Диссертация (1155072), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Теорема о разрешимости в пространстве C0 ([0,1], E  )Справедлива следующая теорема.Теорема1.3.v0  f (0)  A(0)v0  E  , f  C0 , ( E   )Пустьпринекоторых0          1 , 0    1. Тогда существует единственное решение задачи(1.1.1),A(t )v, v  C0 , ( E   ) ,причемиv  C ( E  )справедливонеравенствокоэрцитивностиv C  , ( E 0) A()vC0 , ( E  ) v C (E ) M  v0E 1f (1   )C0 , (E  )(1.2.1)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  , v 0 и f .Доказательство. Для доказательства теоремы нужно получить оценки функцийW1 (t ) , W2 (t ) , W3 (t ) , W4 (t ) и W5 (t ) в нормах C ( E  ) и C 0 , ( E   ) . Вначале оценим W1 (t )в C ( E  ) .

Для этого преобразуем W1 (t ) в видеtW1 (t ) A(t ) exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s )) ds 0tA(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s )) ds  q (t )  g (t ) ,(1.2.2)0гдеtq (t ) A(t ) exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s )) ds ,0tg (t ) A(t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s )) ds .0Сначала оценим q (t ) в C ( E  ) .

В силу (1.1.10) при   1 имеемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}q(t )E z 1 tA 2 (t ) exp{( z  t  s) A(t )}( f (t )  f ( s)) ds E0 Mz1 t0(t  s)  ds( z  t  s) 2   t fC 0 ,  ( E   ).Пусть z  t . Тогдаz 1 t0(t  s)  dsz 1- t( z  t  s) 2   t t0z 1- ds1 z1.   1-2 1  t 1(1 -  )t z( z  t  s)35Пусть теперь z  t , тогдаz1 t0(t  s)  ds1   2    t z( z  t  s)tt0t1ds   1t t( z  t  s)01ds .1(t  s)Поэтому для любого z  0tz 1 0(t  s)  ds1.2     (1   )( z  t  s)tИтак, для любого t  0 установили оценкуq(t ) M 1 (1   ) 1 fE C0 , ( E  ).Отсюда имеемqC ( E   ) M 1 (1   ) 1 fC0 , ( E   ).(1.2.3)Теперь оценим g (t ) в норме C ( E  ) .

Воспользовавшись оценками (1.1.9),(1.1.16) и (1.1.10), (1.1.17) при   1, получаемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}g (t )z1 EtA2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]( f (t )  f ( s)) ds E0z1 tA2 (t ) exp{ zA(t )}[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}]f (t )  f ( s)EEE  ds 0 Mz 1 t1 min z2,0 M1z1 1   (t  s ) (t  s) t ds f(t  s) 2 t0(t  s)  (t  s)  dsf( z  t  s) 2 t C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Пусть сначала z  t , тогдаz 1 t0(t  s)  (t  s)  ds z 12 ( z  t  s) tt0(t  s)  ds z 12( z  t  s)t01ds.2 1( z  t  s)Пусть теперь z  t , тогдаz1 t0(t  s)  (t  s)  ds z 1 ( z  t  s) 2 t t01(t  s)  ds   2 z t( z  t  s) tt0Поэтому для любого z  0 справедлива оценкаz 1 t0(t  s)  (t  s)  ds1.2  (1   )( z  t  s) tt  1ds . 1z(t  s)36Итак, установили, чтоE   M 1 1 (1   ) 1 fC0 , ( E   )C ( E   ) M 1 1 (1   ) 1 fC0 , ( E   )g (t ).Отсюда вытекаетg.(1.2.4)Из (1.2.3) и (1.2.4) следуетW1C ( E   )Mf (1   )C 0 ,  ( E   ).(1.2.5)Оценим теперь W1 (t ) в норме C 0 , ( E   ) .

Преобразуя W1 (t ) в виде (1.2.2),сначала оценим q (t ) в C 0 , ( E   ) , т.е. докажем неравенствоqC0 , ( E   )Mf (1   )C 0 ,  ( E   ).(1.2.6)Для этого установим оценкиq(t )q(t   )  q(t )E  Mf (1   )E  C 0 ,  ( E   )M  (1   )(t   ) f, 0  t 1,C 0 ,  ( E   )(1.2.7), 0  t  t    1.(1.2.8)Воспользовавшись тождествомz1 (   )tA(t ) exp{ zA(t )}q(t ) z1 (   )A 2 (t ) exp{(t  s  z ) A(t )} ( f (t )  f ( s )) ds0и неравенством (1.1.10) при   1, получим, чтоz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}q(t ) M z 1  Et0(t  s)  ds( z  t  s) 2   t fC 0 ,  ( E   ).Пусть z  t , тогдаz1  t0(t  s)  dsz 1-  t( z  t  s) 2   t t0z 1-  zt  ds.(1 -  )t  z 1-(1   )t  1  ( z  t  s) 2При z  t имеемz 1  t0(t  s)  ds1   2    t z( z  t  s)tПоэтому для любого z  0t01ds   1t t( z  t  s)t0t  ds.(t  s)137z1  t0(t  s)  dst  .( z  t  s) 2   t   (1   )Итак,q(t )E   M 1 (1   ) 1 t   fC 0 ,  ( E   ).(1.2.9)Отсюда, во-первых, следует (1.2.7), во-вторых, (1.2.8) при t   .

Действительно, всилу (1.2.9) и неравенства треугольника имеемq(t   )  q(t )E   q(t   ) M 1 (1   ) 1 [(t   )    t   ] f ,C0E  ( E   ) q(t )E  M  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).При t   разобьѐм q (t   )  q (t ) в виде суммы следующих интеграловq (t   )  q (t ) t A(t   ) exp{(t    s ) A(t   )} ( f (t   )  f ( s )) ds t tA(t ) exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s )) ds t t [ A(t   ) exp{(t    s ) A(t   )}  A(t ) exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s )) ds 0t A(t   ) exp{(t    s ) A(t   )} ds ( f (t   )  f (t ))  I 16  I 17  I 18  I 19 .0Оценим I16 , I17 , I18 и I19 в отдельности.

Воспользовавшись тождествомz1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I16 t z 1(   ) A 2 (t   ) exp{( z  t    s) A(t   )} ( f (t   )  f ( s )) ds ,tоценим I16 в E  :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I16 Mz1  t t E Mz1  ds( z  t    s) 2 (t   ) t t f(t    s)  ds( z  t    s) 2   (t   ) C 0 ,  ( E   )M 1 z  (1   )(t   )   M1z (1   )(t   )ffC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ).Если z   , то тогда для I16 получаем нужную оценку.

Если z   , тогда38z1(   )A(t   ) exp{ zA(t   )}I16t M  -tEM  -zds(t    s)1 (t   ) ft z (t    s)  ds( z  t    s) 2   (t   ) t C 0 ,  ( E   )M 1  (t   ) ffC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Итак,I 16E  M 1  (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Аналогично получаем оценку для I17I 17E  M 1  (1   )t fC 0 ,  ( E   ).Отсюда при t   имеем, чтоI 17E  M 1 2   (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Оценим теперь интеграл I19 . Так какI 19  [exp{2A(t   )}  exp{(t   ) A(t   )}] ( f (t   )  f (t )) ,тогдаI 19 exp{2A(t   )} E E  exp{(t   ) A(t   )} E EE  M 1 (t   ) fC 0 ,  ( E   )f (t   )  f (t )E  .При t   разобьѐм I18 в виде суммы следующих интегралов:t I 18 A(t )[exp{(t    s ) A(t )}  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s ))ds 0t [exp{A(t   )}  exp{A(t )}] A(t ) exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s ))ds 0t exp{A(t   )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t  s ) A(t )} ( f (t )  f ( s ))ds 0t A(t   ) exp{A(t   )} [exp{(t  s ) A(t   )}  exp{(t  s ) A(t )}] ( f (t )  f ( s ))ds 0 I 18.1  I 18.2  I 18.3  I 18.4 .Сначала оценим I18.1 .

Воспользовавшись тождеством391 (   )zA(t ) exp{ zA(t )}I18.1   zt  t  s  1 (   )A3 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )}dt1 ( f (t )  f ( s ))dst s0и (1.1.10), при z   имеемz1(   )A(t ) exp{ zA(t )}I18.1Mz 1   tt ds( z  t  s) 30M     1  tzEf ,C01 f ,C0t  t  s Mz 1  t( E   )( E   )M 1 t(t  s )  dt1 dsf( z  t1 ) 3   t s0fMz1   t  (2   )(z   ) 2fC0( E   )M 2 (t   ) ft (t  s)  ds( z  t  s) 2  f ,C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Пусть теперь z   , тогдаz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}I18.1Mz 1  tt 0ds( z  t  s) 2f ,C0( E   )EMz 1  tM 1 (1   )t 0z  f ,C0( E   )C 0 ,  ( E   )M 2 (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )Тем самым получаемI 18.1E  M 2 (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь оценим I18.2 .

При z   в силу (1.1.10) и (1.1.12) имеемz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I18.2t E z 1(  ) A(t   ) exp{ zA(t   )} E E exp{A(t   )}  exp{A(t )} E E (t  s )    1 f (t )  f ( s)E  ds 0 Mz1  t 0  (t  s)  dsz (t  s)1  tM  t   -  t ff ,C0C 0 ,  ( E   )( E   )M   - z tM 1  (t   ) t 0fds(t  s)1C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ).Пусть теперь z   . Преобразуем разность exp{A(t   )}  exp{A(t )} в видеexp{A(t   )}  exp{A(t )}  exp{t A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t ) A(t )}dt1102 exp{t A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t ) A(t )}dt10111.40 exp{t A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t ) A(t )}dt .1112Интегрируя первый интеграл по частям2 exp{t A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t ) A(t )}dt1110  A (t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t1 ) A(t )}12A120(t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(  t1 ) A(t )}dt1 0  A 1 (t   ) exp{2A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{2A(t )}  A 1 (t   ) [ A(t )  A(t   )] exp{A(t )} 2A1(t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(  t1 ) A(t )}dt1 ,0получим тождествоI 18.2   A 1 (t   ) t exp{0t 2A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{2A(t )} A(t ) exp{(t  s ) A(t )}( f (t )  f ( s ))ds A 1 (t   )[ A(t )  A(t   )] exp{A(t )}A(t ) exp{(t  s) A(t )}( f (t )  f ( s))ds 0t 200 { A1(t   ) exp{t1 A(t   )} [ A(t )  A(t   )] A(t ) exp{(  t1 ) A(t )}dt1 }  A(t ) exp{(t  s ) A(t )}( f (t )  f ( s ))ds t  {  exp{t A(t   )} [ A(t )  A(t   )] exp{(  t ) A(t )}dt } 11102 A(t ) exp{(t  s ) A(t )}( f (t )  f ( s ))ds  T1  T2  T3  T4 .Оценим T1 , T2 , T3 и T4 в отдельности в норме E  :41z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}T1t [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E E(t 0t (t  s)  ds(t   s)20f2    ,C02( E   )E z 1(   ) exp{( z  ) A(t   )}2E E s )     2 f (t )  f ( s)t M 1    tE  ds(t 0M 1    ds tf s)22 C 0 ,  ( E   )12M    1    3    1(1   )t  T1fE  M 1 (1   )(t   ) C 0 ,  ( E   )M 1 (1   )(t   ) fz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}T2t exp{ zA(t   )} E E [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E Ef,C 0 ,  ( E   )EC 0 ,  ( E   ) z 1(   ) (t    s)    2 f (t )  f ( s)E  ds 0M 1    tt (t  s )  ds(t    s ) 2   fM 1    (1   )21 t   1f0 T2E  M 1    tC 0 ,  ( E   ) ,C0( E   )t ds(t    s) 20M 1 (1   )(t   ) M 1 (1   )(t   ) fz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}T3fC 0 ,  ( E   )EC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ), z 1(   ) t  2 0exp{( z  t1 ) A(t   )} E E [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E EA(t ) exp{(  t1 ) A(t )} E E 0 (t  s)   2 f (t )  f ( s)M 1    tt M 1 (1   )(t   ) 0E  dt1ds M1  tds(t  s) 2ff T3 ,C0( E   )t  2  (  t )(t  s)0C 0 ,  ( E   )E  (t  s)  dt1 ds0M 1    (1   )t   1fM 1 (1   )(t   ) z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}T42   fC 0 ,  ( E   )1E z 1(   ) C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ),42t   A(t   ) exp{( z  t1 ) A(t   )} E E [ A(t )  A(t   )]A 1 (t )E E02 exp{(  t1 ) A(t )} E E (t  s)   2 f (t )  f ( s)Mz 1    tt  (t  s)  dt1 ds  ( z  t )(t  s)0f2   E  dt1 ds C 0 ,  ( E   )12Mz 1    ( z  )t22t ds(t  s) 20z 1  M z (1   )t  T4ff ,C0 ,C0E  ( E   )( E   )Mz 1 z    (1   )( z   )t   1M 1 (1   )(t   ) M 1 (1   )(t   ) ffC 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для T1 , T2 , T3 и T4 , получим, чтоI 18.2E  M 1 (1   )(t   ) fC 0 ,  ( E   )Далее, оценим I18.3 в норме E  :z 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}I18.3t E[ A(t   )  A(t )]A 1 (t ) z 1(   ) A(t   ) exp{( z   ) A(t   )} E E E E(t  s )    1 f (t )  f ( s)E  ds 0Mz1    t  (z   )M  t     t ft 0(t  s)  dsf(t  s)1  C 0 ,  ( E   )M  (t   ) C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   )M t  t 0 I 18.3ds(t  s)1E  fC 0 ,  ( E   )M  (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Теперь перейдѐм к оцениванию I18.4 в норме E  .

Характеристики

Список файлов диссертации