Диссертация (1155072), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Л. Скубачевского; г. Москва, кафедра математического моделирования14НИУ “МЭИ”, 19 октября 2016 г., по дифференциальным уравнениям подруководством д.ф.-м.н., профессора А. А. Амосова и д.ф.-м.н., профессораЮ. А. Дубинского; г. Москва, кафедра математического анализа механикоматематического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, 23 ноября2016 г., по спектральной теории дифференциальных операторов подруководством д.ф.-м.н., профессора В. В. Власова; г. Москва, кафедраматематической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова,24 ноября 2016 г., по неклассическим задачам математической физики подруководством д.ф.-м.н., профессора И.

В. Тихонова; г. Воронеж, кафедраалгебры и топологических методов анализа математического факультетаВГУ, 21 декабря 2016 г., по математическим проблемам гидродинамики подруководством д.ф.-м.н., профессора В.Г.Звягина); на конкурсах научных работ среди молодых ученых Туркменистана, прово-димых Центральным советом Молодѐжной организации Туркменистанаимени Махтумкули совместно с Академией наук Туркменистана всоответствии с Постановлением Президента Туркменистана (г.Ашхабад,2004 г., 2009 г.)1.Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 20 печатныхработах (см. [1, 8-12, 31, 50-58, 67-70]), из них 6 работы в изданиях, входящих вперечень ВАК Министерства образования и науки РФ (см.[31, 57, 58, 68-70]).Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.Утверждения в диссертации, если специально не указано, принадлежат автору.1Автор этой диссертации в 2003 году стал лауреатом Молодѐжной премии Туркменистана.

Дважды являлсяпобедителем ежегодного конкурса научных работ среди молодых ученых Туркменистана и получил призыпрезидентов Туркменистана (2004 г. – первое место, 2009 г. – первое место).15Глава 1Задача Коши для параболических дифференциальныхуравнений с переменным оператором ,1.1. Постановка задачи. Разрешимость в C0 ([0,1], E) и C ([0,1], E )Рассмотрим задачу Кошиv (t )  A(t )v(t )  f (t )(0  t  1),v(0)  v 0(1.1.1)в произвольном банаховом пространстве E . Здесь v(t ) и f (t ) искомая и заданнаяфункции,определенные на [0,1] со значениями в E ; v (t ) –производная, понимаемаякак предел по норме E соответствующего конечно-разностного отношения; A(t ) действующий в E линейный неограниченный, сильно позитивный оператор,имеющий независящую от t , всюду плотную в E область определения D  D( A(t )) ,порождающий аналитическую полугруппу exp{ sA(t )} ( s  0) ; v0  D .

К такой задачемогут быть сведены различные краевые задачи для эволюционных уравнений вчастных производных (см.[22]). Вопросы корректности прямых и обратных задачдля эволюционного уравнения с неоднородным слагаемым специального видарассматривались в работе [48].В этом разделе устанавливается оценка коэрцитивности в норме пространствеГѐльдера для решения задачи Коши в предположениях выполнения условияГѐльдера с показателем 0    1 для оператора A(t ) A 1 ( ) по t в норме E .Таким образом, будем предпологать, что1) оператор A(t ) сильно позитивный, т. е.

при любых t  [0,1] и   ℂ с Re   0оператор A(t )  I имеет ограниченный обратный, причем[ A(t )  I ] 1 M 1   1E E2) для t , s,   [0,1] справедливо неравенство(1.1.2)16[ A(t )  A(s)]A 1 ( )E E M t  s ,0    1.(1.1.3)Функцию v(t ) назовем решением задачи (1.1.1), если выполнены следующиеусловия:1) функция v(t ) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1];2) элемент v(t ) принадлежит D  D( A(t )) при каждом t  [0,1] и A(t )v(t ) непрерывна на [0,1];3) функция v(t ) удовлетворяет уравнению и начальному условию (1.1.1)(см.[22, 72]).Задача (1.1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решениеv(t ) при определенных ограничениях на v0 , достаточно гладких данных f (t ) , а дляеѐ решения справедлива формулаtv(t )  U (t ,0)v0   U (t , s ) f ( s )ds ,(1.1.4)0где U (t , s)  фундаментальное решения уравнения (1.1.1), называемое такжеэволюционной оператор-функцией (см.

[17, 20, 22, 42, 72, 77]). Она определяетсяиз соотношенияtU (t , s )  exp{(t  s) A(t )}   exp{(t  t1 ) A(t )}[ A(t )  A(t1 )]U (t1 , s)dt1(1.1.5)sилиtU (t , s )  exp{(t  s) A( s)}   U (t , t1 )[ A( s)  A(t1 )] exp{(t1  s) A( s)}dt1 .(1.1.6)sи удовлетворяет следующим условиям:1) оператор U (t , s ) сильно непрерывен по t и s (0  s  t  1) ;2) U (t , s)  U (t , )U ( , s) , U (t , t )  I , 0  s    t  1;3) оператор U (t , s ) отображает область D  D( A(t )) в себя, операторV (t , s)  A(t )U (t , s ) A1 ( s) ограничен, сильно непрерывен по t и s (0  s  t  1) ;4) на области D оператор U (t , s ) сильно дифференцируем по t и s , причемU (t , s )U (t , s )  A(t )U (t , s ) , U (t , s ) A( s ) .ts17Определение: Говорят, что задача (1.1.1) коэрцитивно разрешима в некоторомбанаховом пространстве F ( E )  F ([0,1], E ) функций f (t ) со значениями в E на[0,1], если для всяких f  F ( E ) , v0  D существует единственное решение задачи(1.1.1), причем v и A(t )v принадлежат тому же пространству F ( E ) (см.

[23]).Всюду далее для краткости коэрцитивную разрешимость будем простоназывать разрешимостью.Исследуемразрешимостьзадачи(1.1.1)вбанаховомпространствеC0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0     ,0    1) , полученном замыканием множества всехгладких функций f (t ) , определенных на отрезке [0,1] со значениями в E , длякоторых конечная нормаf ,C0(E) fC(E)f (t   )  f (t ) sup0t t  1E(t   )  .(1.1.7)Здесь под C ( E )  C ([0,1], E ) понимается банахово пространство определенных на[0,1] со значениями в E непрерывных функций f (t ) с нормойfC(E) max f (t ) E .0  t 1Обозначим через Et  Et , ( A(t ), E ) (0    1) дробные пространства с нормойuEt sup z 1 A(t ) exp{ zA(t )}uz 0E uE,(1.1.8)состоящие из всех элементов u  E , для которых эта норма конечна.Из результатов работы [44] следует, что пространство Et не зависит от t всилу предположения D( A(t ))  D , т. е., что uEtэквивалентна uEsпри любыхt , s  [0,1] .

В дальнейшем пространство Et обозначается просто E  .Известно, что для аналитической полугруппы справедливы оценки [42,72]:exp{(t  s) A(t )} E E  M exp{ (t  s)},A1 (t ) exp{(t  s) A(t )}z1 A1 (t ) exp{ zA(t )}E EE Et  s , M  0,  0 ,(1.1.9)M, 0    1,(t  s)1(1.1.10) M , z  0, 0    1,(1.1.11)exp{(t    s) A(t   )}  exp{(t    s) A(t )} E E  M  , 0    1 .Как показано в [42,72], для U (t , s ) справедливы следующие леммы:(1.1.12)18Лемма 1.1. Для любых 0  s  t  1, 0    1, 0    1 верны оценкиU (t , s)E E M,(1.1.13)A1 (t )U (t , s) A1 ( s )A1 (t )U (t , s )E EE EM,(t  s)(1.1.14)M,(t  s)1(1.1.15)U (t , s)  exp{(t  s) A(t )} EE  M (t  s) ,A1 (t )[U (t , s )  exp{(t  s ) A(t )}]EEA1 (t )[U (t , s)  exp{(t  s) A(t )}] A1 ( s)(1.1.16)M,(t  s )1 E E(1.1.17) M (t  s)  ,(1.1.18)где M не зависит от t, s,  и  .Лемма 1.2.

Для любых 0  s  t  t   1 , 0    1 и 0    1 справедливы оценкиU (t   , s)  U (t , s)E E M ,A(t   )U (t   , s )  A(t )U (t , s )(1.1.19)EEM,tsA(t   )U (t   , s) A1 ( s)  A(t )U (t , s) A1 ( s)где     (t  s )(1.1.20)EE M ,(1.1.21)и M не зависит от t, s, ,  и  .Приведем одно тождество для v (t ) :tv (t )   A(t )U (t , s)( f (t )  f ( s ))ds 0t A(t )U (t , s)[ A(s)  A(t )]A1(t ) f (t )ds 0 A(t )U (t ,0) A1 (0)( f (t )  f (0))  A(t )U (t ,0) A1 (0)[ A(0)  A(t )]A1 (t ) f (t )  A(t )U (t ,0) A1 (0)v0  W1 (t )  W2 (t )  W3 (t )  W4 (t )  W5 (t ) ,(1.1.22)гдеtW1 (t )   A(t )U (t , s)( f (t )  f ( s))ds ,(1.1.23)0tW2 (t )   A(t )U (t , s )[ A( s )  A(t )]A1 (t ) f (t )ds ,(1.1.24)0W3 (t )  A(t )U (t ,0) A1 (0)( f (t )  f (0)) ,(1.1.25)W4 (t )  A(t )U (t ,0) A1 (0)[ A(0)  A(t )]A1 (t ) f (t ) ,(1.1.26)19 v0 W5 (t )  A(t )U (t ,0) A1 (0)v0f (0)  A(0)v0  .(1.1.27)Справедлива следующая теорема.Теорема1.1.v0  f (0)  A(0)v0  E  ,Пустьf  C0 , ( E )принекоторых0        1 , 0    1 .

Тогда задача (1.1.1) разрешима в C0 , ( E ) и для еѐединственного решения v(t ) справедливо неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  A()v0C0 , ( E ) 1Mv0  v C ( E  )E 1f (1   )C0 , ( E )(1.1.28)с постоянной M , не зависящей от  ,  , v 0 и f .Доказательсто. Для доказательста нужно получить оценки функций W1 (t ) , W2 (t ) ,W3 (t ) , W4 (t ) и W5 (t ) в нормах C ( E   ) и C0 , ( E) . Сначала оценим W1 (t ) в C ( E   ) :z1 (   )A(t ) exp{ zA(t )}W1 (t )Ez1  tA2 (t ) exp{ zA(t )}U (t , s)E Ef (t )  f ( s) E ds 0t11  Mz1    min  2 ,(t  s)  t  ds f2z(ts)0(t  s)  dsf( z  t  s)2 t 0t ,C0 M 1 z1   (E)C0 , ( E ).Пусть сначала z  t , тогдаz1  (t  s)  dsds11 0 ( z  t  s)2 t   z 0 ( z  t  s)2  1   .ttПусть теперь z  t , тогдаz 1   t01(t  s)  ds   2 z t( z  t  s) tt01dst   .1  (t  s)zПоэтому для любого z  0z 1  t0(t  s )  ds1.2  (1   )( z  t  s) tИтак, установили оценкуE  M 1  1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E )C ( E  ) M 1  1 (1   ) 1 fC0 ,  ( E )W1 (t ).Отсюда имеемW1.(1.1.29)Теперь оценим W1 (t ) в C0 , ( E) .

Для этого установим оценкиW1 (t )E M 1 fC0 ,  ( E ), 0  t 1,(1.1.30)20W1 (t   )  W1 (t )EM  (1   )(t   ) fC0 ,  ( E ), 0  t  t    1.(1.1.31)В силу (1.1.15) при   0 получаемtW1 (t )EtA(t )U (t , s)f (t )  f ( s) E ds  ME E0ds(t  s)1  t 0fC0 ,  ( E ) M 1t   fC0 ,  ( E ).Итак, для любого 0  t  1 получена оценкаW1 (t )E M 1t   fC0 ,  ( E ).(1.1.32)Из последнего неравенства, во-первых, следует (1.1.30), во-вторых, (1.1.31) приt   . Действительно, в силу (1.1.32) и неравенства треугольника имеемW1 (t   )  W1 (t )E W1 (t   ) 2M 1 (t   )   fE W1 (t )C  , ( E )0EM 21    (t   )  M 1 [(t   )    t   ] ffC  , ( E )0M 1  (t   ) fC0 ,  ( E ).C0 ,  ( E )Пусть теперь t   .

Характеристики

Список файлов диссертации