Диссертация (1155072), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

В работах [33, 34] построена эллиптическая теория (теорема офредгольмовости) для задач с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем.Далее через H 1 () обозначается пространство Соболева комплекснозначныхфункций, принадлежащих L2 () вместе с обобщенными производными первогопорядка, а черезH 1 ()  замыкание множества C0 () финитных бесконечнодифференцируемых функций в H 1 () . Пространства H 1 () и H 1 ()  гильбертовысо скалярными произведениямиu, wH ()   (uw  uw )dx ,1u, wH ()   uwdx .1Пространство H 1 () можно отождествлять с подпространством функций изH 1(n) , равных нулю вне  . В обозначении для нормы оператора  E E индексбудем опускать.2.4.1.

Параболическое функционально-дифференциальное уравнение срастяжением и сжатием пространственных переменныхВ этом подразделе рассматривается задачаvt ( x, t ) n (R vi , j 1ij x i( x, t )) x j  f ( x, t ), 0  t  1, x  ,v t 0  v t    ( x ) ,v [ 0,1]  0.Действие операторов Rij связано только с переменнойформулой(2.4.1)(2.4.2)x,они определяются109Riju ( x)   aijlu (q l x) .(2.4.3)lЗдесь   (0,1] и q  1  фиксированные числа,  n ограниченная область,содержащая начало координат, aijl  заданные комплексные числа, а f ( x, t ) и  (x) заданные комплексные функции. Индекс l пробегает конечное подмножествоцелых чисел и может быть как положительным, так и отрицательным. Еслиq l x   при некоторых l и x   , то считаем u (q l x)  0 в (2.4.3) (другими словами,функции продолжаются нулѐм вне  перед применением к ним оператора Rij ).Центральноепредположение,связанноесоструктуройвыраженияn  ( Rij u xi ( x, t )) x j , состоит в том, что мы требуем выполнения неравенства типаi , j 1ГордингаnRe   ( Rij u xi )u x j dx  c1 ui , j 1 2L2 (  ) c2 u2L2 (  )(u  C0 ()) ,(2.4.4)в котором постоянные c1  0 и c2  0 не зависят от u  C0 () .

В [30] показано, чтоданное неравенство равносильно алгебраическому неравенствуnRe  aijli j z  0ln2(z  ℂ , z  q ;  n,   1) ,(2.4.5)i , j 1причем из (2.4.5) вытекает (2.4.4) с постоянной c2  0 и постоянной c1 , равнойминимуму выражения слева в (2.4.5).

В этом подразделе условие (2.4.5) будемпредполагать выполненным.Чтобы воспользоваться результатом первой части работы, необходимо датьформальное описание оператора, отвечающего уравнению (2.4.1) (в нашем случаеэто будет постоянный, не зависящий от t , оператор).

Для этого зададим напространстве L2 () полуторалинейную формуaR [u, w] n (R ui , j 1ijxi, wx j ) L2 (  )(2.4.6)110с плотной в L2 () областью определения D(aR )  H 1 () . В силу основногопредположения этого пункта, она удовлетворяет неравенствуRe aR [u, u]  c1 u2(u  H 1 ()) .L2 ( )(2.4.7)Кроме того, очевидно, существует постоянная M  0 такая, чтоaR [u, w]  M u2L2 ( )w L2(u, w  H 1 ()) .2 ( )(2.4.8)Из (2.4.7) и (2.4.8) следует замкнутость полуторалинейной формы и еесекториальность: значения aR [u, u ], 0  u  H 1 () , лежат на комплексной плоскостивнутри угла с вершиной в нуле, охватывающего положительную вещественнуюполуось и имеющего полураствор arg tgM c1  .Согласно первой теореме опредставлении (теорема 2.1 в [18, гл.

IV]), формой (2.4.6) однозначно задается mсекториальный (в смысле Т.Като) оператор AR : D( AR )  L2 ()  L2 () c плотной вL2 () областью определения D( AR )  H 1 () такой, что aR [u, w]  ( ARu, w) L2 () приu  D( AR ) , w  H 1 () . В [30] показано, что D( AR ) не лежит, вообще говоря, в2Hloc(). Там же получены достаточные условия, когда D( AR )  H 1 ()  H 2 () .Итак, решение задачи (2.4.1), (2.4.2) понимается в смысле данного в началеработы определения, где оператор A(t )  AR ассоциирован с полуторалинейнойформой (2.4.6). Убедимся, что оператор ( AR ) является генератором аналитической полугруппы. В [76, гл.

II, §4] доказано, что данное свойство оператораравносильно его секториальности в следующем смысле (см. также [59]):существует число   0 такое, что угол  2  { 0  z ℂ: arg z   2   }содержится в резольвентном множестве оператора ( AR ) и для любого   (0,  )существует M   0 :111zI  AR 1Лемма 2.3.

Оператор ( AR )Mz( z   2  ) .(2.4.9)секториальный в указанном выше смысле.Доказательсто. Положим для удобства   Re z ,   Im z , C  M c1 . Тот факт, чтоугол   i : C    0 содержится в резольвентном множестве оператора ( AR ) ,хорошо известен (см., например, не претендующий на новизну вывод в [30, §2.3]).Осталось получить оценку для резольвенты (2.4.9) в этом угле.

Равенство( zI  AR )u  g , 0  u  D( AR ) , g  L2 () , можно записать эквивалентным образом ввиде (интегрального) тождестваz(u, w) L2 ()  aR [u, w]  ( g , w) L2 ()Приwu( w  H 1 ()) .будем иметьu2L2 ( ) Re aR [u, u]  i  u2L2 ( ) Im aR [u, u]  ( g , u) L2 () ,откуда следует, что g gL2 ( )L2 ( )uuL2 ( )L2 ( ) u u2L2 ( )2L2 ( ) Re aR [u, u]  g Im aR [u, u]  gL2 (  )L2 ( )uuL2 ( )L2 ( ),(2.4.10).(2.4.11)Кроме того, C Re aR [u, u]  Im aR [u, u]  C Re aR [u, u] .(2.4.12)Комбинируя (2.4.10) – (2.4.12), получаем gL2 ( )uL2 ( ) u2L2 ( ) C Re aR [u, u]   u2L2 ( )C gили(С   ) uа такжеL2 (  ) (C  1) gL2 (  ),L2 ( )uL2 ( ) C u2L2 ( )112u2L2 ( ) C Re aR [u, u]  gL2 (  )u (C  1) gL2 ( )L2 ( )uL2 ( ) C u2L2 ( )или(С   ) uL2 (  )Таким образом, (С   ) u L ()  (C  1) g2 (C  1) gL2 (  )zI  AR 1L2 (  )., что означает оценку для резольвентыC 1C  в рассматриваемом угле.

В то же время, нетрудно убедиться, что в любомохватывающем положительную вещественную полуось симметричном углеменьшего раствора   i : C    0 C  C  , справедливо неравенствоK C        ,где 1 C  1 K  max  ,. C C  C Поэтому окончательно имеемzI  AR 1K (C  1) K (C  1) zC    0.Замечание 2.2. Резольвента zI  AR 1 существует и в окрестности точки z  0 .Вместе с леммой 2.3 это означает, что спектр оператора ( AR ) сдвинут влевоот мнимой оси и имеет место неравенствоzI  AR 1M1 z(Re z  0) ,т. е. для оператора AR выполнено условие (1.1.2).113Таким образом, мы приходим к основному результату этого пункта –следствию из теоремы 2.6.Следствие 2.5.

При   D( AR ) и f  C0 , ( L2 ()) задача (2.4.1), (2.4.2) имеетединственноерешениеv ( x, t ) ,функцииvt (, t )иAR v(, t )принадлежатпространству C0 , ( L2 ()) , и справедлива оценкаvtC0 , ( L2 (  )) AR vC0 , ( L2 (  )) M R  AR L2 (  )1f (1   )C0 , ( L2 ( ))с постоянной M R  0 , не зависящей от  ,  и f .2.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальнымусловием на В этом подразделе изучается задачаnvt ( x, t )   aij ( x)v xi x j ( x, t )  a0 v( x, t )  f ( x, t ), ( x  , 0  t  1),(2.4.13)i , j 1S 0. v( x, t )   bs ( x)v(s ( x), t ) s 1 [ 0,1]v t 0  v t    ( x ) ,Здесь   ограниченная область вaij , bs  C  (nn(2.4.14)с гладкой границей,   (0,1] , a0  ,) , aij ( x)  a ji ( x)  вещественные функции,nai , j 1ij( x) i j  0( x  , 0   n),и  s ( s  1,..., S )  C  - диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность Uграницы  на множества s (U )   .ВведемопределениянеограниченныйоператорAГ : D( AГ )  L2 ()  L2 ()собластью114SD( AГ )  H Г2 ()  u  H 2 () :  u ( x)   bs ( x)u (s ( x))   0s 1 действующий по формулеAГ u ( x) naiji , j 1( x)u xi x j , u  H Г2 () .Лемма 2.4.

Оператор AГ  a0 I - секториальный при всех достаточно больших a0 .Доказательсто. Введем оператор-функцию L( z ) : H 2 ()  L2 ()  H 3 2 () поформулеS nL( z ) w( x)     aij ( x) wxi x j  zw,  w( x)   bs ( x) w(s ( x))   0  , i , j 1s 1 представляющую собой ограниченный оператор при каждом z ℂ. По теореме2.1.2 [36, гл.

2, §2.1] для любого числа 0     2 существует число r  0 такое,что при всех z из множества  2 z  r  оператор L(z ) имеет ограниченныйобратный L1 ( z ) : L2 ()  H 3 2 ()  H 2 () . Причем неравенствоw H 2 ()  z w L ()  C g02L2 ( ) g1H 3 2 ( )z34g1L2 ( ),где для краткости обозначили ( g 0 , g1 )  Lw , выполняется с постоянной C  0 , независящей как от w  H 2 () , так и от z   2 z  r . Но это в точности означает,что всякое множество вида  2 z  r  состоит из резольвентных точек оператора AГ , и на нем справедлива оценка для резольвенты zI  AГ 1 C.

Характеристики

Список файлов диссертации