Автореферат (1154385), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Здесь следует отметить работы ярославского математикаЕ.И. Бережного26,27,28,29 , получившего простые доказательства точных экстраполяционных теорем для классических пространств Лоренца и Марцинкевича. Наконец, в работах Яверса и Мильмана исследованы только самыепростые экстраполяционные функторы суммы и пересечения, предложенныеранее Н. Ароншайном и Э. Гальярдо в теории интерполяции30 . Эти функторы, а также их прямые обобщения, появившиеся в абстрактном виде вработе31 , а в одном частном случае ранее в32,33 , не исчерпывают все экстраполяционные конструкции и не всегда удобны. Они легко вычисляются накрайних интерполяционных шкалах степенного типа, но обладают устойчивостью к замене шкалы только при некоторых ограничительных условиях навеса конструкции. С.В. Асташкиным было введено новое семейство экстра22Козаченко Ю.
В., Островский Е. И. Банаховы пространства случайных величин типа субгауссовских// Теория вероятн. и матем. стат. (Киев). – 1985. – Т. 32. – C. 42–53.23Островский Е. И. Экспоненциальные оценки для случайных полей и их применения. – Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики, 1999. – 350 с.24Ostrovsky E., Sirota L.
Moment Banach spaces: Theory and applications // HAIT Journal of Science andEngineering C. – 2007. – V. 4. – No. 1-2. – P. 233–262.25Kozachenko Yu. V., Mlavets’ Yu. Yu. The Banach spaces Fψ (Ω) of random variables // Theor. Probabilityand Math.Statist. – 2013. – No. 86. – P. 105–121.26Бережной Е. И., Перфильев А. А. Точная теорема экстраполяции для операторов // Функц. анализи его прил. – 2000. – Т.
34. – No. 3. – C. 66–68.27Бережной Е. И. Простое доказательсво теоремы экстраполяции для пространств Марцинкевича //Матем. заметки. – 2013. – Т. 93. – No. 6. – C. 939–943.28Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для пространств Лоренца // Сиб. матем. журн. –2013. – Т. 54. – No. 3. – C. 520–535.29Бережной Е. И.
Можно ли усилить экстраполяционную теорему Яно? // Функц. анализ и его прил.– 2015. – Т. 49. – No. 2. – C. 82–85.30Aronszajn N., Gagliardo E. Interpolation spaces and interpolation methods // Ann. Mat. Pura Appl. –1965. – V. 68. – No. 1. – P. 51–118.31Karadzhov G., Milman M. Extrapolation theory: New results and applications // J. Approx.
Theory. –2005. – V. 133. – No. 1. – P. 38–99.32Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к L∞ // Матем. заметки. –2001. – Т. 70. – No. 6. – С. 882–889.33Lukomskii S. F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces // East J. on Approx. – 2003. – V. 9. –No. 2. – P. 229–238.6поляционных функторов, названных позже F-методом34,35,36 , и совместно савтором настоящей работы начато их детальное изучение37,38,39,40 . В настоящей диссертации теория экстраполяции развивается преимущественно наоснове этих функторов.Опишем кратко некоторые идеи и конструкции Б. Яверса и М. Мильмана. В теории экстраполяции рассматривается семейство банаховых пространств A = {Aθ }θ∈Θ , индексированное с помощью некоторого множестваиндексов Θ. Эти пространства предполагаются совместимыми, т.е.
предполагается наличие некоторого хаусдорфова топологического векторного пространства TA такого, что имеют место непрерывные вложения Aθ ⊂ TA ,θ ∈ Θ. Пусть B = {Bθ }θ∈Θ — другое семейство банаховых пространств,индексированное тем же множеством Θ, и Bθ ⊂ TB , θ ∈ Θ. Будем писать1T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , если T — непрерывный линейный оператор из TA вTB , а его сужения на Aθ отображают Aθ в Bθ с нормой 6 1 для каждого θ ∈ Θ.Будем говорить, что банаховы пространства A и B являются экстраполяционными пространствами по отношению к семействам {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ ,1если из условия T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ следует, что T : A → B.
Экстраполяционный метод E означает функтор, определенный на наборе Dom(E)семейств совместимых пространств, и такой, что E({Aθ }θ∈Θ ) и E({Bθ }θ∈Θ )будут экстраполяционными пространствами для любых {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θиз Dom(E).Простейшими, но, в то же время, достаточно важными экстраполяционными методами являются функторы суммы и пересечения семейства банаховых пространств. Предположим, что {Aθ }θ∈Θ — такое семейство совместимых пространств, что для некоторого банахова пространства Σ имеют местонепрерывные вложения Aθ ⊂ Σ, θ ∈ Θ, с равномерно ограниченными норма34Асташкин С.
В. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp -пространств // Функцион. анализи его прил. – 2003. – Т. 37. – No. 3. – C. 73–77.35Асташкин С. В. Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp -пространств // Матем. сборник. – 2003.– Т. 194. – No. 6. – С. 23–42.36Асташкин С. В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции // Сиб. матем. журн.
– 2005. – Т. 46. – No. 2. – C. 264–289.37Асташкин С. В., Лыков К. В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича,близких к L∞ // Сиб. матем. журн. – 2006. – Т. 47. – № 5. – C. 974–992.38Асташкин С. В., Лыков К. В. Сильно экстраполяционные пространства и интерполяция // Сиб. матем.журн. – 2009. – Т. 50. – № 2. – C. 250–266.39Astashkin S., Lykov K. Extrapolation description of rearrangement invariant spaces and related problems// Banach and function spaces III (ISBFS 2009) (Kitakyushu, Japan, 2009). – Yokohama: Yokohama Publisher,2011.
– P. 1–52.40Astashkin S. V., Lykov K. V. Jawerth-Milman extrapolation theory: some recent developments withapplications // Functional Analysis, Harmonic Analysis, and Image Processing: A Collection of Papers in Honorof Björn Jawerth, Contemporary Mathematics, 693, eds. Michael Cwikel, Mario Milman. – Providence, RhodeIsland: AMS, 2017. – P.
7–53.7ми. Тогда множество∞∞noXXΣ(Aθ ) = a ∈ Σ : a =aj иkaj kAθj < ∞ (для каких-то θj ∈ Θ) ,j=1j=1Pс нормой kakΣ(Aθ ) = inf j kaj kAθj , где инфимум берется по всем представлеPниям a ∈ Σ(Aθ ) в виде a = j aj (со сходимостью в Σ), является банаховымпространством (при этом пространство Σ(Aθ ) не зависит от объемлющегопространства Σ). Аналогично, если имеют место равномерно ограниченныевложения ∆ ⊂ Aθ , θ ∈ Θ, для некоторого банахова пространства ∆, мы можем определить пересечение ∆(Aθ ) семейства {Aθ }θ∈Θ , которое состоит изTвсех a ∈ θ∈Θ Aθ таких, чтоkak∆(Aθ ) = sup kakAθ < ∞.θ∈ΘПусть теперь {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ — два семейства банаховых пространств такие, что для некоторых банаховых пространств ΣA и ΣB имеют место равномерные вложения Aθ ⊂ ΣA и Bθ ⊂ ΣB , и, следовательно,корректно определены пространства Σ(Aθ ) и Σ(Bθ ). Если T — непрерывный1линейный оператор из TA в TB такой, что T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , то из определения конструкции суммы Σ следует, что T ограничен из Σ(Aθ ) в Σ(Bθ ).Таким образом функтор Σ действительно является экстраполяционным методом.
Аналогичное утверждение верно для функтора ∆, при этом линейностьоператора T уже не нужна, так какkT ak∆(Bθ ) = sup kT akBθ 6 sup kakAθ = kak∆(Aθ ) .θ∈Θθ∈ΘВ частности, используя шкалу пространств {Lp } на отрезке [0, 1], несложно получить следующие соотношения:Σ1<p<p0 (p − 1)−β Lp = L(log L)β , Σ1<p<p0 (Lp ) = L1 ,и∆p>p0 (Lp ) = L∞ ,∆p>p0 p−1/β Lp = Exp Lβ .Поэтому теоремы Яно и Зигмунда являются простым следствием общего подхода Яверса и Мильмана. Привлечение новых экстраполяционных функторовдает, естественно, больше возможностей.
В работе 31 подробно рассмотреныфункторы ∆(r) и Σ(r) , являющиеся обобщением функторов ∆ и Σ. Авторырассматривают совместимую пару квазибанаховых пространств (A0 , A1 ) ишкалу пространств Aθ,r вещественного метода интерполяции с фиксированным r. Пространство, получаемое в результате применения функтора ∆(r) к8шкале {(M (θ)Aθ,r )}θ∈(θ0 ,θ1 ) , где M (θ) — положительная непрерывная функция на (θ0 , θ1 ), определяется нормой:Z θ 11/rrkf k∆(r) (M (θ)Aθ,r ) =M (θ)kf kAθ,r dθ.θ0В частном случае r = ∞ получаем функтор ∆. В статье Караджова и Мильмана рассмотрены также различные приложения описанных конструкций,в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типатеоремы Яно.
Еще больше возможностей возникает, если Lr -норму в рассмотренной конструкции заменить произвольным банаховым пространствомF . Соответствующий экстраполяционный функтор, называемый по аналогиис теорией интерполяции F-методом, был впервые предложен С.В. Асташкиным 35 . Опишем F-метод точнее.Пусть F — банахово идеальное пространство на множестве индексов Θ(которое предполагается измеримым пространством). Для заданного семейства совместимых банаховых пространств {Aθ }θ∈Θ , индексированного множеством Θ, определим банахово пространство F({Aθ }θ∈Θ ) всех таких a ∈ TA ,что функция θ ∈ Θ 7→ kakAθ принадлежит F , и снабдим это пространствонормойkakF({Aθ }θ∈Θ ) := kakAθ F .Ясно, что F-метод обобщает экстраполяционный функтор ∆, который получается при F = L∞ .
В диссертации F-метод применяется к шкалам{Lp [0, 1]}p<∞ , {Lp,q [0, 1]}p<∞ , {Lp,∞ [0, 1]}p<∞ , в которых роль θ играет па~ θ,q }θ∈(0,1) .раметр p, а Θ = [1, ∞), а также к шкалам {`p }p>1 , {Sp }p>1 и {AМы описываем результирующие пространства (которые мы называем Fэкстраполяционными), решая как прямые, так и обратные задачи экстраполяционного представления, формулируем и доказываем соответствующиеэкстраполяционные теоремы для операторов, а также применяем полученныерезультаты к некоторым классическим проблемам анализа.Закладывая фундамент абстрактной теории экстраполяции в конце 80х годов прошлого века, Б. Яверс и М.
Мильман, по-видимому, предполагали,что их идеи привлекут новые молодые силы, и вскоре на этой основе будетпостроено полноценное здание. Однако известный кризис математической науки, спад интереса к абстрактной математике, компьютерная революция исоответствующее смещение приоритетов в сторону дискретной математики,не позволили осуществиться их планам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
