Автореферат (1154385), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Через S (соответственноS, S + ) обозначим множество всех измеримых почти всюду конечных (соответственно принимающих значения ±∞, неотрицательных с возможнымизначениями +∞) функций на [0, 1].Напомним, что векторное пространство Y называется квазибанаховымс константой K > 1, если оно полно относительно топологии квазинормы —функционала на Y , обладающего свойствами:1) kykY > 0 при y 6= 0, 2) kλykY = |λ|kykY , 3) ky + zkY 6 K(kykY + kzkY ).Если K = 1, то мы имеем дело с банаховым пространством.

В этом случаепри наличии условия поточечной оценки на оператор T как в теореме Янои оценок вида kT kLp →Y 6 τ (p) с помощью экстраполяционного функтора23Pсуммы Σ получаем, что оператор T ограничен из p>1 τ (p)Lp в Y . Если жеK > 1, то в общем случае можно говорить лишь о более узком пространPjстве ∞j=1 τ (pj )K Lpj . С помощью оптимизации выбора последовательности{pj }∞j=1 и свойства устойчивости, двойственного свойству устойчивости из параграфа 3.4, в случае специального роста τ (p) при p → 1, результирующеепространство можно вычислить явно.Теорема 15 (4.2.14).

Пусть Y — квазибанахово пространство,непрерывно вложенное в отделимое топологическое векторное пространство B. Предположим, что линейный оператор T для каждого p > 1 ограниченно действует из Lp [0, 1] в Y , p αkT kLp →Y 6 C, где C, α > 0 не зависят от p,p−1и, кроме того, T непрерывно действует из пространства Лоренца Λ(ψ) вB, гдеqαψ(t) := t log (b/t) exp A log log(b/t)√с некоторыми A > 2 α log K и b > eA+α+1 .Тогда T ограниченно действует из пространства Лоренца Λ(ψ) в Y .Аналогичный результат имеет место и для сублинейного оператора,принимающего значения в квазибанаховом идеальном пространстве (теорема4.2.17 диссертации). В некоторых случаях эти теоремы допускают уточнения.Определение 6 45 .

Квазибанахово пространство называется логарифмически выпуклым, если при некотором C > 0 в нем выполняется неравенство:∞ ∞XX xj (1 + log j)kxj kY . 6Cj=1Yj=1Например, пространство L1,∞ с квазинормойkxk1,∞ := sup tx∗ (t) = sup yµ{t : |x(t)| > y}y>0t∈(0,1]является логарифмически выпуклым46 .Для логарифмически выпуклого пространства-образа в разделе 4.2.5доказано следующее утверждение.Теорема 16 (4.2.23).

Пусть Y — логарифмически выпуклое идеальное пространство, Y ⊂ S, а T — сублинейный оператор, определенный наΛ(ψ), ψ(t)t logα (b/t) log log log(b/t), b > ee , и принимающий значения в S.45Kalton N. J. Convexity, type and the three space problem // Studia Mathematica. – 1981. – V. 69. – No. 3.– P. 247–287.46Stein E. M., Weiss E. M.

On the Convergence of Poisson Integrals // Transactions of the AMS. – 1969. –V. 140. – P. 35–54.24Тогда, если при всех p > 1 оператор T действует из Lp в Y с нормой p αkT kLp →Y 6 C,p−1то T действует ограниченно из Λ(ψ) в Y .В разделе 4.2.6 рассматриваются примеры, иллюстрирующие необходимость различных условий в сформулированных выше теоремах. В частности, доказан следующий результат, проявляющий некоторые трудности, возникающие при работе с ненормируемыми пространствами.Теорема 17 (4.2.25).

Пусть ψ(t) возрастающая непрерывная вогнутая функция на [0, 1], ψ(0) = 0, пространство Лоренца Λ(ψ) не совпадаетс L1 , а Y — квазибанахово ненормируемое идеальное пространство, Y ⊂ S.Тогда существует оператор, определенный на L1 , принимающий значенияв S + , и удовлетворяющий следующим свойствам:1) если |x| 6 |y| ∈ L1 , то T x 6 T y;2) T (λx) = |λ|T x для произвольных λ ∈ R и x ∈ L13)∞∞XXесли x =xi в L1 , то T x 6T xi ;i=1i=14)kT χA kY< ∞,A⊂[0,1] ψ(µA)supгде χA — индикатор множества A, µA— мера A;5)supx∈PkT xkY= ∞,kxkΛ(ψ)где P — множество всех конечнозначных функций.Пятая глава посвящена приложениям построенной в третьей главе теории и полученных в четвертой главе теорем об операторах к некоторым классическим проблемам анализа.

В частности, с помощью теории экстраполяциинайдены новые условия определенности в вероятностной проблеме моментови критерии безусловности разреженных хаосов Радемахера в симметричныхпространствах.В параграфе 5.2 исследуется связь между теорией экстраполяции иклассической проблемой моментов. Напомним, что моментом порядка n измеримой функции на [0, 1] называется величинаZ 1µn =x(t)n dt.025Аналогично определяются моменты случайной величины X, заданной на произвольном вероятностном пространстве. Обозначим через E линейное проTстранство p<∞ Lp .

Говорят, что функция x ∈ E имеет определенную проблему моментов Гамбургера (в этом случае мы пишем x ∈ D), если из условийy∈E иZZ11nx(t)n dt,y(t) dt =0для всех n ∈ N,0следует, что распределения у x и y совпадают, т.е.µ{t ∈ [0, 1] : x(t) > τ } = µ{t ∈ [0, 1] : y(t) > τ }для всех τ ∈ R.Если же такого свойства нет, то говорят, что проблема моментов Гамбургера неопределенная. Хорошо известно, что множества D и E\D не пусты.Так, если x стандартная гауссовская случайная величина, то x, x2 , x4 ∈ D,но x3 ∈ E\D 47 . Известно, что проблема моментов Гамбургера являетсяопределенной для каждой функции x, удовлетворяющей условию Крамера:Px ∈ ExpL, или более точному условию Карлемана: p∈N 1/kxkp = ∞, пишемx ∈ C. Следовательно, имеют место следующие строгие включенияL∞ ⊂ ExpL ⊂ C ⊂ D ⊂ E.Существенная часть параграфа 5.2 посвящена характеризации симметричных пространств, вложенных в C или D.

Отметим сразу, что аппроксимацияклассов C или D симметричными пространствами сверху не имеет смысла,это следует из следующего утверждения, доказанного автором в диссертации.Через EX мы обозначаем математическое ожидание случайной величины X.Теорема 18 (5.2.12). Пусть X ∈ E, т.е. X — случайная величина нанекотором вероятностном пространстве (Ω, F, P) такая, что E|X|n < ∞для всех n ∈ N.

Тогда существуют случайные величины Y и Z на том жевероятностном пространстве такие, что:1) X = Y + Z;2) Y и Z имеют дизъюнктные носители на Ω;3) Y (Ω) ∩ Z(Ω) ⊂ {0};4) для Y и Z также конечны все моменты, и, кроме того, выполнено условие Карлемана определенности проблемы моментов Гамбургера.В работе доказаны теоремы о симметричных пространствах с определенной проблемой моментов Гамбургера.

Приведем здесь результат для пространств Орлича. Напомним, что класс Орлича L̃M состоит из таких функR1ций x(t) на отрезке [0, 1], для которых 0 M (|x(t)|) dt < ∞. Через L0M мыобозначаем сепарабельную часть пространства Орлича LM .47Berg C. The Cube of a Normal Distribution is Indeterminate // Annals of Probability. – 1988. – V. 16. –No. 2. – P. 910–913.26Теорема 19 (5.2.22). Пусть функция Орлича M (u) удовлетворяетусловию: M (u)2 6 M (Cu) при некотором C > 0 и достаточно больших u.Тогда каждое из следующих включений1) LM ⊂ C, 2) LM ⊂ D, 3) L0M ⊂ C, 4) L0M ⊂ D, 5) L̃M ⊂ C, 6) L̃M ⊂ Dравносильно условиюZ∞7)1M 0 (u) du= ∞.M (u) uСледствие 1 (5.2.24). Предположим, что случайная величина ξ такова, что при достаточно большом C > 0 случайная величинаη=ξlog(|ξ| + C) · log log(|ξ| + C) · .

. . · log log . . . log(|ξ| + C)удовлетворяет условию Крамера: E exp(ε|η|) < ∞ для некоторого ε > 0.Тогда проблема моментов Гамбургера определенная для ξ.Следующий результат уточняет результат работы К.Берга47 о проблеме моментов для степеней стандартной гауссовской случайной величины g.Следствие 2 (5.2.25). Пусть a > 0, bi ∈ R, i = 1, 2, . . .

, n, и пустьC ∈ R такое, что n-кратный логарифм log log . . . log C корректно определен и положителен. Тогда проблема моментов Гамбургера для случайнойвеличиныη = sign(g) · |g|a · (log(|g| + C))b1 · (log log(|g| + C))b2 . . . (log log . . . log(|g| + C))bnопределенная тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующихn + 1 условий:1) a ∈ (0, 2); 2) a = 2, b1 < 1; . . . n) a = 2, b1 = .

. . = bn−2 = 1, bn−1 < 1;n+1) a = 2, b1 = . . . = bn−1 = 1, bn 6 1.В работе доказаны аналогичные утверждения и для классов C+ и D+ ,соответствующих проблеме моментов Стилтьеса. Мы пишем x ∈ D+ , если изусловий y ∈ E иZ 1Z 1n|y(t)| dt =|x(t)|n dt, для всех n ∈ N,00следует, что распределения функций |x| и |y| совпадают. Например, если xстандартная гауссовская случайная величина, то x, x2 , x3 , x4 ∈ D+ , но x5 ∈E\D+ 48 . Класс функций x ∈ E, удовлетворяющих следующему условиюXkxk−1/2= ∞,pp∈N48Stoyanov J. M. Counterexamples in Probability, Third edition. – New York: Dover Publications, 2013.27будем обозначать через C+ .

Известно, что C+ ⊂ D+ . В работе доказаны теоремы о вложениях симметричных пространств в классы C+ и D+ . Сформулируем здесь только результат о пространствах Орлича.Теорема 20 (5.2.31). Пусть функция Орлича M (u) удовлетворяетусловию: M (u)2 6 M (Cu) при некотором C > 0 и достаточно больших u.Тогда каждое из следующих включений1) LM ⊂ C+ , 2) LM ⊂ D+ , 3) L0M ⊂ C+ ,4) L0M ⊂ D+ , 5) L̃M ⊂ C+ , 6) L̃M ⊂ D+ ,равносильно условиюZ∞7)1M 0 (u) du√ = ∞.M (u) uВ параграфе 5.2 доказаны и другие утверждения, связанные с проблемой моментов.

Например, в разделе 5.2.2 показано что совпадение всех целыхмоментов не гарантирует неравенства kξkp 6 Ckηkp ни с какой константойC даже при фиксированном нецелом p, и, кроме того, отношение kξkp /kηkpможет быть неограниченным.Предложение 1 (5.2.1). Для любой последовательности {Cj }∞j=1положительных чисел существуют неотрицательные случайные величиныξ и η такие, что:1) Eξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈ N;2) для всех натуральных jEξ j+1/2> Cj .Eη j+1/2В разделе 5.2.5 показано, что важное для теории интерполяции свойство K-делимости не имеет прямого аналога для рассматриваемых экстраполяционных конструкций.Предложение 2 (5.2.11). Для каждого p > 1 существует невозрастающие неотрицательные функции x и yk , k ∈ N, такие, что:1) yk ∈ L∞ для всех k ∈ N;PP∞2) kxkq 6 k ∞всех q ∈ [1, ∞);k=1 yk kq 6k=1 kyk kq < ∞ дляP∞3) для произвольного представления x = k=1 xk (со сходимостью по мере)kxk kq= ∞.k∈N,q∈[p,∞) kyk kqsup28В параграфе 5.3 исследуется проблема поведения последовательности хаосов Радемахера в симметричных пространствах.

Характеристики

Список файлов диссертации