Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1154385), страница 2

Файл №1154385 Автореферат (Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения) 2 страницаАвтореферат (1154385) страница 22019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Здесь следует отметить работы ярославского математикаЕ.И. Бережного26,27,28,29 , получившего простые доказательства точных экстраполяционных теорем для классических пространств Лоренца и Марцинкевича. Наконец, в работах Яверса и Мильмана исследованы только самыепростые экстраполяционные функторы суммы и пересечения, предложенныеранее Н. Ароншайном и Э. Гальярдо в теории интерполяции30 . Эти функторы, а также их прямые обобщения, появившиеся в абстрактном виде вработе31 , а в одном частном случае ранее в32,33 , не исчерпывают все экстраполяционные конструкции и не всегда удобны. Они легко вычисляются накрайних интерполяционных шкалах степенного типа, но обладают устойчивостью к замене шкалы только при некоторых ограничительных условиях навеса конструкции. С.В. Асташкиным было введено новое семейство экстра22Козаченко Ю.

В., Островский Е. И. Банаховы пространства случайных величин типа субгауссовских// Теория вероятн. и матем. стат. (Киев). – 1985. – Т. 32. – C. 42–53.23Островский Е. И. Экспоненциальные оценки для случайных полей и их применения. – Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики, 1999. – 350 с.24Ostrovsky E., Sirota L.

Moment Banach spaces: Theory and applications // HAIT Journal of Science andEngineering C. – 2007. – V. 4. – No. 1-2. – P. 233–262.25Kozachenko Yu. V., Mlavets’ Yu. Yu. The Banach spaces Fψ (Ω) of random variables // Theor. Probabilityand Math.Statist. – 2013. – No. 86. – P. 105–121.26Бережной Е. И., Перфильев А. А. Точная теорема экстраполяции для операторов // Функц. анализи его прил. – 2000. – Т.

34. – No. 3. – C. 66–68.27Бережной Е. И. Простое доказательсво теоремы экстраполяции для пространств Марцинкевича //Матем. заметки. – 2013. – Т. 93. – No. 6. – C. 939–943.28Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для пространств Лоренца // Сиб. матем. журн. –2013. – Т. 54. – No. 3. – C. 520–535.29Бережной Е. И.

Можно ли усилить экстраполяционную теорему Яно? // Функц. анализ и его прил.– 2015. – Т. 49. – No. 2. – C. 82–85.30Aronszajn N., Gagliardo E. Interpolation spaces and interpolation methods // Ann. Mat. Pura Appl. –1965. – V. 68. – No. 1. – P. 51–118.31Karadzhov G., Milman M. Extrapolation theory: New results and applications // J. Approx.

Theory. –2005. – V. 133. – No. 1. – P. 38–99.32Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к L∞ // Матем. заметки. –2001. – Т. 70. – No. 6. – С. 882–889.33Lukomskii S. F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces // East J. on Approx. – 2003. – V. 9. –No. 2. – P. 229–238.6поляционных функторов, названных позже F-методом34,35,36 , и совместно савтором настоящей работы начато их детальное изучение37,38,39,40 . В настоящей диссертации теория экстраполяции развивается преимущественно наоснове этих функторов.Опишем кратко некоторые идеи и конструкции Б. Яверса и М. Мильмана. В теории экстраполяции рассматривается семейство банаховых пространств A = {Aθ }θ∈Θ , индексированное с помощью некоторого множестваиндексов Θ. Эти пространства предполагаются совместимыми, т.е.

предполагается наличие некоторого хаусдорфова топологического векторного пространства TA такого, что имеют место непрерывные вложения Aθ ⊂ TA ,θ ∈ Θ. Пусть B = {Bθ }θ∈Θ — другое семейство банаховых пространств,индексированное тем же множеством Θ, и Bθ ⊂ TB , θ ∈ Θ. Будем писать1T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , если T — непрерывный линейный оператор из TA вTB , а его сужения на Aθ отображают Aθ в Bθ с нормой 6 1 для каждого θ ∈ Θ.Будем говорить, что банаховы пространства A и B являются экстраполяционными пространствами по отношению к семействам {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ ,1если из условия T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ следует, что T : A → B.

Экстраполяционный метод E означает функтор, определенный на наборе Dom(E)семейств совместимых пространств, и такой, что E({Aθ }θ∈Θ ) и E({Bθ }θ∈Θ )будут экстраполяционными пространствами для любых {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θиз Dom(E).Простейшими, но, в то же время, достаточно важными экстраполяционными методами являются функторы суммы и пересечения семейства банаховых пространств. Предположим, что {Aθ }θ∈Θ — такое семейство совместимых пространств, что для некоторого банахова пространства Σ имеют местонепрерывные вложения Aθ ⊂ Σ, θ ∈ Θ, с равномерно ограниченными норма34Асташкин С.

В. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp -пространств // Функцион. анализи его прил. – 2003. – Т. 37. – No. 3. – C. 73–77.35Асташкин С. В. Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp -пространств // Матем. сборник. – 2003.– Т. 194. – No. 6. – С. 23–42.36Асташкин С. В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции // Сиб. матем. журн.

– 2005. – Т. 46. – No. 2. – C. 264–289.37Асташкин С. В., Лыков К. В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича,близких к L∞ // Сиб. матем. журн. – 2006. – Т. 47. – № 5. – C. 974–992.38Асташкин С. В., Лыков К. В. Сильно экстраполяционные пространства и интерполяция // Сиб. матем.журн. – 2009. – Т. 50. – № 2. – C. 250–266.39Astashkin S., Lykov K. Extrapolation description of rearrangement invariant spaces and related problems// Banach and function spaces III (ISBFS 2009) (Kitakyushu, Japan, 2009). – Yokohama: Yokohama Publisher,2011.

– P. 1–52.40Astashkin S. V., Lykov K. V. Jawerth-Milman extrapolation theory: some recent developments withapplications // Functional Analysis, Harmonic Analysis, and Image Processing: A Collection of Papers in Honorof Björn Jawerth, Contemporary Mathematics, 693, eds. Michael Cwikel, Mario Milman. – Providence, RhodeIsland: AMS, 2017. – P.

7–53.7ми. Тогда множество∞∞noXXΣ(Aθ ) = a ∈ Σ : a =aj иkaj kAθj < ∞ (для каких-то θj ∈ Θ) ,j=1j=1Pс нормой kakΣ(Aθ ) = inf j kaj kAθj , где инфимум берется по всем представлеPниям a ∈ Σ(Aθ ) в виде a = j aj (со сходимостью в Σ), является банаховымпространством (при этом пространство Σ(Aθ ) не зависит от объемлющегопространства Σ). Аналогично, если имеют место равномерно ограниченныевложения ∆ ⊂ Aθ , θ ∈ Θ, для некоторого банахова пространства ∆, мы можем определить пересечение ∆(Aθ ) семейства {Aθ }θ∈Θ , которое состоит изTвсех a ∈ θ∈Θ Aθ таких, чтоkak∆(Aθ ) = sup kakAθ < ∞.θ∈ΘПусть теперь {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ — два семейства банаховых пространств такие, что для некоторых банаховых пространств ΣA и ΣB имеют место равномерные вложения Aθ ⊂ ΣA и Bθ ⊂ ΣB , и, следовательно,корректно определены пространства Σ(Aθ ) и Σ(Bθ ). Если T — непрерывный1линейный оператор из TA в TB такой, что T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , то из определения конструкции суммы Σ следует, что T ограничен из Σ(Aθ ) в Σ(Bθ ).Таким образом функтор Σ действительно является экстраполяционным методом.

Аналогичное утверждение верно для функтора ∆, при этом линейностьоператора T уже не нужна, так какkT ak∆(Bθ ) = sup kT akBθ 6 sup kakAθ = kak∆(Aθ ) .θ∈Θθ∈ΘВ частности, используя шкалу пространств {Lp } на отрезке [0, 1], несложно получить следующие соотношения:Σ1<p<p0 (p − 1)−β Lp = L(log L)β , Σ1<p<p0 (Lp ) = L1 ,и∆p>p0 (Lp ) = L∞ ,∆p>p0 p−1/β Lp = Exp Lβ .Поэтому теоремы Яно и Зигмунда являются простым следствием общего подхода Яверса и Мильмана. Привлечение новых экстраполяционных функторовдает, естественно, больше возможностей.

В работе 31 подробно рассмотреныфункторы ∆(r) и Σ(r) , являющиеся обобщением функторов ∆ и Σ. Авторырассматривают совместимую пару квазибанаховых пространств (A0 , A1 ) ишкалу пространств Aθ,r вещественного метода интерполяции с фиксированным r. Пространство, получаемое в результате применения функтора ∆(r) к8шкале {(M (θ)Aθ,r )}θ∈(θ0 ,θ1 ) , где M (θ) — положительная непрерывная функция на (θ0 , θ1 ), определяется нормой:Z θ 11/rrkf k∆(r) (M (θ)Aθ,r ) =M (θ)kf kAθ,r dθ.θ0В частном случае r = ∞ получаем функтор ∆. В статье Караджова и Мильмана рассмотрены также различные приложения описанных конструкций,в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типатеоремы Яно.

Еще больше возможностей возникает, если Lr -норму в рассмотренной конструкции заменить произвольным банаховым пространствомF . Соответствующий экстраполяционный функтор, называемый по аналогиис теорией интерполяции F-методом, был впервые предложен С.В. Асташкиным 35 . Опишем F-метод точнее.Пусть F — банахово идеальное пространство на множестве индексов Θ(которое предполагается измеримым пространством). Для заданного семейства совместимых банаховых пространств {Aθ }θ∈Θ , индексированного множеством Θ, определим банахово пространство F({Aθ }θ∈Θ ) всех таких a ∈ TA ,что функция θ ∈ Θ 7→ kakAθ принадлежит F , и снабдим это пространствонормойkakF({Aθ }θ∈Θ ) := kakAθ F .Ясно, что F-метод обобщает экстраполяционный функтор ∆, который получается при F = L∞ .

В диссертации F-метод применяется к шкалам{Lp [0, 1]}p<∞ , {Lp,q [0, 1]}p<∞ , {Lp,∞ [0, 1]}p<∞ , в которых роль θ играет па~ θ,q }θ∈(0,1) .раметр p, а Θ = [1, ∞), а также к шкалам {`p }p>1 , {Sp }p>1 и {AМы описываем результирующие пространства (которые мы называем Fэкстраполяционными), решая как прямые, так и обратные задачи экстраполяционного представления, формулируем и доказываем соответствующиеэкстраполяционные теоремы для операторов, а также применяем полученныерезультаты к некоторым классическим проблемам анализа.Закладывая фундамент абстрактной теории экстраполяции в конце 80х годов прошлого века, Б. Яверс и М.

Мильман, по-видимому, предполагали,что их идеи привлекут новые молодые силы, и вскоре на этой основе будетпостроено полноценное здание. Однако известный кризис математической науки, спад интереса к абстрактной математике, компьютерная революция исоответствующее смещение приоритетов в сторону дискретной математики,не позволили осуществиться их планам.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
453,72 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее