Автореферат (1154385), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Изучаются те свойства этой последовательности, которые важны в геометрии банаховых пространств. В частности, рассматриваются вопросы, связанные с безусловнойбазисностью этой последовательности.Как обычно, функции Радемахера определяются следующим образом:если 0 6 t 6 1, то rn (t) := sign(sin(2n πt)), n = 1, 2, . . .
Они стохастическинезависимы, симметрично распределены, и образуют неполную ортонормированную последовательность на [0, 1]. Согласно классическому неравенствуХинчина49 , для любого p > 1 и произвольных ak ∈ R, k = 1, 2, . . . ,∞1/2X∞X√2ak rk 6 pak.k=1Lp [0,1]k=1Неравенство Хинчина вызвало большое количество исследований и обобщений, оно нашло многочисленные применения в различных разделах анализа.В частности, по известной теореме Родина-Семенова50 последовательность{rn }∞n=1 эквивалентна в симметричном функциональном пространстве X каноническому базису в `2 тогда и только тогда, когда X ⊃ G2 , где G2 —сепарабельная часть пространства Орлича ExpL2 .Определение 7.
Хаосом Радемахера порядка d ∈ N будем называтьмножество всех функций вида ri1 i2 ...id (t) := ri1 (t) · ri2 (t) · . . . · rid (t), где i1 >i2 > . . . > id > 1.Напомним, что последовательность {xk }∞k=1 элементов банахова пространства X называется базисной, если она является базисом в замыканиисвоей линейной оболочки. Если же для любой биекции π : N → N последова∞тельность {xπ(k) }∞k=1 также будет базисной, то {xk }k=1 называется безусловной базисной последовательностью.Теорема 21 (5.3.9). Пусть d ∈ N, {xi }∞i=1 — последовательностьнезависимых симметрично распределенных функций (случайных величин)на [0, 1], xi 6= 0, i = 1, 2, . . .
, такая, что все функции видаxi1 i2 ...id = xi1 i2 ...id (t) := xi1 (t)xi2 (t) . . . xid (t), t ∈ [0, 1],принадлежат симметричному пространству X. Тогда последовательность {xi1 i2 ...ik }i1 >i2 >...>ik , k6d , рассматриваемая в лексикографическом порядке, является базисной в X.4950Khintchine A. Über dyadische Brüche // Mathematische Zeitschrift.
– 1923. – V. 18. – P. 109–116.Rodin V. A., Semyonov E. M. Rademacher series in symmetric spaces // Anal. Math. – 1975. – V. 1. –No. 3. – P. 207–222.29Следствие (5.3.11). Для произвольного натурального d xаос Радемахера {ri1 ri2 . . . rid }i1 >i2 >...id , рассматриваемый как подсистема системы Уолша в нумерации Пэли, является базисной последовательностью в любомсимметричном пространстве X.Раздел 5.3.4 посвящен вопросам безусловности хаоса Радемахера дробной комбинаторной размерности51 . Через |Z| мы обозначаем количество элементов конечного множества Z, а Nd := N × N × .
. . × N (d множителей), гдеN — множество натуральных чисел.Определение 8. Будем говорить, что множество A ⊂ Nd имеет комбинаторную размерность α, если1) существует C > 0 такое, что для любого набора множеств A1 , A2 , . . . , Ad ⊂N, |A1 | = |A2 | = . . . = |Ad | = m,|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| < Cmα ;2) cуществует c > 0 такое, что для любого m ∈ N найдутся множестваA1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N, |A1 | = |A2 | = . .
. = |Ad | = m, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > cmα .Известно, что для каждого вещественного α ∈ [1, d] существует множество размерности α 52 . В книге также показывается, что свойства многихобъектов, параметрически зависящих от подмножеств декартовых произведений счетных множеств, определяются не конкретной структурой этих подмножеств, а именно их комбинаторной размерностью. Отметим, что в самомтексте диссертации мы используем и другие, менее требовательные к множеству A, определения размерности.Через 4d , d ∈ N, будем обозначать “нижнетреугольную” часть Nd , т.е.4d := {(i1 , i2 , .
. . , id ) ∈ Nd : i1 > i2 > . . . > id }.Напомним также, что базисная последовательность {xj }j∈N в банаховом пространстве X называется RUD последовательностью53 , если для некоторогоD > 0, любых n ∈ N и aj ∈ R, j = 1, 2, . . . , n, выполняется неравенство nZ 1 X nX du. 6Daxr(u)axjjjjjj=151X0j=1XBlei R. Combinatorial dimension and certain norms in harmonic analysis // Amer. J. of Math.
– 1984. –V. 106. – No. 4. – P. 847–887.52Blei R. Analysis in Integer and Fractional Dimensions. – Cambridge Studies in Advanced Mathematics 71,Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2001.53Lopez-Abad J., Tradacete P. Bases of random unconditional convergence in Banach spaces // Transactionsof the AMS. – 2016. – V. 368. – No. 12. – P.
9001–9032.30В разделе 5.3.4 доказан, в частности, такой результат. При его доказательстве использовалось экстраполяционное описание пространств Орлича.Теорема 22 (5.3.18). Пусть X — пространство Орлича. Предположим также, что множество A ⊂ 4d имеет комбинаторную размерностьα > 1. Тогда следующие условия эквивалентны:1) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — безусловная базисная последовательность в X;2) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — RUD последовательность в X;3) последовательность {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A эквивалентна в X стандартномубазису `2 , т.е. для некоторой константы CX и всех последовательностей{ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A выполняются неравенстваX−1 CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 (A) 6 ai1 i2 ...id ri1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈A X6 CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A ` (A) ;24) X ⊃ ExpL2/α .В Заключении сделаны выводы об основных итогах работы, обозначены важнейшие теоретические результаты и наиболее эффектные приложения.Публикации автора по теме диссертации1.
Лыков К. В. Экстраполяция в шкале Lp -пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича // Вестник СамГУ.– 2006. – № 2 (42). – C. 28–43.2. Лыков К. В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства // Вестник СамГУ. – 2006. – № 4 (44). – C. 5–12.3.
Асташкин С. В., Лыков К. В. Экстраполяционное описание пространствЛоренца и Марцинкевича, близких к L∞ // Сиб. матем. журн. – 2006. –Т. 47. – № 5. – C. 974–992.4. Лыков К. В. О дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями // Вестник СамГУ. – 2006.– № 6/1 (46). – C. 47–63.5. Лыков К. В., Морозова Т. А., Суханов Р. C. Структура непрерывныхфункций в линейной оболочке хаосов Радемахера // Вестник СамГУ.
–2008. – № 6. – C. 123–138.316. Асташкин С. В., Лыков К. В. Сильно экстраполяционные пространстваи интерполяция // Сиб. матем. журн. – 2009. – Т. 50. – № 2. – C. 250–266.7. Лыков К. В. Некоторые замечания к проблеме моментов и ее связи стеорией экстраполяции пространств // Матем. заметки. – 2012. – Т. 91.– No. 1. – C. 79–92.8. Лыков К.
В. Новые условия единственности в классической проблемемоментов // Матем. заметки. – 2012. – Т. 92. – No. 6. – 893–903.9. Лыков К. В. Экстраполяция операторов, действующих в квазибанаховыпространства // Матем. сборник. – 2016. – Т. 207. – No. 1. – C. 93–122.10. Асташкин С. В., Лыков К. В. Разреженный хаос Радемахера в симметричных пространствах // Алгебра и Анализ. – 2016. – Т. 28. – No. 1. –C.
3–31.11. Лыков К. В. Любая случайная величина с конечными моментами естьсумма двух величин с определенной проблемой моментов // Теория вероятностей и её применения. – 2017. – Т. 62. – No. 4. – C. 787–797.12. Лыков К. В. Об экстраполяционных свойствах классов Шаттена-фонНеймана // Функц. анализ и его прил. – 2018. – Т. 52. – No. 1. – C.
70–75.13. Astashkin S., Lykov K. Extrapolation description of rearrangement invariantspaces and related problems // Banach and function spaces III (ISBFS 2009)(Kitakyushu, 2009). – Yokohama: Yokohama Publisher, 2011. – P. 1–52.14. Astashkin S. V., Lykov K. V., Mastylo M.
On extrapolation of rearrangementinvariant spaces // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. –2012. – V. 45. – No. 5. – P. 2735–2749.15. Astashkin S. V., Lykov K. V. Jawerth-Milman extrapolation theory: somerecent developments with applications // Functional Analysis, HarmonicAnalysis, and Image Processing: A Collection of Papers in Honor of BjörnJawerth, Contemporary Mathematics, 693, eds. Michael Cwikel, MarioMilman. – Providence, Rhode Island: AMS, 2017. – P.
7–53.32Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения.Лыков К. В.АннотацияВ диссертации изложены полученные автором новые результаты обэкстраполяции пространств и операторов. Подробно исследованы симметричные пространства (как функций, так и последовательностей), экстраполяционные относительно шкалы пространств Лебега, найдены точные экстраполяционные соотношения для норм таких пространств. Полученные соотношения были использованы автором для формулировки и доказательства новыхточных экстраполяционных теорем для линейных и сублинейных операторов.На основе экстраполяционных соотношений для норм получены новые условия определенности в классической степенной проблеме моментов, а такжекритерий безусловности для хаоса Радемахера с разреженным множествоминдексов.Extrapolation theory of Lebesgue type scales and its applications.Lykov K.
V.AnnotationIn the thesis, the author presents new results on the extrapolation ofspaces and operators. We investigate in detail the symmetric spaces (bothfunction spaces and sequence spaces), which are extrapolation with respect tothe scale of Lebesgue spaces. We found the exact extrapolation relations for thenorms of these spaces. The obtained relations were used to formulate and provenew exact extrapolation theorems for linear and sublinear operators. Using theextrapolation relations for norms, we obtained new conditions of determinatenessin the classical power moment problem, and also the criterion of unconditionessfor the Rademacher chaos with a sparse set of indices.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
