Диссертация (1155072), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Для доказательства теоремы в неравенстве (1.2.1) достаточнодоказать, чтоv 0E   f (0)  Av(0)E   M { A(0)   f ( )  f (0)  1 (1   ) 1 fE C0 , ( E   )}.(3.2.2)Воспользовавшись тождеством (3.1.6), оценим I 3 , I 4 , I 5 и I 6 в отдельности внорме E  . Сначала оценим I 3 . В силу (3.1.5) имеемI3E M A( )U ( , s)( f ( )  f (s))ds0.(3.2.3)E Далее, преобразуем A( )U ( , s)( f ( )  f (s))ds в виде00A( )U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds =  exp{(  s ) A( )} ( f ( )  f ( s )) ds 0A( )[U ( , s )  exp{(  s ) A( )}] ( f ( )  f ( s )) ds  R1  R2 .0Вначале оценим R1 в норме E  .

В силу (1.1.10) при   1 имеемz1 (  )A( ) exp{ zA( )}R1Ez1 A2 ( ) exp{( z    s) A( )}( f ( )  f ( s)) ds E0 Mz 1 0Пусть z   , тогда(  s)  ds( z    s) 2  fC 0 ,  ( E   ).130z1 0(  s)  dsz1- ( z    s) 2  z1- ds1 z1.  2  1- ( z    s)(1   ) z1    10Пусть теперь z   , тогдаz1(  s)  ds   2   z( z    s)1 001ds   1( z    s)01ds .1(  s )Поэтому для любого z  0 получимz1 01(  s)  ds.2   ( z    s) (1   )Итак,R1E  M 1 (1   ) 1 fC0 , ( E   ).Теперь оценим R2 в норме E  . Воспользовавшись оценками (1.1.9), (1.1.16) и(1.1.10), (1.1.17) при   1, получимz 1(  ) A( ) exp{ zA( )}R2 z 1 EA2 ( ) exp{ zA( )}[U ( , s)  exp{(  s) A( )}]( f ( )  f ( s)) ds E0 z 1 A2 ( ) exp{ zA( )}[U ( , s)  exp{(  s) A( )}]f ( )  f ( s )EEE  ds 0 Mz1 1 min z20,1 (  s ) (  s )   ds f2(  s ) 1  M1z0(  s) (  s )  dsf( z    s) 2 C 0 ,  ( E   )C 0 ,  ( E   ).Пусть сначала z   , тогдаz 1 0(  s) (  s )  ds z 12 ( z    s) 0(  s ) ds z 12( z    s)ds ( z    s)021.1Пусть теперь z   , тогдаz1 0(  s) (  s )  ds z 1 ( z    s) 2 01(  s ) ds   2 z ( z    s) 0Поэтому для любого z  0 получимz1 01(  s) (  s )  ds.2 ( z    s)  (1   )1 ds . 1z(  s )131Итак, установили, чтоR2E  M 1 1 (1   ) 1 fC0 , ( E   ).Объеденив полученные оценки для R1 и R2 , получаем, что A( )U ( , s)( f ( )  f (s))ds0E Mf (1   )C 0 ,  ( E   ).(3.2.4)Из (3.2.3) и (3.2.4) вытекает неравенствоI3Mf (1   )E C 0 ,  ( E   ).Далее, оценим I 4 в норме E  :I4E  M A( )U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds0E Mf (1   )C0 , ( E   ),так как верна оценка A( )U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds0E Mf (1   )C0 , ( E   )(3.2.5).Действительно,1(  )zA( ) exp{ zA( )} A( )U ( , s)[ A( s)  A( )] A1 ( ) f ( )ds0 z1   A2 ( ) exp{ zA( )}U ( , s)E[ A( s)  A( )] A1 ( )E EE Ef ( ) E ds 011  z1   min  2 ,(  s) ds f2 z (  s ) 0C0 , ( E )(  s )f2(zs)0 M 1 z1  Пусть z   .

Тогдаz1 0(  s)  ds z 1 2( z    s)01ds.21 1  ( z    s)Пусть теперь z   , тогдаz1 0(  s)  ds1  2z( z    s)01ds.   1z(  s )Для любого z  0 получаем, чтоz1 0(  s)  ds1.2 (1   )( z    s)C0 , ( E ).132Итак,z1 (  ) A( ) exp{ zA( )} A( )U ( , s)[ A( s)  A( )]A1 ( ) f ( )ds0EM1f (1   )C0 , ( E ).Отсюда следует (3.2.5).Воспользовавшись неравенством (3.1.5), легко получаем оценкуI5E  M A(0)   f ( )  f (0)E .Наконец, воспользовавшись оценкой (3.1.5) оценим I 6 :I6E 1111 M A( )U ( ,0)(( A ( ) f ( )  A (0) f (0))  A ( )( A( )  A(0)) A (0) f ( )) EM fC0 , ( E ) ,так какA( )U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( ))E M fC0 , ( E ).

(3.2.6)Действительно, для любого z  0 получим, чтоz1 (  ) A2 ( ) exp{ zA( )}U ( ,0)(( A1 ( ) f ( )  A1 (0) f (0))  A1 ( )( A( )  A(0)) A1 (0) f ( )) z1  A2 ( ) exp{ zA( )}U ( , 0) A1 ( ) f ( ) E  A( ) A1 (0)1 1 z  Mz1  min ,  fE E ,C0E Ef (0) E  [ A( )  A(0)]A1 (0)(E) M1z1 zfC0 , ( E )EE Ef ( ) f M 1EC0 , ( E ).Отсюда следует (3.2.6).Остается,объединив оценки для I 3 , I 4 , I 5 и I 6 , получить (3.2.2). Из (1.2.1) и(3.2.2) следует неравенство коэрцитивности (3.2.1).

Теорема 3.4 доказана.1333.3. Разрешимость в пространствах С ([0,1], E ) и С0 , ([0,1], E)Очевидно, что если в доказанной теореме 3.1 взять    и   0 , то имеютместо следующие утверждения.Теорема 3.5. Пусть A(0)  f ( )  f (0)  E , f  C  ( E ) при некоторых 0      1.Тогда задача (3.1.1) разрешима в пространстве Гѐльдера C  ( E ) и справедливонеравенствоv C ( E )  A()vC ( E )1 v C ( E )  M  A(0)   f ( )  f (0)E1f (1   )C ( E )(3.3.1)с постоянной M , не зависящей от  , и f .Следствие 3.3.

Предположим, что A(0)   f ( )  f (0)  0 , f  C  ( E ) при некоторых0      1. Тогда задача (3.1.1) разрешима в C  ( E ) и справедлива оценка (1.1.78).А для задачи (3.1.13) справедливо такое утверждение.Следствие 3.4. Пусть f (0)  f (1) , f  C  ( E ) при некоторых 0      1 . Тогданелокальная краевая задача (3.1.13) разрешима в C  ( E ) и выполняется оценка(1.1.78).В пространстве C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0    1) справедлива следующая теорема:Теорема 3.6. Пусть   D( A(t )) и f  C0 , ( E) при некоторых 0      1 . Тогдазадача (3.1.1) разрешима в C0 , ( E) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C , ( E )  A()v0 ,C0(E) M  A(0) E1f (1   ) ,C0(E) с постоянной M , не зависящей от  , и f .Доказательство. Используем представлениеA(0)v0  A(0)v(0)  A(0)(I  U ( ,0))1{  U ( , s) f (s)ds} 0  A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s )( f ( )  f ( s ))ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A01( ) f ( )ds (3.3.2)134 A(0)(I  U ( ,0)) ((I  U ( ,0)) A ( ) f ( )   )   A(0)(I  U ( ,0))111 U ( , s)( f ( )  f (s))ds 0 A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)[ A( )  A(s)]A1( ) f ( )ds 0 A(0) A1 ( ) f ( )  A(0)(I  U ( ,0))1   I 3  I 4  I 5  I 6 ,(3.3.3)гдеI 3   I3   A(0)(I  U ( ,0))1 U ( , s)( f ( )  f (s))ds ,0I 4   I 4  A(0)(I  U ( ,0))1  U ( , s)[ A( )  A( s)]A1 ( ) f ( )ds ,0I 6  A(0)(I U ( ,0))1 .I 5  A(0) A1 ( ) f ( ) ,Воспользуемся неравенствомv C , ( E )  A()v0C0 , ( E ) M  A(0)v0E1f (1   )C0 , ( E ),(3.3.4)полученным для задачи Коши (1.1.1) [72].

Достаточно получить оценку A(0)v0 внорме E . Для этого нужно оценить I 3 , I 4 , I 5 и I 6 . Сначала оценим I 3 . В силу(1.1.15) при   0 и (3.1.5) имеемI3  A(0)( I  U ( ,0)) A ( )1 A( )U (, s)( f ( )  f (s))ds1E E0 M  A( )U ( , s)E E0 M1 0E(  s) dsf(s)0f ( )  f ( s) E ds  M 1 ds(  s )1 fC0 , ( E )M1fC 0 , ( E )C0 , ( E ).Теперь оценим I 4 . Воспользовавшись оценками (1.1.3), (1.1.15) при   0 и (3.1.5)получаемI 4  A(0)( I  U ( , 0)) A ( )11E E A( )U (, s)[ A( )  A(s)] A1( ) f ( )ds0 M  A( )U ( , s)0E E[ A( )  A( s)] A1 ( )EE(  s) dsfs0f ( ) E ds  M1 C0 , ( E )135 M1 0ds(  s)1fC 0 , ( E )M1fC 0 , ( E ).Далее, оцениваем I 5 :I5E1 A(0) A ( )EEf ( )E M1 fC 0 , ( E ).Наконец в силу (3.1.5) имеем, чтоI6E M1 A(0) E.Объединив оценки для I 3 , I 4 , I 5 и I 6 , получаем неравенствоA(0)v0E M1  A(0) E1fC0 , ( E ).Используя последнюю оценку в правой части неравенства (3.3.4), получим (3.3.2).Теорема 3.6 доказана.1363.4.

Приложения к главе 3а) Рассмотрим нелокальную краевую задачу для параболического уравнения: v(t , x) 2 v (t , x ) t  a(t , x) x 2   v(t , x)  f (t, x), 0  t  1, 0  x  1,v(0, x)  v( , x)   ( x), 0  x  1, 0    1,v(t , 0)  v(t ,1), v (t, 0)  v (t,1), 0  t  1,xx(3.4.1)где a(t , x) ,  ( x) и f (t , x) достаточно гладкие заданные функции, a(t , x)  a(t   , x)  0 ;  0 – достаточно большое число.Tеорема 3.7. Для решения нелокальной краевой задачи (3.4.1) справедливы оценкиvt1 M ( ,  ) f  (1   )C0 , ( C  [ 0,1]) 2vx 2C0 , ( C  [ 0 ,1])vtC ( C 2 (   )   [ 0,1])1 2 ()a(0,)()f(,)f(0,), ,C0 ( C [ 0,1]) x 2C 2 (   )   [ 0,1] 0      1, 0  2(    )    1, 0    1,vtC 0 , ( C 2 (    )   [ 0 ,1]) 1 M ( ,  ) f (1   ) 2vx 2C 0 , ( C 2 (    )   [ 0 ,1])vtC ( C 2 (   )   [ 0 ,1]) 2 ()a(0,)()f(,)f(0,), ,2 (   ) C0 ( C[ 0,1])x 2C 2 (   )   [ 0,1] 0       , 0    1, 0  2(   )    1, 0    1с постоянной M ( ,  ) , не зависящей от  ,  ,  , f и  .б) Пусть   единичный открытый куб, имеющий границу S и принадлежащий n мерному евклидову пространствуn(0  xk  1, k  1,..., n) ,     S .

Рассмотримнелокальную краевую задачу v(t , x) n 2v(t , x)a(t,x) v(t , x)  f (t , x), 0  t  1, x  ( x1 ,..., xn )  ,r t2xr1rv(0, x)  v( , x)   ( x), 0    1, x  ,v(t , x)  0, x  S(3.4.2)для многомерных параболических уравнений. Здесь ar (t , x) , f (t , x) ,  (x) заданные137гладкие функции и ar (t , x)  ar (t  , x)  0 ;   0 – достаточно большое число.Tеорема 3.8. Для решения нелокальной краевой задачи (3.4.2) имеет местоследующее неравенство:vt1 M ( ,  ) f  (1   )C 0 , ( C 01( ))C  , ( C  (  ))001 2vxr2nr 1 ,C0( C 01 (  ))n1 2 (),  ar (0,)()f(,)f(0,)   r 1xr22 (   )  C01() 0      1, 0  2(    )    1,   {1 ,..., n ), 0  k  1, k  1,..., n,где M ( ,  ) не зависит от  ,  , f и  .в) Наконец, рассмотрим нелокальную задачуr v(t , x) v(t , x)  ar (t , x) r1  v(t , x)  f (t , x),x1 ...xnrnr 2m tn0  t  1, x, r  , r  r1  ...

 rn ,nv(0, x)  v( , x)   ( x), 0    1, x  ,(3.4.3)где ar (t , x)  ar (t  , x) , f (t , x) и  (x) достаточно гладкие заданные функции,   0 –достаточно большое число.Теорема 3.9. Для задачи (3.4.3) справедливы неравенства коэрцитивностиvtC0 , ( C  (1 M ( ,  ) f  (1   ) ,C0n))(C (nr 2m vr1x1  xnrnr1 ))C0 , ( C  (n ar (0, )r 1n))vtC ( C 2 m (   )  (n))  ()  ()  f ( , )  f (0, )x1r1 xnrnrC 2 m (   ) (,n )0      1, 0  2m(    )    1, 0    1,vtC0 , ( C 2 m (   ) ( 1 M ( ,  ) f  (1   )n))r 2mC0 , ( C 2 m (  ) ( vr1x1  xnrnn))rnC0 , ( C 2 m (   ) ( ar (0, )r 1n))vtC ( C 2 m (   )  ())  ()  ()  f ( , )  f (0, )x1r1 xnrnr0       , 0    1, 0  2 m(   )    1, 0    1с M ( ,  ) , не зависящей от  ,  ,  , f и  .nC 2 m (   ) (,n )138Список литературы1.

Характеристики

Список файлов диссертации