Автореферат (1154385)
Текст из файла
На правах рукописиЛыков Константин ВладимировичТЕОРИЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИИДЛЯ ШКАЛ ТИПА ЛЕБЕГАИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯСпециальность 01.01.01 — вещественный, комплексныйи функциональный анализАвторефератдиссертации на соискание учёной степенидоктора физико-математических наукМосква — 2018Работа выполнена в Институте систем обработки изображений РАН — филиале Федерального государственного учреждения "Федеральный научноисследовательский центр "Кристаллография и фотоника" Российской академии наук"Научный консультант:Асташкин Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук,профессор, заведующий кафедрой функционального анализа и теории функций Самарского национального исследовательского университета имени академика С. П.
КоролеваОфициальные оппоненты:Семенов Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук,профессор, заведующий кафедрой теории функций и геометрии Воронежского государственного университетаХелемский Александр Яковлевич, доктор физико-математических наук,профессор, профессор кафедры теории функций и функционального анализаМосковского государственного университета имени М.В. ЛомоносоваШульман Виктор Семенович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики Вологодского государственного университетаВедущая организация:Санкт-Петербургское отделение математического института им.
В.А. Стеклова Российской академии наукЗащита состоится 25 декабря 2018 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при ФГАОУ ВО "Российский университетдружбы народов" по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495a .С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационномбиблиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.
6 и на сайте"Диссертационные советы РУДН" в сети интернет (http://dissovet.rudn.ru).Автореферат разослан2018 года.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.203.27д.ф.-м.н.Савин А.Ю.Общая характеристика работыАктуальность темы. Диссертация посвящена теории экстраполяциипространств и операторов.
В работе исследуются экстраполяционные свойства некоторых шкал банаховых пространств и приложения этих свойств кразличным проблемам анализа. В большей части работы используется шкала пространств Lp [0, 1]. Кроме этой шкалы рассматриваются шкалы пространств Lp,q [0, 1], `p , классов Шаттена-фон Неймана Sp , а также абстракт~ θ,q . В работе представлены экстраполяциных пространств Лионса-Петре Aонные описания предельных для рассматриваемых шкал пространств, приведены доказательства полученных автором новых экстраполяционных теоремдля линейных, сублинейных и произвольных операторов, а также описаныприменения построенной теории в некоторых разделах анализа.Отправной точкой теории экстраполяции принято считать работуяпонского математика Шигеки Яно1 , опубликованную в 1951 году. В этойработе была доказана следующая экстраполяционная теорема, связывающаяLp -оценки на оператор при p > 1 с оценками в более широких пространствах(специальный случай этого результата рассматривался ранее Титчмаршем иМарцинкевичем2,3 ).Теорема Яно.
Предположим, что оператор T определен на пространстве L1 [0, 1] и принимает значения в множестве измеримых функций на [0, 1], и пусть T удовлетворяет условию сублинейности: для некоPторого B > 0 и любых xj ∈ L1 [0, 1] таких, что ряд ∞j=1 xj сходится вL1 [0, 1] справедливо неравенство∞∞ X Xxj (t) 6 B|T xj (t)|Tj=1почти всюду на [0, 1].j=1Предположим также, что оператор T ограничен в Lp [0, 1] для каждогоp ∈ (1, p0 ), p0 > 1, иkT kLp →Lp 6 C(p − 1)−β , p ∈ (1, p0 ),(1)для некоторых β > 0 и C > 0, не зависящих от p. ТогдаT : L(log L)β → L1 ,1Yano S.
Notes on Fourier Analysis (XXIX): An extrapolation theorem // J. Math. Soc. Japan. – 1951. –V. 3. – No. 2. – P. 296–305.2Titchmarsh E. C. Additional note on conjugate functions // J. London Math. Soc. – 1929. – V. 4. – No. 3– P. 204–206.3Marcinkiewicz J. Sur l’interpolation II // Studia Mathematica. – 1936. – V. 6. – No.
1. – P. 67–81.3где пространство L(log L)β состоит из всех измеримых на [0, 1] функцийx(t) таких, чтоZ 1kxkL(log L)β =logβ (e/t)x∗ (t) dt < ∞0(x∗ (t) означает непрерывную слева невозрастающую перестановку функции|x(t)|).В своей работе Яно показал, что оценки для многих важных операторов анализа (таких, как максимальный оператор Харди-Литлвуда, операторперехода к сопряженной функции в гармоническом анализе и др., см. примеры операторов в 4 ) в пространствах, близких к L1 (логарифмических пространствах Лоренца) могут быть получены из Lp -неравенств для этих операторов, в то время как до работы Яно оценки в шкале {Lp } и в пространствахL(log L)β получались независимо.
Теорема Яно может также рассматриваться как обратное утверждение к хорошо теперь известным интерполяционнымтеоремам: оценки на нормы оператора в пространствах Lp влекут оценки всоответствующих предельных для этой шкалы пространствах. Поэтому теорема Яно называется экстраполяционной теоремой. В классической монографии А. Зигмунда5 представлена как теорема Яно, так и двойственный кней результат, также иногда называмый теоремой Яно.Теорема Зигмунда.
Если оператор T ограничен в Lp [0, 1] для всехp > p0 иkT kLp →Lp 6 Cp1/β , p ∈ (p0 , ∞),(2)для некоторого β > 0 с константой C > 0, не зависящей от p, тоT : L∞ → Exp Lβ ,где пространство Exp Lβ состоит из всех измеримых функций x(t) таких,чтоkxkExp Lβ = sup log−1/β (e/t)x∗ (t) < ∞.0<t61Позже эти результаты неоднократно переоткрывались (см., например,работы И.Б. Симоненко6 и В.И. Юдовича7 ), доказывались некоторые обоб4Hardy G. H., Littlewood J. E. A maximal theorem with function-theoretic applications // ActaMathematica. – 1930.
– V. 48. – P. 81–116.5Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2. – М.: Мир, 1965. – 538 с.6Симоненко И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича //Матем. сб. – 1964. – Т. 63. – № 4. – С. 536–553.7Юдович В. И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений // ДАН СССР. – 1961. – Т.138.
– № 4. – С. 805–803.4щения и уточнения (см., например, 8,9 ), но общей теории не было (ср. с развитием теории интерполяции от теорем Рисса-Торина и Марцинкевича до абстрактной теории). В конце 80-х – начале 90-х годов в серии работ Б. Яверса иМ. Мильмана были заложены основы общей (абстрактной) теории экстраполяции10,11,12,13,14,15 , которая изучает естественные предельные пространства,ассоциированные с различными интерполяционными шкалами, и допускающие распространение оценок на нормы соответствующих операторов. В этихработах было представлено много новых идей, перспективных связей с другими разделами анализа и интересных приложений. Следует сказать, что работы эти, имея фундаментальный характер, написаны "широкими мазками" иявляются скорее программой для действий, чем законченным исследованием.В связи с этим "потребители" экстраполяционной теории зачастую вынуждены сами получать нужные им конкретные результаты. Отметим здесь результаты новосибирского математика А.Е.
Мамонтова16,17,18,19,20,21 , построившегона основе интегральных преобразований теорию экстраполяции пространствОрлича относительно шкалы Lp для нужд дифференциальных уравнений8Flett T. M. A note on some inequalities // Glasgow Mathematical Journal. – 1958. – V. 4. – No. 1. –P. 7–15.9Kerman R. A. An integral extrapolation theorem with applications // Studia Mathematica. – 1983. – V.
76.– No. 3. – P. 183–195.10Jawerth B. Extrapolation theory and applications // in Conference at Special Year in Harmonic Analysis,MSRI, Berkeley, 1987.11Jawerth B., Milman M. A theory of extrapolation spaces. First applications // C. R. Acad. Sci. Paris, SeriesI. – 1989. – V. 308. – P. 175–179.12Jawerth B., Milman M.
A theory of extrapolation spaces. Further applications // C. R. Acad. Sci. Paris,Series I. – 1989. – V. 309. – P. 225–229.13Jawerth B., Milman M. Extrapolation Spaces with applications // Mem. of the Amer. Math. Soc. – 1991.– V. 89. – No. 440. – IV+82 pp.14Jawerth B., Milman M. New Results and Applications of Extrapolation Theory // Interpolation spaces andrelated topics, Haifa, 1990. Israel Math. Conference Proc., 5.
– 1992. – P. 81–105.15Milman M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis. – Berlin: SpringerVerlag, 1994. – 162 pp. (Lecture Notes in Math., V. 1580)16Мамонтов А. E. Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденныебыстро или медленно растущими N-функциями // Актуальные проблемы современной математики, Новосибирск, НГУ, 2.
– 1996. – С. 95–103.17Мамонтов А. E. Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича // Вестн. НГУ. Сер.матем., мех., информ. – 2006. – Т. 6. – В. 2. – С. 33–56.18Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования N –функций, I // Сиб. матем. ж. –2006. – Т. 47. – № 1. – С. 123–145.19Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования N –функций, II // Сиб.
матем. ж. –2006. – Т. 47. – № 4. – С. 811–830.20Mamontov A. E. Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions //Journal of Analysis and Applications. – 2006. – V. 4. – No. 42. – P. 77–118.21Мамонтов А. E. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича // Сиб.
электрон. матем. изв. – 2009. – Т. 6. –C. 120–165.5гидродинамики, а также моментные пространства израильского математика Е.И. Островского22,23,24 , используемые им и другими авторами25 в задачах случайных полей и математической статистики. Кроме того, работы Б.Яверса и М. Мильмана написаны на языке абстрактной теории интерполяции, доказательства не всегда полны, интерпретация для конкретных шкалпредставлена только в редких случаях. Последнее обстоятельство побудилонекоторых математиков дать независимые формулировки и доказательстварезультатов Яверса и Мильмана для специальных шкал, в основном для шкалы пространств Lp .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
