1   )Из выше установленныхI7E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Оценим теперь слагаемое I 5 в (1.1.40).

Преобразуя I 5 в виде (1.1.41),оцениваем Q1 , Q2 , Q3 и Q4 в отдельности. Сначала оценим Q3 . В силуz1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q3   z 1(  )t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)[ A(t )  A( s)]A1 (t ) ( f (t   )  f (t ))ds0получаемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}Q3t A2 (t   ) exp{ zA(t   )}U (t   , s)EEE z 1(   ) [ A(t )  A( s)]A 1 (t )E Ef (t   )  f (t ) E ds 0 Mz 1(   )t 0 M 1 (t   ) z1  11min  2 ,(t  s)  ds f (t   )  f (t )2  z (t    s) t 0(t  s)  dsf( z  t    s) 2C 0 ,  ( E   )M 1  (1   )(t   ) E  fC 0 ,  ( E   ).Итак, установили оценкуQ3E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь оценим Q1 .

Характеристики

Список файлов диссертации