Диссертация (1154386), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Как следствие получена характеризация сильно экстраполяционных пространств Орлича, Лоренца, Марцинкевича, ОрличаЛоренца в терминах условий на параметры этих пространств.2. Понятие сильно экстраполяционного пространства перенесено на абстрактные интерполяционные шкалы. Доказана теорема, характеризующая абстрактные сильно экстраполяционные пространства в терминах параметра интерполяции.3. Доказаны новые экстраполяционные теоремы для операторов, действующих в пространствах Lp при p ∈ (p0 , ∞).4. Доказаны теоремы об устойчивости экстраполяционных конструкцийпо отношению к замене шкалы пространств {Lp } на шкалу пространствLp,q , позволяющие во многих случаях вычислять явно значения специальных экстраполяционных функторов.5. Доказаны экстраполяционные теоремы о линейных и сублинейныхоператорах, действующих из шкалы {Lp } в фиксированное квазинормиро21ванное полное пространство с операторной нормой, растущей при p → 1.6.
Получено экстраполяционное по отношению к шкале {Sp }p>1 идеалов Шаттена-фон Неймана описание широкого класса симметрично-нормированных идеалов. Доказана новая теорема о связи между попаданиемдействительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора в соответствующие операторные идеалы, аналогичная оригинальной теореме В. И.Мацаева для Sp , и обобщающая теорему Гохберга-Крейна для идеала, сопряженного к идеалу Мацаева.7.
На основе экстраполяционного описания симметричных пространствполучены новые условия единственности в классических степенных проблемах моментов Стильтьеса и Гамбургера.8. С привлечением экстраполяционной техники доказана теорема, характеризующая симметричные пространства, в которых разреженный хаосРадемахера образует безусловную базисную последовательность.Теоретическая и практическая значимость.Работа носит теоретический характер. Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [24, 26, 33, 37, 37, 38, 76, 77, 81,84, 85, 88, 89, 95, 96, 126, 129, 140, 151, 152, 159, 163, 169, 170, 172, 181, 182, 186–188, 203, 213]. В диссертации получила существенное развитие теория экстраполяции для шкалы пространств Lp на отрезке, что нашло отражение вэффективных приложениях теории, найденных автором, и также представленных в работе.
Среди этих приложений особенно отметим новые условияопределенности в классической проблеме моментов, важные для теории вероятностей и математической статистики. Ожидается, что результаты ра22боты найдут и другие полезные применения в теории вероятностей, таккак позволяют получать из моментных оценок случайных величин болееважные оценки для распределений. Доказанные в работе теоремы об описании пространств и экстраполяции операторов могут быть использованытакже в теории функций, гармоническом анализе, математической физике,дифференциальных уравнениях, так как в этих разделах анализа традиционно использование Lp -оценок на нормы функций и специальных операторов.
Следует отметить также, что построенные в работе разделы теорииэкстраполяции хорошо дополняют теорию интерполяции, предоставляютпоследней новые методы и позволяют обозначить границы применения иобратимости соответствующих интерполяционных конструкций.Степень достоверности и апробация результатов.Все результаты работы представлены в виде математических утверждений(леммы, теоремы, предложения и следствия из них) вместе со строгими математическими доказательствами.
Используемые в доказательствах методы и вспомогательные утверждения взяты автором из известных книг иливедущих математических журналов. Все выносимые на защиту результатыопубликованы в рецензируемых научных изданиях.Основные результаты диссертационной работы докладывались авторомна всероссийских и международных конференциях и математических школах: Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (2006 г.),Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2015, 2017 гг.), Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежныевопросы" (2005, 2007, 2011, 2015 гг.), Крымской осенней математической23школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (2014, 2015гг), Международной конференций "Математическая физика и ее приложения" в г.Самара (2008, 2010 гг.), Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г.
Самара (2009, 2011 гг.),Международной конференции "Harmonic Analysis and Approximations" вг. Цахкадзор, Армения (2008 г.), Международной конференции "The JozefMarcinkiewicz Centenary Conference" в г. Познань, Польша (2010 г.), Международной конференции "Banach Spaces Geometry" в г. Санкт-Петербург(2010 г.), Международной научной конференции "Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования" в г. Архангельск (2014 г.), Международной конференции "Современные методы ипроблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" в г.
Ростов-на-Дону (2015 г.), Международной конференции Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения"(2018 г.) и др.Основные положения изложенной в работе теории представлялись автором на семинаре по теории функций многих действительных переменныхи ее приложениям к задачам математической физики в Математическоминституте им. В.А. Стеклова РАН (Семинар С.М. Никольского, руководитель семинара член-корреспондент РАН О.В.
Бесов, 2007, 2016 гг.), наСанкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций(руководитель семинара академик С.В. Кисляков, 2017, 2018 гг.), на семинаре по теории функций действительного переменного МГУ (руководительсеминара академик Б.С. Кашин, 2017 г.), на семинаре кафедры Математического анализа и теории функций РУДН (руководитель семинара профессор В.И.
Буренков, 2017 г.), на семинаре Математического института24им. С.М. Никольского РУДН по дифференциальным и функциональнодифференциальным уравнениям (руководитель семинара профессор А.Л.Скубачевский, 2018 г.).О приложениях к проблеме моментов автор рассказывал на семинареЛаборатории Чебышева СПбГУ "Теория вероятностей"(2015 г.) и на Большом семинаре кафедры Теории вероятностей МГУ им М.В. Ломоносова(руководитель семинара академик РАН А.Н. Ширяев, 2017 г.).Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры Функционального анализа и теории функцийСамарского университета (руководитель семинара профессор С.В. Асташкин).Работа автора по теме диссертации была поддержана в разные годыгрантами РФФИ 07-01-96603-р_поволжье_а, 10-01-00077-а, 12-01-00198-а,14-01-31452-мол-а, 16-41-630676-р_а, 17-01-00138-а, 18-01-00414-a, а такжеМинистерством образования и науки РФ в рамках проекта 5-100.Публикации автора по теме диссертации.Основные результаты диссертации содержатся в работах [39–50,52–72,170–176].
Работы [39–42, 44–50, 170–172] опубликованы в изданиях, входящих вмеждународные реферативные базы данных и системы цитирования. Приэтом работы [42,44–50,171,172] (или их переводы) включены в базу данныхWeb of Science Core Collection. Отметим еще, что работы [170,172] являютсяобзорными статьями к книгах, и написаны по заказу редколлегий соответствующих изданий.25Личный вклад автора.Научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Дляполноты изложения и лучшей иллюстрации важных положений работыв текст диссертации включены некоторые результаты, полученные С.В.Асташкиным в совместных работах, а также результаты, в которых точновыделить роль каждого из соавторов не представляется возможным. Вовсех таких местах автором сделаны соответствующие пояснения.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Главы разбиты на параграфы, параграфы глав 3, 4 и 5 разбиты надподпараграфы, именуемые в работе разделами. Результаты автора изложены в главах 3, 4 и 5. Общий объем диссертации составляет 404 страницы.Библиография включает 213 наименований.В первой главе собраны основные обозначения, определения и предварительные сведения, касающиеся симметричных пространств и теорииинтерполяции.Во второй главе изложены результаты теории экстраполяции, полученные Бьёрном Яверсом, Марио Мильманом и Сергеем ВладимировичемАсташкиным. В параграфе 2.1 изложены базовые идеи и результаты абстрактной теории экстраполяции, полученные Б. Яверсом и М. Мильманом.
Цель этого параграфа в освещении идеологии и задач теории, а такжев обозначении границ результатов, которые можно получить с помощьюэкстраполяционных функторов ∆ и Σ, рассматриваемых указанными ав-26торами. Более общий метод построения экстраполяционных пространствпредложен С.В. Асташкиным, он рассматривается в параграфе 2.2. Изложение в настоящей диссертации результатов С.В. Асташкина имеет следующую основную цель: показать, насколько далеко можно продвинутьсяс помощью F-метода, работая с общими интерполяционными шкалами ине используя их специальных свойств. Кроме того, из результатов авторанастоящей работы, изложенных в последующих главах, следует, что дажете результаты для шкалы пространств {Lp [0, 1]}p<∞ и некоторых другихспециальных шкал, которые можно получить с помощью подхода ЯверсаМильмана или Асташкина, можно получить существенно проще, используя, во-первых, другие идеи, а во-вторых, специальные свойства конкретных шкалы.
Наконец, развитые автором идеи и методы показывают, что инекоторые общие результаты абстрактной теории экстраполяции, полученные в работах обозначенных авторов, могут быть получены более простымпутем.В третьей главе диссертации излагаются результаты автора об экстраполяционных свойствах шкалы пространств {Lp [0, 1]}p<∞ и близких шкал.В этой главе с помощью различных подходов найдено экстраполяционноеописание широкого класса симметричных пространств. Для симметричныхпространств конкретных классов (пространств Орлича, Лоренца, Марцинкевича, ультрасимметричных пространств и др.) в терминах параметровэтих пространств найдены необходимые и достаточные условия, при которых они допускают экстраполяционное описание определенного вида.В параграфе 3.1 исследуются общие свойства симметричных пространств, получаемых F-методом, а также изучаются вопросы соответствиясвойств сепарабельности и максимальности симметричного пространства27специальным свойствам параметра экстраполяции F .
Эти результаты, восновном, были получены еще в кандидатской диссертации автора [51] иприводятся в настоящей работе с целью полноты изложения и удобствассылок.Пусть F — банахово идеальной пространство функций, определенныхна [1, +∞), и L∞ ⊂ F . Paccмотрим множество LF функций x(t) на [0, 1]таких, чтоξ = ξ(p) := kxkp ∈ F.Теорема 3.1.1. LF — симметричное пространство с нормойkxkLF := kξkF .Симметричное пространство X будем назвать F-экстраполяционным,если X = LF для некоторого банахова идеального пространства F . В терминах описанного выше F-метода С.В. Асташкина, равенство X = LF можно записать также в виде X = F({Lp }16p<∞ ).В разделах 3.1.2 и 3.1.3 доказаны следующие критерии.Теорема 3.1.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
