Диссертация (1155072), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Используя формулы (1.2.32), (1.2.33), (1.2.34), преобразуемI 13.4 :I 13.4  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}][ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t ) 11  A 1 (t ) exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{ (t   ) A(t   )} [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t ) 2279 A 1 (t ) [ A(t   )  A(t )] exp{(t   ) A(t   )} [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t ) t 2A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 0 [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t )  exp{(t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t ) 11 exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{ (t   ) A(t   )} [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t ) 22t A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}dt1 t2 [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t )  S1  S 2  S 3  S 4  S 5  S 6 .(1.2.49)Каждое слагаемое (1.2.49) оценим в отдельности:z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}S1 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )1 [ A(0)  A(t )]A (0)f (t )E EE S1E1 z 1(   ) exp{( z  (t   )) A(t )}2E E1A(t   ) exp{ (t   ) A(t   )}2E EE EM 1     t 1(t   )2E  M 1 (t   )z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}S 2 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) f (t )EM 1    t E Ef (t )Ef (t )f z 1  E  C 0 ,  ( E   )fC 0 ,  ( E   ),A(t   ) exp{(t   ) A(t   )} E E [ A(0)  A(t )]A 1 (0)E  M 1 (t   ) z 1(   ) exp{ zA(t )} E E fC 0 ,  ( E   S2)z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}S 3t 2M 1 (t   )EE  M 1 (t   )fC 0 ,  ( E   )exp{( z  t1 ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E E0 A2 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )} E E [ A(0)  A(t )]A 1 (0)E Ef (t )EE Edt1 ,80 M 1     t t 2dt1f (t )(t    t1 ) 20M 1 (t   )fC 0 ,  ( E  E   S3)z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}S 4EE  2M 1   t   t M 1 (t   )ffC 0 ,  ( E   )E EM (t   ) ff (t )M 1     t t EC 0 ,  ( E   )S4z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}S 5EE  f (t )E  M (t   ) fC0( E   )M 1 (t   ) fz 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}S 6 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )M z1  t t 2E E  t  dt1( z  t1 ) 2E ,C0 M  fC 0 ,  ( E   ),( E   ) z 1  f (t )E E S5t EE  E EM 1   t   1t   2M 1 (t   )fA 2 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )}t2 S6E  E   M1  t t 2M 1 (t   )f  t  dt1t12C 0 ,  ( E   )M 1 (t   )ff (t )C 0 ,  ( E   )E Eexp{(t    t1 ) A(t   )} E E [ A(0)  A(t )]A 1 (0)f (t )E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   )E  ,E EC 0 ,  ( E   ).Объединив оценки для S1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 и S 6 получаемI 13.4C 0 ,  ( E   ) z 1(   ) exp{ zA(t )} E E 1[ A(0)  A(t )]A 1 (0) exp{ (t   ) A(t   )}2E E ,,E E1[ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) A(t ) exp{ (t   ) A(t )}2E E M 1  f z 1(   ) exp{ zA(t )} E E  A(t ) exp{(t   ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) [ A(0)  A(t )]A 1 (0)C 0 ,  ( E   ).Наконец, оценим последнее слагаемое I13.5 в (1.2.48).

В силу тождестваf (t )Edt1 81z1 (   )t A(t ) exp{ zA(t )} I 13.5  z 1(   ) A 2 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )} [ A(0)  A(t )]A 1 (0) f (t )dt1tимеемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}I13.5 z 1  t A 2 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )}E[ A(0)  A(t )]A 1 (0)E EE Ef (t )Edt1 t Mz1  t tt  dt1f (t )( z  t1 ) 2E   I 13.5Mz 1 t   ztfM (t   ) fE   ,C0( E   )C 0 ,  ( E   )M (t   ) fC 0 ,  ( E   ).Из оценок полученных для I13.1 , I13.2 , I13.3 , I13.4 и I13.5 вытекаетI 13E  M (t   ) fC 0 ,  ( E   ),а из оценок полученных для I10 , I 11 , I12 и I13 следует (1.2.43).В конце, оценим функцию W5 (t ) в нормах C ( E  ) и C 0 , ( E   ) .

Для оцениваниеW5 (t ) в C ( E  ) , перепишем еѐ в виде (1.1.52). Пусть сначала оценим F1 (t ) в(1.1.52). Воспользовавшись неравенством (1.1.9), получаем, чтоF1 (t )E   exp{tA(t )} E E v 0E   M v 0E  .Отсюда следуетF1C ( E   ) M v 0E  .(1.2.50)Теперь используя (1.1.3) и (1.1.10), оценим F2 (t ) :z 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}F2 (t )z 1  A(t ) exp{( z  t ) A(t )} E E [ A(t )  A(0)]A 1 (0)E Ev0EEMz 1(  ) t v 0z tE   M v 0E  .Итак, при любом 0  t  1F2 (t )E   M v 0E  .ОтсюдаF2C ( E   ) M v 0E  .(1.2.51)82Оценим теперь в норме C ( E  ) функцию F3 (t ) .

Пусть z  t . В силу (1.1.9) и(1.1.18) при   1 имеемz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}F3 (t )E z 1(  ) exp{ zA(t )} E E  A2 (t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A1 (0) E  E v0 Mt    v0E M v 0E  E Mt 1   t  1 v0E.(1.2.52)Пусть теперь z  t . Тогда воспользовавшись оценками (1.1.10) и (1.1.17) при   0 ,получим, чтоz 1(  ) A(t ) exp{ zA(t )}F3 (t )1 A(t )[U (t ,0)  exp{tA(t )}] A (0) E  Ev0EEztA(t ) exp{ zA(t )} E E  Mt    v0tE Mt    v0E   M v 0E  . (1.2.53)Из (1.2.52) и (1.2.53) вытекаетF3C ( E   ) M v 0E  .(1.2.54)Объединив оценки для (1.2.50),(1.2.51) и (1.2.54), получим для W5 (t ) оценкуW5C ( E   ) M v 0.E  (1.2.55)Наконец, оценим функцию W5 (t ) в норме C 0 , ( E   ) , т.е.

установим неравенствоW5C0 , ( E   ) M v0.(1.2.56), 0  t  1,(1.2.57)E Для этого достаточно доказать, чтоW5 (t )W5 (t   )  W5 (t )E  E   M v 0E  M v 0(t   )E  , 0  t  t   1 .(1.2.58)Сначала установим (1.2.57):W5 (t )E   M W5 (t )E   M v 0E  .Теперь докажем неравенство (1.2.58). Пусть t   . Тогда используя тождество(1.1.52), сначала оценим F1 (t   )  F1 (t ) в норме E  . Преобразуя разностьF1 (t   )  F1 (t ) в виде (1.1.63), оценим первое еѐ слагаемое 1 . Воспользовавшисьформулой (1.2.32), перепишем 1 в виде1  [exp{(t   ) A(t   )}  exp{(t   ) A(t )}] v 0 83t exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}v0 dt1 0t 2exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}v0 dt1 0t exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{(t    t1 ) A(t   )}v0 dt1   1.1   1.2 .t 2Оценим сначала  1.1 . Пусть z   , тогдаz 1(   ) A(t   ) exp{ zA(t   )}1.1t 2 z 1   A(t ) exp{ zA(t )} E E Eexp{t1 A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E E(t    t1 )  1 v 0E  dt1 0Mz1  t 2z0dt1(t    t1 ) 1 v 0E  M1 v 0    (t   )E  M 1 v 0(t   )E  .Пусть теперь z   .

В силу (1.2.33) преобразуем интеграл  1.1 в виде11 1.1   A 1 (t ) exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )] exp{ (t   ) A(t   )} v 0 22 A 1 (t ) [ A(t   )  A(t )] exp{(t   ) A(t   )} v 0 t 2A 1 (t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )] A(t   )}exp{(t    t1 ) A(t   )}v0 dt1 0 1  2   3 .(1.2.59)Оценим каждое слагаемое (1.2.59) в отдельности:z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 1 [ A(t   )  A(t )]A (t   )1E E (t   )   1 v 0E  1 z 1(   ) exp{( z  (t   )) A(t )}2E E1( (t   ))  1 v 02 1z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 1EEE  E  M 1 1    v 0(t   )1 M 1 v 0(t   )E  E  M 1 v 0(t   ), z 1(   ) exp{ zA(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )M 1    v 0(t   )1 E  M v 0(t   ) E  E   2E  E EM v 0(t   ) E  ,84z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 3t 2E z 1   exp{( z  t1 ) A(t )} E E [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E E(t    t1 )    2 v 0E  dt1 0 M1  t 20dt1v 0(t    t1 ) 2  M 1 v 0(t   )E  E  3E  M 1 v 0(t   )E  .Объединив оценки для  1 ,  2 и  3 , получаем 1.1E  M v0(t   ) E .Далее, оцениваем  1.2 в E  .

Используя формулу (1.2.34), представим еѐ в виде 1.2  exp{(t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) v0 11 exp{ (t   ) A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{ (t   ) A(t   )} v 0 22t A(t ) exp{t1 A(t )} [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   ) exp{(t    t1 ) A(t   )}v0 dt1 t2 1   2   3 .Оценим 1 , 2 и  3 в отдельности:z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}1 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )M   v 0E  E z 1(   ) A(t ) exp{( z  t   ) A(t )} E E v0E EM v 0(t   ) z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )} 2zMz 1    v 01z  (t   )21(   )E  M 1 A(t ) exp{ zA(t )}3  Ezv 0E  E EE  1  Mz 1    v 0z  t  1E  E  M v 0(t   )  M v 0(t   ) E  E  ,1 z 1(   ) exp{( z  (t   )) A(t )}2E EE [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )E1v0exp{ (t   ) A(t   )}2E EM 1 v 0(t   )E   2t exp{ zA(t )} E Et2E  EM 1 v 0(t   )A 2 (t ) exp{( z  t1 ) A(t )}E  ,E E85 [ A(t   )  A(t )]A 1 (t   )t  Mz1  t 2  dt1( z  t1 ) 2v 0exp{(t    t1 ) A(t   )} E E v0E EM 1 v 0(t   )E   3E  E  Edt1 M 1 v 0(t   )E  .Из оценок полученных для 1 , 2 и  3 следует 1.2E  M v 0(t   ) E  .Объединив оценки для  1.1 и  1.2 получим1E  M v 0(t   ) E  .(1.2.60)Теперь оценим  2 .

Воспользовавшись ранее известным неравенством (см.[4])exp{tA(t )}  exp{(t   ) A(t )} E  E   M [t    (t   )   ] , 0  t  t    1 ,получаем, что2E   M [t    (t   )   ] v 0E  M 1 v 0(t   ) E  .(1.2.61)Из (1.2.60) и (1.2.61) вытекает оценкаF1 (t   )  F1 (t )E  M v 0(t   ) E  .(1.2.62)Теперь оценим F2 (t   )  F2 (t ) при t   . Сперва оценим F2 (t ) в норме E  :z 1(   ) A(t ) exp{ zA(t )}F2 (t ) [ A(t )  A(0)]A 1 (0)v0E EEE z 1   A(t ) exp{( z  t ) A(t )} E E Mz 1   t v 0ztE  Mt v 0t  E   Mt  v 0E  .Итак, справедлива оценкаF2 (t )E   Mt  v 0E  .(1.2.63)Отсюда следует неравенствоF2 (t   )  F2 (t )E  M 1 v 0(t   )E  , 0  t  t   1 ,(1.2.64)при t   .

Характеристики

Список файлов диссертации