Автореферат (1154385), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для квазивогнутой функции ϕ = ϕ(t) наотрезке [0, 1] будем говорить, что она удовлетворяет ∆2 -условию и писатьϕ ∈ ∆2 , если для некоторой константы C > 0 и всех t ∈ [0, 1] выполняетсянеравенство ϕ(t) 6 Cϕ(t2 ).Определение 5 42 . Cимметричное пространство X называется ультрасимметричным, если оно является интерполяционным относительно банаховой пары (Λ(ϕ), M(ϕ)) (здесь и далее Λ(ϕ) и M(ϕ) — пространстваЛоренца и Марцинкевича соответственно с фундаментальной функцией ϕ).Теорема 3 (3.2.25).
Ультрасимметричное пространство X сильноэкстраполяционно тогда и только тогда, когда его фундаментальная функция удовлетворяет ∆2 -условию.Следующая теорема описывает сильно экстраполяционные пространства Орлича-Лоренца.Теорема 4 (3.2.36). (i) Если ϕ ∈ ∆2 , то ΛM (ϕ) ∈ SE и ΛM (ϕ) = LF ,где F — пространство Орлича LM (dm) на полуоси [1, ∞) с мерой dm =ϕ0 (e−p )e−p dp.(ii) Если же функция M удовлетворяет ∆2 -условию M (2u) 6 CM (u)для всех u > u0 , то верно и обратное: из ΛM (ϕ) ∈ SE следует ϕ ∈ ∆2 .Конструкция сильно экстраполяционного пространства включает широкий класс симметричных пространств, часто встречающихся в приложениях. Она также охватывает пространства из работ Яверса и Мильмана, получаемые функтором пересечения ∆ с умеренным весом.Понятие сильно экстраполяционного пространства переносится и надругие шкалы пространств.
В диссертации доказаны соответствующие теоремы для шкалы пространств числовых последовательностей {`p }1<p<∞ , шкалыклассов Шаттена-фон Неймана {Sp }1<p<∞ и абстрактной шкалы пространств~ θ,q }θ∈(0,1) вещественного метода интерполяции относительно вложенной ба{Aнаховой пары (A0 , A1 ), A0 ⊂ A1 .Теорема 5 (3.2.43). Пусть X — симметричное пространство односторонних числовых последовательностей, и норма в X имеет следующееинтерполяционное представление: n X ∗ ∞ ,kxkX xjj=142n=1FPustylnic E.
Ultrasymmetric spaces // Journal of the London Mathematical Society. – 2003. – V. 68. –No. 1. – P. 165–182.18где F — некоторое банахово идеальное пространство последовательностей.Предположим также, что в F действует ограниченно оператор S : {fn } →n{fn2 }. Тогда, если p(n) = loglogn−1при n > 3, и p(1) = p(2) = ∞, тоno∞ kxkX kxk`p(n) .n=1 FПусть теперь H — сепарабельное гильбертово пространство. Напомним, что класс Шаттена-фон Неймана Sp состоит из компактных оператоP1/pp∞ров T : H → H, для которых конечна норма kT kp :=, гдеj=1 sj{sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T , определяемая разложением Шмидта. С помощью теоремы 5 (3.2.43) в диссертацииполучен следующий результат об экстраполяционном описании симметричнонормированных идеалов компактных операторов, действующих в H.Теорема 6 (3.2.46).
Предположим, что банахово пространствоF удовлетворяет условию теоремы 5 (3.2.43), а X — симметричнонормированный идеал компактных операторов в гильбертовом пространстве H, определяемый условием конечности нормы n∞ X ,kT kX := sjj=1n=1Fгде {sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T .Тогда∞ kT kX kT kp(n) n=1 F ,где kT kp(n) — норма Шаттена-фон Неймана оператора T в Sp(n) при p(n) =log nlog n−1 , n > 3, и kT kp(1) = kT kp(2) := kT kH→H .В качестве примера приложения теоремы 6 (3.2.46) получен результато связи между попаданием действительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора в определенные симметрично-нормированные идеалы.
Напомним, что компактный оператор называется вольтерровым, если его спектрсостоит из одной точки {0}. Обозначим через11TR := (T + T ∗ ) и TJ := (T − T ∗ ),22iсоответственно, действительную и мнимую компоненту оператора T . Напомним, что согласно результату В.И. Мацаева43 , для вольтеррова оператора Tиз условия TJ ∈ Sp , 1 < p < ∞, следует TR ∈ Sp . Кроме того, если AJ ∈ S1 ,43Мацаев В. И. О вольтерровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных // ДокладыАН СССР. – 1961. – Т. 138. – № 4.
– С. 810–813.19то AR ∈ SΩ 44 , где симметрично-нормированный идеал SΩ состоит из операторов, для которых конечна нормаPnj=1 sj (A).kAkΩ := suplog(en)nОбобщением последнего результата является следующая теорема.Теорема 7 (3.2.48). Предположим, что симметрично-нормированный идеал X удовлетворяет условиям теоремы 6 (3.2.46), T — вольтерров оператор, и TJ ∈ X . Тогда TR ∈ X (log−1 ), где идеал X (log−1 ) определяется условием конечности нормы∞ nX1 .kT kX (log−1 ) := sj log(en)n=1j=1FЗавершает параграф 3.2 раздел 3.2.4, посвященный пространствам, интерполяционным относительно вложенной банаховой пары (A0 , A1 ). В этомразделе доказана следующая теорема.~ = (A0 , A1 ) — банахова пара, A0 ⊂ A1 ,Теорема 8 (3.2.50). Пусть Aа X — пространство K-метода вещественной интреполяции:~kxkX := kK(·, x; A)kF.Предположим, что в банаховом идеальном пространстве F ограничен операторS : f (t) → f (t2 ).Тогда для любого q ∈ [1, +∞]kxkX kxkθ(·),q · χ(e,+∞) (·)F ,где θ(t) = log−1 t, аkxkθ,q := (qθ(1 − θ))1qZ∞0q ds 1q~s K(s, x; A).s−θСледующие параграфы главы 3 посвящены экстраполяционному описанию широких классов пространств Орлича LM и Марцинкевича M(ϕ),включающих сильно экстраполяционные пространства Орлича и Марцинкевича как относительно узкий подкласс.44Гохберг И.
Ц, Крейн М. Г. К теории треугольных представлений несамосопряженных операторов //Доклады АН СССР. – 1961. – Т. 137. – № 5. – С. 1034–1037.20Теорема 9 (3.3.7). Пусть функция M при достаточно больших uимеет вид M (u) = eN (log u) , где N (t) — выпуклая функция, удовлетворяющаяусловию limt→∞ N (t)/t = ∞. Если для некоторого C справедливоZ ∞∗N (t)e6ept−N (p)+Cp dp при t > t0 ,1∗− N p(p)∗где N (p) = supt>0 {pt − N (t)}, то LM = LL∞ (ω) при ω = ω(p) = e.Эта теорема позволяет дать простое экстраполяционное описание дляширокого класса пространств Орлича, являющихся сильно экстраполяционными лишь в случае, когда 2N (t) 6 N (a + t) для некоторого a > 0 и всехt > 0.
В параграфе 3.3 приведены различные конкретные примеры, а также доказаны теоремы об экстраполяционном описании пространств Орличас другими условиями. Там же дана следующая экстраполяционная характеризация пространств Орлича, порожденных аналитическими функциями.Теорема 10 (3.3.22). Пусть∞XM (u) =ak |u|k , ak > 0.k=1Тогдаx ∈ LM⇔sup kxkp a1/pp < ∞.p∈NПараграф 3.4 посвящен вопросу устойчивости F-метода по отношениюк замене базовой шкалы {Lp }16p<∞ на шкалу {Lp,∞ }16p<∞ . Из абстрактнойтеории экстраполяции Яверса и Мильмана следует, что значения ∆-функторана шкалах {ω(p)Lp,q }16p<∞ при различных фиксированных значениях q совпадают, если только положительный вес ω(p) обладает свойством умеренности: ω(2p) 6 Cω(p). Оказывается, F-метод обладает также следующим свойством устойчивости, являющимся специфическим для шкалы пространств Lpна отрезке.Теорема 11 (3.4.1). Предположим, что в банаховом идеальном пространстве F ограниченно действует оператор T : f (p) → f (p + e−p ).
Тогдаkxk kxk .p Fp,∞ FЭта теорема показывает, что для описания F-экстраполяционных пространств по отношению к шкале {Lp }16p<∞ можно вычислять значения Fфунктора на шкале {Lp,∞ }16p<∞ . В случае, когда параметр экстраполяции Fсовпадает с пространством L∞ (ω(p)), этот способ оказывается особенно эффективным. Простое достаточное условие на вес функтора пересечения, прикотором получается пространство Марцинкевича, дает следующая теорема.21pТеорема 12 (3.4.10). Пусть ω(p) = ψ(e−p ) или ω(p) = ψ(e−e ) длянекоторой возрастающей функции ψ на [0, 1] со свойством ψ(et) 6 Cψ(t),0 6 t 6 1/e, и пусть функция ϕ определена по формулеϕ(t) sup ω(p) t1/p ,p>10 < t 6 1.Тогда имеет место экстраполяционное соотношение∆16p<∞ (ω(p)Lp ) = ∆16p<∞ (ω(p)Lp,∞ ) = M(ϕ).Кроме того, пространство Марцинкевича M(ϕ) совпадает с пространством Орлича LΦ , построенном по функции M , определяемой какΦ(u) = sup ω(p)p upp >1для всех u > 0.Представляет интерес и обратная задача: по заданному симметричному пространству понять, описывается ли оно как F-экстраполяционноепо отношению к шкале {Lp } и/или по отношению к шкале {Lp,∞ }, и когда соответствующие параметры экстраполяции совпадают.
В параграфе3.4 вводится класс EF0 пространств, получаемых с помощью F-метода, примененного к шкале {Lp,∞ }, и доказывается теорема, описывающая все Fэкстраполяционные по отношению к этой шкале пространства Марцинкевича. В частности, показано, что M(ϕ) ∈ EF0 тогда и только тогда, когдаϕ(t) eψ(log t) , где ψ(s) — выпуклая функция на (−∞, 0]. При этом оказывается, что как в случае шкалы {Lp,∞ }, так и в случае шкалы {Lp } всеF-экстраполяционные пространства Марцинкевича могут быть описаны и спомощью функтора пересечения ∆.Четвертая глава диссертации посвящена вопросам экстраполяции операторов, которые как раз и являлись основным мотивом для создания экстраполяционных функторов и конструкций.Конструкция сильно экстраполяционного пространства позволяет получать точные экстраполяционные теоремы для операторов с определеннымростом норм в шкале {Lp }.
Пусть пространство X(log−α ) состоит из всех таких измеримых функций x(t), что x∗∗ (t) log−α (e/t) ∈ X, и снабжено нормойRtkxkX(log−α ) = kx∗∗ (t) log−α (e/t)kX , где, как обычно, x∗∗ (t) = 1t 0 x∗ (s) ds.Теорема 13 (4.1.4). Пусть оператор T действует ограниченно впространствах Lp для всех p > p0 > 1, и для некоторых α > 0 и C > 0kT kLp →Lp 6 Cpα (p > p0 ).(∗)Тогда для произвольного сильно экстраполяционного симметричного пространства X оператор T действует ограниченно из X в X(log−α ).22Кроме того, существует удовлетворяющий условию (∗) линейныйоператор T0 со следующим свойством: если T0 ограничен из X ∈ SE в симметричное пространство Y , тоX(log−α ) ⊂ Y.В теореме 13 (4.1.4) предполагалось, что оператор имеет степеннойрост норм в шкале {Lp }p<∞ . Результаты параграфа 3.2 позволяют сформулировать аналогичные экстраполяционные теоремы для шкал {Lp,q }, {`p }, {Sp }~ θ,q .
Кроме того, результаты параграфов 3.3 и 3.4 позволяют сформулироиAвать и доказать подобные теоремы не только для сильно экстраполяционныхпространств. При этом рост норм операторов может быть произвольный, а нетолько степенной. В качестве иллюстрации приведем следующее утверждение.Теорема 14 (4.1.10). Предположим, что оператор T ограничен вLp [0, 1] для всех p ∈ (p0 , ∞), иkT kLp →Lp = b(p),p ∈ (p0 , ∞),b(p) ↑ +∞ при p → +∞.Пусть, кроме того, N0 (t) — выпуклая функция, limt→+∞ N0 (t)/t = +∞, апространство Орлича LM , построенное по функции M (u) = eN (log u) , гдеN (t) = (N0∗ (p) + p log b(p))∗ ,совпадает с пространством Марцинкевича.Тогда оператор T ограничен из LM0 в LM , где M0 (u) = eN0 (log u) .В параграфе 4.2 исследуется вопрос о распространении свойства ограниченности сублинейного оператора со значениями в фиксированном квазибанаховом пространстве, со шкалы пространств {Lp }p>1 на более широкиепространства. Фактически, речь идет о прямом обобщении классической теоремы Яно на случай квазинормированного образа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
