Диссертация (1155072), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Главные из них:1) доказана коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для абстрактногопараболического уравнения с линейным неограниченным оператором,порождающим аналитическую полугруппу, в банаховых пространствахC0 , ( E ) , C0 , ( E   ) и C  ( E ) , таким образом, получены более сильныекоэрцитивные оценки для решения этой задачи;2) доказана коэрцитивная разрешимость нелокальных задач (2), (3) вбанаховых пространствах C0 , ( E) , C0 , ( E  ) , C  ( E ) и C0 , ( E) , причѐмкоэрцитивные неравенства для решений этих задач доказываются на основекоэрцитивных неравенств, полученных для решения задачи Коши;83) установленные результаты позволили получить точные оценки типаШаудера в гѐльдеровых нормах для решений разных нелокальных краевыхзадач параболического типа.Теоретическая значимость.

Результаты диссертационной работы могут бытьиспользованы в исследованиях по теории линейных дифференциальныхуравнений в банаховых пространствах, спектральному анализу, полугрупплинейных операторов и в специальных курсах для студентов, аспирантов,научных работников математических специальностей.Объем и структура диссертации. Работа изложена на 145 страницах исостоит из введения, трѐх глав и списка литературы из 79 наименований.Краткое содержание диссертации.Первая глава “Задача Коши для параболических дифференциальныхуравнений с переменным оператором”.В разделе 1.1 изучается коэрцитивная разрешимость задачи (1) в пространствах C0 , ( E) и C  ( E ) в предположениях выполнения условия Гѐльдера с показателем 0    1 для оператора A(t ) A 1 ( ) по t в норме E .Обозначим через E  E , ( A(t ), E) (0    1) дробные пространства с нормойuE sup z1 A(t ) exp{ zA(t )}uz 0 uEE,состоящие из всех элементов u  E , для которых эта норма конечна (см.

[44]).В уравнении (1) v(t ) и f (t ) искомая и заданная функции, определенные на [0,1]со значениями в E ; v0  D . При выполнении условий:1) для любых t  [0,1] и   ℂ с Re   0 оператор A(t )  I имеет ограниченныйобратный, причем[ A(t )  I ] 1 M 1   1E E(согласно [21], оператор A(t ) принято называть сильно позитивным);2) для любых t , s,   [0,1] справедливо неравенство[ A(t )  A(s)] A1 ( )E E M t  s ,0    1 ,для единственного непрерывно дифференцируемого решения9tv(t )  U (t ,0)v0   U (t , s) f ( s)ds0задачи (1), где U (t , s ) определяемой из соотношенияtU (t , s)  exp{(t  s) A(t )}   exp{(t  t1 ) A(t )}[ A(t )  A(t1 )]U (t1 , s)dt1sилиtU (t , s)  exp{(t  s) A( s)}   U (t , t1 )[ A( s)  A(t1 )]exp{(t1  s) A( s)}dt1 ,sдоказывается следующая теорема.Теорема 1. Пусть v0  f (0)  A(0)v0  E  , f  C0 , ( E) при некоторых 0        1 ,0    1 .

Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в C0 , ( E ) и для еѐ единствен-ного решения v(t ) справедлива оценкаv C  , ( E )  A()v0C0 , ( E ) v C ( E ) 1Mv0 E 1f (1   )C0 , ( E )(4)с постоянной M , не зависящей от  ,  , v0 и f .Эта теорема доказывается с помощью известных оценок аналитическойполугруппы и вспомогательных лемм. Отметим, что при    и   0 отсюдаследует теорема о коэрцитивной разрешимости задачи (1) в пространствеГѐльдера C  ( E ) .В разделе 1.2 исследуется коэрцитивность задачи (1) в банаховом пространствеC0 , ( E   ) и доказывается следующее утверждение.Теорема2.v0  f (0)  A(0)v0  E  ,Пустьf  C0 , ( E   )принекоторых0          1 , 0    1.

Тогда задача (1) имеет единственное решение, причѐмA(t )v, v  C0 , ( E   ) , v  C ( E  ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E0  A()v) ,C0( E  v C ( E) ) M  v0E 1f (1   ) ,C0( E  ) (5)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  , v0 и f .Эта теорема тоже доказывается с помощью свойств аналитической полугруппыи эволюционной оператор-функции.10В разделе 1.3 приводятся применения доказанных теорем.

Рассматриваютсятри задачи для дифференциальных уравнений с частными производнымипараболического типа.Вторая глава “Нелокальная задача с постоянным оператором”.В разделе 2.1 в банаховом пространстве C0 , ( E) изучается коэрцитивнаяразрешимость нелокальной задачи (2), т.

е. при любом   D ( A) доказываетсянеравенство коэцитивности для решения этой задачи.Задача (2) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решениеt00v(t )  exp{tA}( I  exp{A}) 1{   exp{(  s) A} f ( s)ds}   exp{(t  s) A} f ( s)ds ,для которого справедлив следующий результат.Теорема 3.

Предположим, что A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E) при некоторых0   ,0    1.Тогда для единственного решения задачи (2) имеемAv, v  C0 , ( E ) , v  C ( E  ) и выполнено неравенствоv C  , ( E )  Av0C0 , ( E ) v C ( E  ) 1MA  f ( )  f (0) E 1f (1   )C0 , ( E ),где M не зависит от  ,  ,  и f .В конце первой части второй главы излагается несколько следствий этойтеоремы.Далее, в разделе 2.2 исследуется коэрцитивная разрешимость нелокальнойзадачи (2) в пространстве C0 , ( E  ) .

Доказывается следующее утверждение.Теорема 4. Пусть A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E  ) при некоторых 0       ,0    1. Тогда существует такое единственное решение задачи (2), чтоAv, v  C0 , ( E   ) , v  C ( E  ) и имеет место неравенство коэрцитивностиv C  , ( E0 ) AvC0 , ( E  ) v C ( E )M A  f ( )  f (0)E   1 (1   ) 1 fC0 , ( E  )(6)с M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f .В разделе 2.3 в гѐльдеровых пространствах C  ( E ) и C0 , ( E) устанавливаетсякоэрцитивная разрешимость нелокальной задачи (2).11В разделе 2.4 приводим применения доказанных теорем.

Рассматриваютсяприложения в классе параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованием пространственных переменных и параболических уравнений с нелокальными условиями на границе области. Таким образом, охваченслучай параболического уравнения с нелокальными условиями как по времени,так и по пространственным переменным.Третья глава “Нелокальная задача с переменным оператором”.В разделе 3.1 в банаховом пространстве C0 , ( E) изучается коэрцитивнаяразрешимость нелокальной задачи (3) и для еѐ единственного непрерывнодифференцируемого решенияv(t )  v(t ,0)(I  v( ,0)) { 1t00 v( , s) f (s)ds}   v(t , s) f ( s)dsдоказывается следующее утверждение.Теорема5.ПустьA(0)  f ( )  f (0)  E  ,f  C0 , ( E )принекоторых0        1 , 0    1 .

Тогда задача (3) коэрцитивно разрешима в C0 , ( E ) и дляеѐ единственного решения v(t ) справедлива оценкаv C  , ( E )  A()v0C0 , ( E ) v C ( E ) 1MA(0)  f ( )  f (0) E 1f (1   )C0 , ( E ),(7)где M не зависит от  ,  ,  и f .Коэрцитивное неравенство (7) доказывается с помощью коэрцитивногонеравенства (4), полученного для решения задачи Коши (1) в первой главе. Длядоказательства достаточно в правой части неравенства (4) оценить v 0 в нормеE   . Далее приводятся следствия этой теоремы.В конце этой части доказывается следующая теорема.Теорема 6. Предположим, что A(0)  f ( )  f (0)  E0 , , f  C0 , ( E) при некоторых0     , 0      1 .

Тогда для единственного решения v(t ) задачи (3) в C0 , ( E )справедливо неравенство коэрцитивности1 ,v C  , ( E )  A()v C  , ( E )  M  A(0)  f ( )  f (0) 0 f00 (1   )C0 , ( E )12с M , не зависящей от  ,  ,  и f . Здесь E0 , – банахово пространство,состоящее из всех элементов w E таких, что конечна норма ,w 0  max e zA(t ) w  sup    ( z   ) (e( z ) A(t )  e zA(t ) ) w .0 z 1EE0 z z  1В разделе 3.2 в банаховом пространстве C0 , ( E  ) исследуется коэрцитивностьнелокальной краевой задачи (3) и доказывается следующее утверждение.Теорема7.A(0)  f ( )  f (0)  E  ,Пустьf  C0 , ( E   )принекоторых0          1 , 0    1.

Тогда существует единственное решение задачи (3),причем A(t )v, v  C0 , ( E  ) , v  C ( E  ) и выполняется оценкаv C  , ( E0 ) A()vC0 , ( E  ) v C ( E ) M  A(0)   f ( )  f (0)E 1f (1   )C0 , ( E  )(8)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f .Заметим, что пространства гладких функций C0 , ( E  ) , где установленакоэрцитивная разрешимость задачи (1), (2) и (3), зависят от параметров  ,  ,  .Однако, неравенства коэрцитивности (5), (6) и (8) зависят только от параметра  .Поэтому можно выбрать параметры  ,  свободными, что существенно расширяет число функциональных пространств, где эти задачи коэрцитивно разрешимы.В разделе 3.3 доказывается коэрцитивная разрешимость нелокальной задачи(3) в гѐльдеровых пространствах C  ( E ) и C0 , ( E) .В разделе 3.4 приводятся применения доказанных теорем третьей главы.

Как ив первой главе, рассматриваются несколько задач для параболических уравнений.Основные положения, выносимые на защиту.1) Исследование коэрцитивной разрешимости задачи Коши для абстрактныхпараболических дифференциальных уравнений с переменным оператором;2) Исследованиекоэрцитивнойразрешимостинелокальныхзадачдлязадачдляпараболических уравнений с постоянным оператором;3) Исследованиекоэрцитивнойразрешимостинелокальныхабстрактных параболических дифференциальных уравнений с переменнымоператором;134) Применения полученных абстрактных результатов в разных задачах дляпараболических уравнений.Апробацияработы.Различныерезультатыиразделыдиссертациидокладывались: на международных научных конференциях (г.Ашхабад, ТИНХ, 24-26 апреля1995 г., “Проблемы математики и моделирования экономики Туркменистана”; г.

Ашхабад, ТПИ, 22-23 ноября 1996 г.,“Молодѐжь и научнотехнический прогресс-96”; г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 11-12декабря 1996 г., “Независимый Нейтральный Туркменистан: горизонтымолодѐжной науки”; Ardebil, Iran, August 1-4, 1999 Mohaghegh ArdebiliUniversity, 30th Iranian International Conference on Mathematics; г. Ашхабад,16-17 мая 2009 г., 5th Fulbright Conference, “Энергетика и альтернативныеисточники энергии”; г. Воронеж, ВГУ, 3-9 мая 2016 г., “Понтрягинскиечтения – XXVII” в рамках Воронежской весенней математической школы“Современные методы теории краевых задач“); нанаучно-практических конференциях молодых ученых (г.

Ашхабад,ТГУ имени Махтумкули, 2-4 ноября 1994 г. “Молодые ученые независимогоТуркменистана и научно-технический прогресс”; г. Ашхабад, ТГИК, 18-19октября 1995 г., “Насущные задачи туркменской национальной культуры”;г. Ашхабад, ТСХИ, 29-30 ноября 1995 г., “Молодые ученые Туркменистанаи новые направления научных исследований”; г. Ашхабад, ТГУ имениМахтумкули, 9 июня 2008 г., “В эпоху нового Возрождения и великихпреобразований задачи физико-математических наук”); на научных семинарах (г. Ашхабад, ТПИ, 1998 г., Моделирование процессовразработки газовых месторождений и прикладные задачи теоретическойгазогидродинамики; г.Москва, кафедра прикладной математики факультетафизико-математических и естественных наук РУДН, 15 декабря 2015 г.,1марта2016г.,подифференциальнымифункционально-дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессораА.

Характеристики

Список файлов диссертации