Диссертация (1154386), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Хаосом Радемахера порядка d ∈ N будем называть множество всех функций вида ri1 i2 ...id (t) := ri1 (t) · ri2 (t) · . . . · rid (t), где i1 > i2 >. . . > id > 1.Так, сама система {rn }∞n=1 является хаосом 1-го порядка. Кроме того,если к объединению хаосов Радемахера всех порядков добавить функциюr0 (t) ≡ 1, то мы получим классическую систему функций Уолша {wn }∞n=0 .Напомним, что последовательность {xk }∞k=1 элементов банахова пространства X называется базисной, если она является базисом в замыканиисвоей линейной оболочки.
Если же для любой биекции π : N → N по55∞следовательность {xπ(k) }∞k=1 также будет базисной, то {xk }k=1 называетсябезусловной базисной последовательностью.Как вспомогательный результат, в разделе 5.3.3 доказана следующаятеорема, в которой используется лексикографический порядок: индекс{i1 , i2 , . .
. , ik } предшествует индексу {j1 , j2 , . . . jl } в случае, если для первого m такого, что im отлично от jm , выполняется неравенство jm > im . Еслитакого m не найдется, более короткий индекс предшествует более длинному. Заметим, что этот порядок согласуется с известной нумерацией Пэлидля системы Уолша (см. [29, § 4.5]).Теорема 5.3.9. Пусть d ∈ N, {xi }∞i=1 — последовательность независимых симметрично распределенных функций (случайных величин) на[0, 1], xi 6= 0, i = 1, 2, .
. . , такая, что все функции видаxi1 i2 ...id = xi1 i2 ...id (t) := xi1 (t)xi2 (t) . . . xid (t), t ∈ [0, 1],принадлежат симметричному пространству X.Тогда последовательность {xi1 i2 ...ik }i1 >i2 >...>ik , k6d является базисной вX.Следствие 5.3.11. Для произвольного натурального d xаос Радемахера {ri1 ri2 . . .
rid }i1 >i2 >...id , рассматриваемый как подсистема системы Уолша в нумерации Пэли, является базисной последовательностью в любомсимметричном пространстве X.Раздел 5.3.4 посвящен вопросам безусловности хаоса Радемахера дробной комбинаторной размерности (по Р. Блею, см. [112] или [113, глава XIII]).Через |Z| мы обозначаем количество элементов конечного множества Z, аNd := N × N × . . . × N (d множителей), где N — множество натуральныхчисел.56Определение. Будем говорить, что множество A ⊂ Nd имеет комбинаторную размерность α, если1) существует C > 0 такое, что для любого набора множеств A1 , A2 , .
. . , Ad ⊂N, |A1 | = |A2 | = . . . = |Ad | = m,|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| < Cmα ;2) cуществует c > 0 такое, что для любого m ∈ N найдутся множестваA1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N, |A1 | = |A2 | = . . . = |Ad | = m, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > cmα .Известно, что для каждого вещественного α ∈ [1, d] существует множество размерности α [113, глава XIII]. В книге [113] показывается, чтосвойства многих объектов, параметрически зависящих от подмножеств декартовых произведений счетных множеств, определяются не конкретнойструктурой этих подмножеств, а именно их комбинаторной размерностью.Отметим, что в самом тексте диссертации мы используем и другие, менеетребовательные к множеству A, определения размерности.Через 4d , d ∈ N, будем обозначать “нижнетреугольную” часть Nd , т.е.4d := {(i1 , i2 , . . . , id ) ∈ Nd : i1 > i2 > .
. . > id }.Напомним также, что базисная последовательность {xj }j∈N в банаховомпространстве X называется RUD последовательностью [167], если для некоторого D > 0, любых n ∈ N и aj ∈ R, j = 1, 2, . . . , n, выполняется неравенство nZ1 nXXaj xj 6 D rj (u)aj xj du.j=1Xj=1057XВ разделе 5.3.6 доказан, в частности, такой результат. При его доказательстве использовалось экстраполяционное описание пространств Орлича.Теорема 5.3.18. Пусть X — пространство Орлича. Предположимтакже, что d ∈ N, а A ⊂ 4d имеет комбинаторную размерность α > 1.Тогда следующие условия эквивалентны:1) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — безусловная базисная последовательность в X;2) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — RUD последовательность в X;3) последовательность {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A эквивалентна в X стандартному базису `2 , т.е.
для некоторой константы CX X−1 ai1 i2 ...id ri1 i2 ...id CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 6 (i1 ,i2 ,...,id )∈A X6 CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 ;4) X ⊃ ExpL2/α .В разделе 5.3.6 мы рассматриваем хаос Радемахера, индексное множество которого имеет комбинаторную размерность, совпадающую с порядком d объемлющего декартова произведения Nd . В этом случае результаттеоремы 5.3.18 можно распространить на произвольные симметричные пространства, а также ослабить условия на плотностные оценки снизу.Теорема 5.3.28.
Пусть X — симметричное пространство, d ∈ N,d > 2, а множество A ⊂ 4d удовлетворяет условию: для любых m ∈ Nи ε > 0 найдутся множества A1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N, |A1 | = |A2 | = . . . =|Ad | = m1 > m, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > md−ε1 .Тогда следующие условия эквивалентны:581) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — безусловная базисная последовательность в X;2) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — RUD последовательность в X;3) последовательность {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A эквивалентна в X стандартному базису `2 , т.е. для некоторой константы CX X−1 arCX{ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 6 i1 i2 ...id i1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈A X6 CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 ;4) X ⊃ G2/d , где G2/d — сепарабельная часть пространства ОрличаExpL2/d .В доказательстве последней теоремы использовался вероятностный метод, а также одна экстремальная теорема Эрдеша о гиперграфах [136].БлагодарностиАвтор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, профессору, доктору физико-математических наук, Асташкину Сергею Владимировичу и декану факультета математики Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П.
Королева д.ф.-м.н. Новикову Сергею Яковлевичу за постоянное внимание кработе и советы при подготовке настоящего текста, а также руководителю Института систем обработки изображений РАН (ИСОИ РАН) — филиала Федерального государственного учреждения "Федеральный научноисследовательский центр "Кристаллография и фотоника" Российской академии наук" д.ф.-м.н. Казанскому Николаю Львовичу и научному руководителю ИСОИ РАН академику РАН Сойферу Виктору Александровичу заподдержку во время работы над диссертацией.59Глава 1Основные обозначения ипредварительные сведения1.1Симметричные пространстваВсюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимаетсякак непрерывное, т.е. X1 ⊂ X0 означает, что из x ∈ X1 следует: x ∈ X0и kxkX0 6 CkxkX1 для некоторого C > 0. Если важна конкретная константа, с которой имеет место вложение X1 в X0 , то в случае выполненияCпоследнего неравенства мы будем писать также X1 ⊂ X0 .
Под равенствомX0 = X1 для банаховых пространств будем подразумевать их совпадение сэквивалентностью норм, а изометрическое равенство будем обозначать какX0 ≡ X1 . Выражение вида F1 F2 означает, что cF1 6 F2 6 CF1 для некоторых констант c > 0 и C > 0, причем эти константы не зависят от всехили части аргументов F1 и F2 , и из контекста должно быть ясно, о какихаргументах идет речь.
Если же мы хотим явно показать независимость от60конкретных аргументов x, y, . . ., то пишемx,y,...F 1 F2 .Мы будем рассматривать вещественные функции, заданные на отрезкеI = [0, 1], на квадрате I × I или на полуоси [1, ∞) c обычной мерой Лебега,измеримые и, кроме особо оговоренных случаев, почти всюду конечные.Мы будем также отождествлять две такие функции, если они равны почтивсюду (п.в.).В пространстве S(Ω) всех измеримых вещественных почти всюду конечных функций на измеримом пространстве {Ω, Σ, ν} с мерой ν можноввести метрику по формулеZρ(x, y) =|x(t) − y(t)|r(t) dν(t),1 + |x(t) − y(t)|Ωгде r(t) произвольная положительная суммируемая на Ω функция.
Сходимость в этой метрике эквивалентна сходимости по мере. Запись x 6 y,где x, y ∈ S(Ω), означает, что x(t) 6 y(t) для п.в. t ∈ Ω. Через |x| будемобозначать функцию, совпадающую п.в. с модулем функции x = x(t). Обозначение S без указания измеримого пространства Ω будет закреплено замножеством всех измеримых и конечных п.в.
относительно меры Лебега µфункций на отрезке [0, 1].Напомним определение некоторых классов банаховых пространств измеримых функций.Определение 1.1.1. Банахово пространство X функций из S(Ω) называется идеальным, если из условий x ∈ X, y ∈ S и |y| 6 |x|, следует, чтоy ∈ X и kykX 6 kxkX .61Вместо словосочетания "банахово идеальное пространство" мы будемиспользовать также оборот банахова идеальная решетка или просто банахова решетка, если из контекста ясно, что свойство идеальности предполагается. Отметим, что в книге Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
