Диссертация (1154386), страница 9
Текст из файла (страница 9)
А. Брудного и Н. Я. Кругляка [121,Definition 2.6.3, p. 246] такие пространства называются банаховыми функциональными решетками (Banach function lattices). Основные свойстваидеальных пространств изложены в [27]. Более подробную информациюможно найти в обзорах [16, 17].Функцией распределения функции x(t) ∈ S(Ω) называется функцияnx (τ ) = ν{t : x(t) > τ }, τ ∈ R.Мы будем называть две функции x и y равнораспределенными, если ихфункции распределения совпадают. Две функции x и y называются равноизмеримыми, если функции |x| и |y| равнораспределены.Перестановкой функции x(t) называется неотрицательная функция, определенная на [0, ∞), равноизмеримая с x(t), убывающая и непрерывнаяслева. Перестановку будем обозначать через x∗ (t), она всегда существует,единственна и ее можно явно определить по формуле [32, с.
83]:x∗ (t) = inf{τ : n|x| (τ ) < t}.Определение 1.1.2. Банахово идеальное пространство X на [0, 1] называется симметричным, eсли из условий x ∈ X, y ∈ S и y ∗ = x∗ , следует,что y ∈ X и kykX = kxkX .Из определения следует, что симметричное пространство вместе с каждой функцией x содержит и все равноизмеримые с ней функции. Подробноеизложение теории симметричных пространств можно найти в монографиях [32, 108, 166].62Примерами симметричных пространств могут служить пространстваLp , пространства Лоренца, Марцинкевича и Орлича.Как обычно, пространство Lp = Lp [0, 1], 1 6 p < ∞, состоит из всехфункций x ∈ S, для которыхZ1kxkp := 1/p|x(t)|p dt< ∞.0При этом при p > q имеет место вложение (с константой 1) Lp ⊂ Lq .Предельным случаем является пространство L∞ с нормойkxk∞ := inf {C :µ{t ∈ [0, 1] : |x(t)| > C} = 0} .Для каждого симметричного пространства на [0, 1] справедливы непрерывные вложения: L∞ ⊂ X ⊂ L1 [32, теорема II.4.1].Одним из обобщений пространств Lp служат пространства Lp,q , 1 6 p <∞, 1 6 q 6 ∞ с квазинормой (нормой при q 6 p)kxkp,q := qpZ1 1/qq dt , 1 6 q < ∞,t1/p x∗ (t)t0иkxkp,∞ := sup t1/p x∗ (t).0<t61Заменяя в этих формулах x∗ (t) на x∗∗ (t) :=1tRt0x∗ (s) ds, получаем экви-валентную симметричную норму в Lp,q для всех 1 < p < ∞, 1 6 q 6 ∞.Очевидно, что Lp = Lp,p .
Кроме того, Lp,q1 ⊂ Lp,q2 при 1 6 q1 6 q2 6 ∞.Через F обозначим класс всех непрерывных, возрастающих, вогнутыхфункций на [0, 1], равных в нуле нулю. Если ϕ ∈ F, то степенное про-63странство Лоренца Λq (ϕ) состоит из всех функций x ∈ S, для которых 1qZ1kxkΛq (ϕ) := (x∗ (t))q dϕ(t) < ∞.0qЕсли ϕ(t) = t p , q 6 p, то Λq (ϕ) совпадает с Lp,q .Пространство Марцинкевича M(ϕ) состоит из всех функций x ∈ S,для которых конечна нормаϕ(t)t∈(0,1] tZtkxkM(ϕ) := supx∗ (s) ds.01В случае ϕ(t) = t p получаем пространство Lp,∞ .Докажем следующее полезное утверждение о пространстве Марцинкевича, которым будем пользоваться в работе.Лемма 1.1.3.
Пусть X — симметричное пространство и 1/ϕ ∈ X. ТогдаM(ϕ) ⊂ X.Доказательство. Так какkxkM(ϕ)ϕ(t)= supt∈(0,1] tZtx∗ (s) ds > sup ϕ(t)x∗ (t),t∈(0,1]0то для любой функции x ∈ M(ϕ) справедливо неравенствоx∗ (t) 6kxkM(ϕ)ϕ(t)для всех t ∈ (0, 1],откуда 1kxkX 6 kxkM(ϕ) · ϕ .X64Еще один важный класс симметричных пространств — класс пространств Орлича. Пусть M = M (u) — функция Орлича, т.е.
выпуклая непрерывная функция на [0, ∞), M (0) = 0 (близкое понятие — N -функция).Пространство Орлича LM состоит из всех измеримых функций x = x(t),для которыхZ1M|x(t)|λdt < ∞0для некоторого λ. Норма в LM определяется следующим образом:Z1 |x(t)|kxkLM = inf λ :Mdt 6 1 .λ0Пространствa Lp представляют собой частный случай пространств Орлича.В роли соответствующих функций Орлича в данном случае выступаютфункции Mp (u) = up .Если две функции Орлича M1 (u) и M2 (u) связаны соотношениямиM1 (u) 6 M2 (Cu)иM2 (u) 6 M1 (Cu)при u > u0 ,то мы пишем M1 ∼ M2 , и мы говорим, что функции M1 и M2 эквивалентны (в смысле эквивалентности N -функций). При этом соответствующиепространства Орлича LM1 и LM2 совпадают по составу элементов, а нормыэтих пространств эквивалентны.
Подробнее познакомиться с пространствами Орлича можно по книге [30].Через χA = χA (t) обозначим характеристическую функцию (индикатор) измеримого множества A ⊂ [0, 1]. Важной характеристикой симметричного пространства является его фундаментальная функцияφX (t) := kχ(0,t) kX ,65t ∈ [0, 1].Характеристическая функция всегда квазивогнута, а квазивогнутая функция всегда эквивалентна вогнутой (в смысле , определенном выше). Вчастности,1φM(ϕ) (t) = ϕ(t),φΛp (ϕ) (t) = (ϕ(t)) p ,φLM (t) =1M −11t.Напомним, что пространство Орлича LM может совпасть с пространством Марцинкевича M(ϕ) [87, 168].
Совпадение указанных пространствимеет место тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия. Первое условие означает эквивалентность фундаментальных функцийпространств LM и M(ϕ) (для любого пространства Орлича существуетпространство Марцинкевича с эквивалентной фундаментальной функцией, и обратно):ϕ(t) 1,M −1 (1/t)(1.1)и может быть переписано в терминах эквивалентности функций M (u) и1/ϕ−1 (1/u) при достаточно больших u в смысле эквивалентности N -функций:M (u) ∼1.ϕ−1 (1/u)Второе условие следует из леммы 1.1.3 и вложения X ⊂ M(ϕ), справедливого для любого симметричного пространства с фундаментальной функцией ϕ [32, теорема II.5.7]:Z1Mεϕ(t)dt < ∞ для некоторого ε > 0,(1.2)0или, равносильно, 1/ϕ ∈ LM .Пространство Лоренца Λ(ϕ) := Λ1 (ϕ) обладает следующим экстремальным свойством в классе симметричных пространств, которое будет66неоднократно использоваться в работе. Если φX (t) 6 Cϕ(t) для некоторого C > 0 и всех t ∈ [0, 1], то Λ(ϕ) ⊂ X (см.
[32, теорема II.5.5]). Вчастности, пространство Лоренца Λ(ϕ) является самым узким среди всехсимметричных пространств с фундаментальной функцией ϕ(t). Самым широким пространством из всех симметричных пространств с фундаментальной функцией ϕ(t) будет пространство M(ϕ) [32, теорема II.5.7]. Такимобразом, всегда имеют место непрерывные вложенияΛ(φX ) ⊂ X ⊂ M(φX ).(1.3)Еще один класс симметричных пространств дают пространства ОрличаЛоренца. Пусть M = M (u) — функция Орлича на [0, +∞), а функцияϕ = ϕ(t) на [0, 1] принадлежит классу F. Пространство Орлича-Лоренцасостоит из всех функций x ∈ S, для которых конечна норма1Z∗kxkΛM (ϕ) := inf λ > 0 :M (x (t)/λ) dϕ(t) 6 1 .0Функция растяжения положительной функции ϕ(t), t ∈ (0, 1], определяется соотношениемMϕ (s) =ϕ(st), 0 < s < ∞.0<t6min(1,1/s) ϕ(t)supПри этом числаlog Mϕ (s)s→0+log sγϕ = limиlog Mϕ (s)s→+∞log sδϕ = limназываются нижним и верхним показателями растяжения функции ϕ(t).Важную роль в теории симметричных пространств играют операторырастяжения [32, c.
131]στ x(t) = x(t/τ ) · χ(0,min{1,1/τ }) (t), τ > 0.67Эти операторы действуют ограниченно в любом симметричном пространстве. Числаlog kστ kXτ →0+log ταX = limиlog kστ kXτ →+∞log τβX = limназываются нижним и верхним индексами Бойда пространства X.
Всегда0 6 αX 6 γφX 6 δφX 6 βX 6 1.(1.4)Ассоциированное к пространству X пространство X 0 состоит из всехизмеримых функций y = y(t), для которых 1ZkykX 0 = supx(t)y(t)dt : x ∈ E, kxkX 6 1 < ∞.0Пространство, ассоциированное к симметричному, само является симметричным.Под сепарабельной частью симметричного пространства X в первомпараграфе третьей главы будем подразумевать наибольшее сепарабельноесимметричное подпространство X 0 пространства X.
Для симметричногопространства X 6= L∞ сепарабельная часть совпадает с замыканием вX пространства L∞ всех ограниченных функций. Если же X = L∞ , тоX 0 = {0}, этот случай тривиален. В остальных разделах работы для единства формулировок нам, однако, будет удобно под X 0 понимать именнозамыкание в X множества всех ограниченных функций.Для банахова пространства X и b > 0 пространство bX состоит из техже элементов, что и X, но с нормой kxkbX = bkxkX .Если F — банахово идеальное пространство функций на некотором множестве Ω, а υ — положительная функция (вес) на Ω, то через F (υ) будемобозначать банахово пространство с нормойkxkF (υ) := kx · υkF .681.2Теория интерполяцииОдним из первых утверждений об интерполяции операторов является следующая теорема, доказанная Торином в 1938 г., см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
