Автореферат (1154385), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Автор настоящей диссертационнойработы рассчитывает, что его исследования позволят придать теории экстраполяции новый импульс. Следует отметить также, что наибольший спросу потребителей теории экстраполяции имеет именно шкала пространств Lp ,9экстраполяционные свойства которой преимущественно и рассматриваютсяв настоящей работе, в то время как абстрактная теория не во всех вопросахпозволяет продвинуться достаточно глубоко при изучении специальных вопросов. Автор считает, что ему удалось придать некоторым разделам теорииэкстраполяции в шкале пространств Lp и в близких шкалах завершеннуюформу.
Кроме того, результаты диссертации делают теорию более ясной и,одновременно, более доступной специалистам из других областей математики. Анализ работ по дифференциальным уравнениям, математической физике, теории вероятностей и др. разделам математики, в которых используютсяразличные варианты экстраполяционных теорем,показывает, что имеется назревшая необходимость в более точных и более конкретных результатах, чемимеющиеся в абстрактной теории. Все отмеченное, несомненно, доказываетактуальность выбранного в работе направления исследований и полученныхрезультатов.Отметим также, что работа автора по теме диссертации была поддержана в разные годы грантами РФФИ 07-01-96603-р_поволжье_а, 10-0100077-а, 12-01-00198-а, 14-01-31452-мол-а, 16-41-630676-р_а, 17-01-00138-а, 1801-00414-a, а также Министерством образования и науки РФ (проект 5-100).Цели и задачи диссертационной работы.
Основной целью диссертационной работы является построение теории экстраполяции для шкалыпространств {Lp [0, 1]}p<∞ и близких шкал, учитывающей особенности этихшкал, и получение как специальных для этих шкал результатов, не вытекающих из общей теории экстраполяции, так и результатов, которые могут бытьполезны и для развития общей теории. Под теорией экстраполяции мы понимаем структурированный набор понятий, определений, строго доказанныхутверждений и свойств изучаемых объектов, каковыми являются экстраполяционные функторы и экстраполяционные пространства, с обозначеннымивнутренними связями, позволяющий эффективно использовать свои компоненты для приложений в различных разделах математики.
Для достиженияэтой цели в диссертации рассматриваются следующие основные задачи.1. Изучить свойства F-экстраполяционных пространств.2. Описать симметричные пространства, которые можно получить Fметодом экстраполяции.3. Получить соотношения, позволяющие по симметричному пространствувосстанавливать параметр экстраполяции.4. Установить связь между экстраполяционным и интерполяционным описанием симметричного пространства.105. Охарактеризовать F-экстраполяционные пространства из специальныхклассов симметричных пространств с помощью условий на параметры,идентифицирующие конкретное пространство в классе.6.
Исследовать свойство устойчивости F-метода по отношению к заменешкалы {Lp [0, 1]}p<∞ на шкалу {Lp,q [0, 1]}p<∞,q=q(p) .7. Получить экстраполяционные теоремы для линейных и сублинейныхоператоров.8. Получить эффективные приложения построенной теории к некоторымклассическим задачам анализа.Следует отметить также, что некоторые специальные конструкции, первоначально использованные автором для работы со шкалой пространств{Lp [0, 1]}p<∞ , удалось перенести и на общие интерполяционные шкалы, чтотакже отражено в настоящей работе.Методы исследования. В работе используются методы теории интерполяции пространств и операторов, теории симметричных пространств,теории банаховых решеток, а также общие методы функционального анализаи теории функций.
В отдельных местах работы применяются комбинаторныеи вероятностные методы. Важным инструментарием в доказательствах основных теорем является также разработанный автором метод оценок норминтерполяционных пространств через суммы значений K-функционалов вспециальных точках, определяемых оператором степенного растяжения.Основные положения, выносимые на защиту.
В работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту.1. Доказана теорема о характеризации сильно экстраполяционных симметричных пространств на отрезке [0, 1]. В теореме доказана равносильность различных условий, среди которых сильная экстраполяционность,а также условия на параметр интерполяции, на параметр экстраполяциии на само симметричное пространство, сформулированные в терминахограниченности специальных операторов. Как следствие получена характеризация сильно экстраполяционных пространств Орлича, Лоренца, Марцинкевича, Орлича-Лоренца в терминах условий на параметрыэтих пространств.2.
Понятие сильно экстраполяционного пространства перенесено на симметричные пространства последовательностей. Как следствие полученоэкстраполяционное описание предельных для шкалы классов Шаттенафон Неймана симметрично-нормированных идеалов. Доказана теорема о11принадлежности действительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора определенным предельным симметрично-нормированным идеалам, аналогичная теореме Мацаева для классов Шаттена-фон Неймана.3. Понятие сильно экстраполяционного пространства перенесено на абстрактные интерполяционные шкалы.
Доказана теорема, характеризующая абстрактные сильно экстраполяционные пространства в терминахпараметра интерполяции.4. Доказаны теоремы об устойчивости экстраполяционных конструкций поотношению к замене шкалы пространств {Lp } на шкалу пространствLp,q , позволяющие во многих случаях вычислять явно значения специальных экстраполяционных функторов.5. Доказаны новые экстраполяционные теоремы для операторов, действующих в пространствах Lp при p ∈ (p0 , ∞).6. Доказаны экстраполяционные теоремы о линейных и сублинейных операторах, действующих из шкалы {Lp } в фиксированное квазинормированное полное пространство с операторной нормой, растущей при p → 1.7. На основе экстраполяционного описания симметричных пространств получены новые условия единственности в классических степенных проблемах моментов Стильтьеса и Гамбургера.8.
С привлечением экстраполяционной техники доказана теорема, характеризующая симметричные пространства, в которых разреженный хаосРадемахера образует безусловную базисную последовательность.Научная новизна. Все выносимые на защиту диссертации результаты являются новыми. Автором впервые выделена явная и простая связь между параметрами интерполяции и экстраполяции, которая позволила дать новые экстраполяционные представления для важных в анализе пространств, атакже объединить под единой конструкцией известные разрозненные результаты других авторов и объяснить общее происхождение возникавших ранееотдельных экстраполяционных соотношений.Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер. Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений 13−25,32,33 . В диссертации получила существенное развитие теория экстраполяции для шкалы пространств Lp на отрезке, что нашло12отражение в эффективных приложениях теории, найденных автором, и также представленных в работе.
Среди этих приложений особенно отметим новые условия определенности в классической проблеме моментов, важные длятеории вероятностей и математической статистики. Ожидается, что результаты работы найдут и другие полезные применения в теории вероятностей,так как позволяют получать из моментных оценок случайных величин болееважные оценки для распределений. Доказанные в работе теоремы об описании пространств и экстраполяции операторов могут быть использованытакже в теории функций, гармоническом анализе, математической физике,дифференциальных уравнениях, так как в этих разделах анализа традиционно использование Lp -оценок на нормы функций и специальных операторов.Следует отметить также, что построенные в работе разделы теории экстраполяции хорошо дополняют теорию интерполяции, предоставляют последнейновые методы и позволяют обозначить границы применения и обратимостисоответствующих интерполяционных конструкций.Степень достоверности результатов.
Все результаты работыпредставлены в виде математических утверждений (леммы, теоремы, предложения и следствия из них) вместе со строгими математическими доказательствами. Используемые в доказательствах методы и вспомогательные утверждения взяты автором из известных книг или авторитетных математическихжурналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
