Автореферат (1154385), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Все выносимые на защиту результаты опубликованы в рецензируемых научных изданиях.Апробация результатов.Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на всероссийских и международных конференциях и математическихшколах: Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (2006 г.),Воронежской зимней математической школе "Современные методы теориифункций и смежные проблемы" (2015, 2017 гг.), Казанской летней научнойшколе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (2005, 2007, 2011, 2015 гг.), Крымской осенней математической школесимпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (2014, 2015 гг.),Международной конференций "Математическая физика и ее приложения" вг.Самара (2008, 2010 гг.), Всероссийской конференции "Дифференциальныеуравнения и их приложения" в г. Самара (2009, 2011 гг.), Международной конференции "Harmonic Analysis and Approximations" в г.
Цахкадзор,Армения (2008 г.), Международной конференции "The Jozef MarcinkiewiczCentenary Conference" в г. Познань, Польша (2010 г.), Международной конференции "Banach Spaces Geometry" в г. Санкт-Петербург (2010 г.), Международной конференции "Современные методы и проблемы теории операто13ров и гармонического анализа и их приложения" в г. Ростов-на-Дону (2015г.), Международной конференции Саратовская зимняя школа "Современныепроблемы теории функций и их приложения"(2018 г.).
Основные положениятеории представлялись автором на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН (Семинар С.М. Никольского, руководитель семинара чл.-корр. РАН О.В. Бесов, 2007, 2016 гг.),на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций(руководитель семинара академик С.В. Кисляков, 2017, 2018 гг.), на семинарепо теории функций действительного переменного МГУ (руководитель семинара академик Б.С.
Кашин, 2017 г.). О приложениях к проблеме моментовавтор рассказывал на семинаре Лаборатории Чебышева СПбГУ "Теория вероятностей"(2015 г.) и на Большом семинаре кафедры Теории вероятностейМГУ им М.В. Ломоносова (руководитель семинара академик РАН А.Н. Ширяев, 2017 г.). Кроме того, результаты работы неоднократно докладывалисьна семинаре кафедры Функционального анализа и теории функций Самарского университета (руководитель семинара профессор С.В.
Асташкин).Личный вклад автора. Научные результаты, выносимые на защитуи составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Для полноты изложения и лучшей иллюстрации важных положений работы в текст диссертации включены некоторые результаты,полученные С.В. Асташкиным в совместных работах, а также результаты, вкоторых точно выделить роль каждого из соавторов не представляется возможным.
Во всех таких местах автором сделаны соответствующие пояснения.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложеныв 15 публикациях — это статьи в журналах, соответствующих требованиямВАК. Все эти работы опубликованы в изданиях, входящих в международныереферативные базы данных и системы цитирования. При этом работы [3,612,14,15] (или их переводы) включены в базу данных Web of Science CoreCollection.
Отметим еще, что работы [13,15] являются обзорными статьями вкнигах, и написаны по заказу редколлегий соответствующих изданий.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы глав 3, 4 и 5 разбиты над подпараграфы (разделы). Результаты автора изложены в главах 3, 4 и 5. Общий объем диссертации составляет404 страницы. Библиография включает 213 наименований.Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, профессору, д.ф.-м.н., Асташкину Сергею Владимировичу и декануфакультета математики Самарского национального исследовательского уни14верситета имени академика С.П. Королева д.ф.-м.н.
Новикову Сергею Яковлевичу за постоянное внимание к работе и советы при подготовке настоящего текста, а также руководителю Института систем обработки изображенийРАН (ИСОИ РАН) — филиала Федерального государственного учреждения"Федеральный научно-исследовательский центр "Кристаллография и фотоника" Российской академии наук" д.ф.-м.н. Казанскому Николаю Львовичуи научному руководителю ИСОИ РАН академику РАН Сойферу ВикторуАлександровичу за поддержку во время работы над диссертацией.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научнойлитературы по изучаемой проблеме, формулируется цель и ставятся задачи.
Здесь же сформулированы основные результаты диссертации (без доказательства), обоснована их новизна и значимость.В первой главе собраны основные обозначения, определения и общиесведения о симметричных пространствах и теории интерполяции.Во второй главе изложены результаты теории экстраполяции, полученные Бьёрном Яверсом, Марио Мильманом и С.В. Асташкиным.В третьей главе диссертации излагаются результаты автора об экстраполяционных свойствах шкалы пространств {Lp [0, 1]}p<∞ и близких шкал.В этой главе с помощью различных подходов найдено экстраполяционноеописание широкого класса симметричных пространств.
Напомним, что банахово пространство X измеримых функций на [0, 1] называется симметричным, если из неравенства y ∗ (t) 6 x∗ (t) для всех t ∈ (0, 1] и условия x ∈ Xвытекает y ∈ X и kykX 6 kxkX (как и в теореме Яно выше, здесь и вездедалее x∗ означает невозрастающую функцию на (0, 1], равноизмеримую с |x|).Определение 1. Пусть F — банахово идеальное пространство функций, определенных на [1, +∞), и L∞ ⊂ F . Paccмотрим симметричное пространство LF , состоящее из функций x(t) на [0, 1] таких, чтоξ = ξ(p) := kxkp ∈ F,и наделенное нормойkxkLF := kξkF .Симметричное пространство X будем назвать F-экстраполяционным, еслиX = LF для некоторого банахова идеального пространства F .В параграфе 3.1 исследуются общие свойства F-экстраполяционныхсимметричных пространств, а также изучаются вопросы соответствиясвойств сепарабельности и максимальности симметричного пространства специальным свойствам параметра экстраполяции F .
Эти результаты, в основ15ном, были получены еще в кандидатской диссертации автора41 и приводятсяв настоящей работе с целью полноты изложения и удобства ссылок.Параграф 3.2 посвящен сильно экстраполяционным пространствам: ихсвойствам и характеризации. Понятие сильно экстраполяционного пространства введено автором в работе [1]. Для симметричного пространства X на[0, 1] через X̃ обозначим банахово пространство всех измеримых на [1, ∞)функций f таких, что f (log(e/t)) ∈ X иkf kX̃ := kf log(e/t) kX .Определение 2 (3.2.2). Будем говорить, что симметричное пространство X сильно экстраполяционно по отношению к шкале пространствLp (X ∈ SE), если X = LX̃ (с эквивалентностью норм).Таким образом, норма каждой функции в любом сильно экстраполяционном симметричном пространствеX эквивалентнанорме в X функцииt ∈ [0, 1] 7→ kxklog(e/t) , т.е. kxkX kxklog(e/t) X .Сразу отметим, что класс SE достаточно широк. В частности, пространства Exp Lβ , β > 0, фигурирующие в представленной выше экстраполяционной теореме Зигмунда, принадлежат классу SE.Для формулировки основной теоремы параграфа 3.2 нам понадобитсяследующее определение, обобщающее понятие умеренного веса, использованного Б.
Яверсом и М. Мильманом при изучении функторов Σ и ∆.Определение 3 (3.2.3). Банахова идеальное пространство F на[1, ∞) называется умеренным, если оператор Df (p) := f (2p) ограничен вF.В контексте F-метода экстраполяции мы будем говорить об умеренномпараметре экстраполяции. Свойство умеренности отвечает за устойчивостьF-метода по отношению к определенной смене интерполяционной шкалы, чтохорошо иллюстрируется следующей теоремой.Теорема 1 (3.2.4).
Для любого умеренного параметра экстраполяции F и любых двух измеримых функций q1 = q1 (p) и q2 = q2 (p) таких, чтоqi (p) ∈ [1, ∞] при всех i ∈ {0, 1} и p ∈ [1, ∞), справедливоkxkp, q1 (p) kxkp, q2 (p) .FFВ терминах F-метода это означает, чтоF {Lp,q1 (p) } = F {Lp,q2 (p) } .41Лыков К. В. Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp -шкалы.
Диссертацияканд. физ.-мат. наук, Самара, 2006. – 107 c.16Следующая теорема, являющаяся одной из самых важных в работе,характеризует сильно экстраполяционные пространства с различных точекзрения.Теорема 2 (3.2.5). Для любого симметричного пространства X на[0, 1] следующие условия эквивалентны:1) X ∈ SE;2) оператор Sx(t) = x(t2 ) ограничен в X;3) X = LF с некоторым умеренным параметром экстраполяции F ;4) с константами, не зависящими от x ∈ X и t > 0 выполняется соотношениеK(t, x; X, L∞ ) K(t, kxklog(e/·) ; X, L∞ ),где kxklog(e/s) обозначает Lp -норму функции x с p = log(e/s), s ∈ (0, 1];5) существуют 1 6 p 6= q < ∞ и банахово идеальное пространство G на[0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такие, чтоKX = (Lp , L∞ )KG = (Lq , L∞ )G ;6) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такое, что для каждого p > 1X = (Lp , L∞ )KG;7) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такое, что оператор T f (t) := f (t2 )/t ограничен вGиX = (L1 , L∞ )KG;8) с константами, не зависящими от x, имеет место следующая эквивалентность (дискретный вариант экстраполяционного соотношения)∞XkxkX kxkk χ(e−k ,e−k+1 ] ;Xk=19) для некоторого C > 0 и всех x ∈ X∞X∗kx χ(e−2k ,e−2k+1 ) kk χ(e−k ,e−k+1 ) 6 CkxkX ;Xk=110) для любого q ∈ [1, ∞]kxkX kxklog(e/·), q X ,где через kxklog(e/t), q обозначена норма функции x в пространстве Lp,q приp = log(e/t), и эта Lp,q -норма рассматривается как функция от t;11) существует такое q ∈ [1, ∞], чтоkxkX kxklog(e/·), q X .17Для некоторых конкретных классов симметричных пространств можно получить более удобные критерии сильной экстраполяционности.Определение 4 (3.2.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
