Диссертация (1154386), страница 10
Текст из файла (страница 10)
[90,208–210]. Она обобщает и уточняет более раннее утверждение М. Рисса о билинейных формах [195].Интерполяционная теорема Рисса-Торина. Пусть 1 6 p0 , p1 , r0 , r1 6∞. Предположим, что T — линейный оператор, являющийся одновременно непрерывным оператором из Lp0 в Lr0 и из Lp1 в Lr1 :kT xkr0 6 M0 kxkp0 ,kT xkr1 6 M0 kxkp1 .Тогда при любом θ ∈ (0, 1) оператор T ограничен из Lp в Lr , где1 1−θθ+ ,=pp0p11 1−θθ+ .=rr0r1При этом в случае комплексных пространствkT kLp →Lr 6 M01−θ M1θ ,а в случае вещественных пространствkT kLp →Lr 6 2M01−θ M1θ .Отметим, что в некоторых важных случаях двойку в последнем неравенстве можно убрать даже в вещественном случае.
В частности, это можно сделать в случае, если T — положительный оператор [34, теорема 2.5],а также для произвольных операторов в следующем важном для настоящей работы случае: p0 = r0 и p1 = r1 (одновременно) [34, пункт 10.4].69Поэтому норма любого линейного оператора, ограниченного в Lp0 и Lp1 ,1 6 p0 < p1 6 ∞ удовлетворяет неравенствуθkT kLp →Lp 6 kT k1−θLp →Lp kT kLp001→Lp1приθ1 1−θ=+ .pp0p1(1.5)Таким образом функция f (x) = log kT kL1/x →L1/x является выпуклой на интервале (1/p1 , 1/p0 ). Кроме того, справедливо следующее утверждение.Лемма 1.2.1. Если линейный оператор T ограничен в Lp0 и Lp1 , 1 6 p0 <p1 6 ∞, то функцияf (p) = p log kT kLp →Lpвыпукла на интервале (p0 , p1 ).Доказательство.
Обозначим b(p) := kT kLp →Lp . Нам нужно доказать, чтодля любого α ∈ (0, 1) и любых x, y ∈ (p0 , p1 )((1 − α)x + αy) log b((1 − α)x + αy) 6 (1 − α)x log b(x) + αy log b(y).Обозначим p = (1 − α)x + αy, θ = αy/p ∈ (0, 1). Тогда1−θ =p − αy(1 − α)x=,ppи1 1−α α 1−θ θ=+ =+ .pppxyСледовательноb(p) 6 b(x)1−θ b(y)θиlog b(p) 6 (1 − θ) log b(x) + θ log b(y).Тогдаp log b(p) 6 (1 − θ)p log b(x) + θp log b(y) = (1 − α)x log b(x) + αy log b(y).70Дальнейшие исследования по интерполяции операторов привели ряд авторов к созданию общих подходов и методов получения интерполяционныхтеорем.
Одним из наиболее развитых, удобных и полезных в приложенияхметодов является метод вещественной интерполяции, основы которого мыкратко изложим.~ = (A0 , A1 ) — банахова пара (т.е. A0 и A1 это банаховы пространЕсли Aства, линейно и непрерывно вложенные в общее хаусдорфово топологиче~ = A0 ∩ A1 и Σ(A)~ = A0 + A1ское векторное пространство), то через ∆(A)обозначим пересечение и алгебраическую сумму A0 и A1 с нормамиkak∆(A)~ := max {kakX0 , kakA1 }иkakΣ(A)~ := inf {ka0 kA0 + ka1 kA1 : a = a0 + a1 , ai ∈ Ai , i = 0, 1} ,соответственно. Банахово пространство A называется промежуточным~ ⊂ A ⊂ Σ(A).~ Пространства A ипространством между A0 и A1 , если ∆(A)~иB называются интерполяционными пространствами по отношению к A~ если A и B промежуточные пространства по отношению к A~ и B,~ соотB,~→B~ (это означает, что T линейный оператор такой,ветственно, и из T : Aчто T : A0 + A1 → B0 + B1 и T отображает непрерывно Ai в Bi , i = 0, 1)следует, что T : A → B.
Если, дополнительно, kT kA→B 6 max kT kAi →Bi , тоi=0,1A и B называются точными интерполяционными пространствами. Функтор I, определенный на банаховых парах и такой, что I(T ) = T для всех~ → B,~ а I(A)~ и I(B)~ интерполяционные пространства по отношениюT : A~ иB~ для любых таких пар называется интерполяционным методом.кAМетод I называется точным, если I дает точные интерполяционные про1−θстранства. Кроме того, если kT kI(A)→I((kT kA1 →B1 )θ , для~~ 6 (kT kA0 →B0 )B)71некоторого 0 < θ < 1, то I называется точным степени θ.Напомним, что для произвольной квазивогнутой функции ρ (т.е.
такой,что ρ(t) возрастает и ρ(t)/t убывает) и 1 6 q 6 ∞, пространство веще~Kственного K–метода интерполяции Aρ,q состоит из всех a ∈ A0 + A1 таких,чтоZ∞ kakA~ Kρ,q := K(t, a; A0 , A1 )ρ(t)q1/qdt t< ∞ если q < ∞0иK(t, a; A0 , A1 )< ∞,ρ(t)0<t<∞kakA~ Kρ,∞ := supгде K–функционал Петре определяется следующим образом:~ = inf{ka0 kA + tka1 kA : a = a0 + a1 , ai ∈ Ai , i = 0, 1}.K(t, a; A)01~ Jρ,q состоит из всехПространство вещественного J –метода интерполяции Aa ∈ A0 + A1 таких, чтоZ∞ kakA~ Jρ,q := inf J (t, u(t); A0 , A1 )ρ(t)q1/qdt t< ∞ если q < ∞0иJ (t, u(t); A0 , A1 )< ∞,ρ(t)0<t<∞kakA~ Jρ,∞ := inf sup~ := max{kak , tkak }, и инфимум беретсягде J -функционал J (t, a; A)A0A1R∞dt~ со строго изпо всем представлениям a = 0 u(t) t (сходимость в Σ(A))~ В частности, если ρ(t) = tθ ,меримой функцией u(t) : (0, ∞) → ∆(A).~K и A~ J , соответствен0 < θ < 1, эти пространства обозначаются через Aθ,qθ,qно.
Подставляя вместо весового пространства Lq (1/ρ)([0, ∞), dt/t) банахову идеальную решетку F , промежуточную по отношению к паре пространств L~∞ = (L∞ , L∞ (1/t)) (соответственно L~1 = (L1 , L1 (1/t))) измери72мых функций на ([0, ∞), dt/t), можно получить произвольное простран~ K (соответственно J -методаство вещественного K-метода интерполяции AF~ J ). Например, норма в A~ K определяется равенствоминтерполяции AFFkakA~ K = K(t, a, Ā)F < ∞,FЛюбой функтор вещественного K-или J –метода точный.Характеристическая функция ρ интерполяционного функтора I определяется формулой11I(R, R) =R, t > 0.tρ(t)Если I точный, то характеристическая функция квазивогнута. Обратно,если ρ(t) квазивогнута, то существует много точных интерполяционныхфункторов с характеристической функцией ρ, и среди них функтор веще~J~Kственного метода интерполяции Aρ,∞ максимален, а Aρ,1 минимален.
Болееточно, если I точный интерполяционный функтор с характеристическойфункцией ρ, то11~J ⊂~ ⊂~KAI(A)Aρ,∞ρ,1(1.6)~ (см. [153] или [190]).для любой банаховой пары A~ и промежуточного по отношению к этойДля данной банаховой пары A~ в A. Кроме того,паре пространства A через A◦ обозначим замыкание ∆(A)~ т.е. множествопусть Ã это пополнение по Гальярдо пространства A в Σ(A),~ представимых как Σ(A)-пределы~всех элементов a ∈ Σ(A),ограниченныхпоследовательностей в A. Тогда (см., например, [190]) a ∈ Ãi , i = 0, 1, тогдаи только тогда, когдаkakÃi = supt>0~K(t, a, A)< ∞.ti73~ называется взаимно замкнутой если Ai = Ãi , i = 0, 1 (сБанахова пара Aэквивалентностью норм). Для каждой такой пары имеет место следующаясильная форма "Фундаментальной леммы" [121] (см.
также [131, 132]).~ — взаимно замкнуФундаментальная лемма. Предположим, что A~ ◦ тогда и только тогда, когда естьтая банахова пара. Тогда a ∈ Σ(A)R∞представление a = 0 u(s) dss такое, чтоZ∞t~ ds 6 γK(t, a; A),~ t > 0,min(1, )J (s, u(s); A)ss0с некоторой универсальной константой γ.Заметим, что противоположное неравенство~ 6K(t, a; A)Z∞~min(1, t/s)J (s, u(s); A)ds, t > 0,s0для любого представления a =R∞0u(s) dss следует непосредственно из нера-венства треугольника.Напомним еще, что положительным интерполяционным функторомF+ , действующим на некотором классе совместимых пар банаховых решеток, называется такое соответствие~ = (X0 , X1 ) → F+ (X),~X~ — промежуточная по отношению к паре X~ банахова решетка,где F+ (X)что любой линейный положительный оператор T , действующий ограни~ в F+ (Y~ ).ченно из Xi в Yi , i ∈ {1, 2}, оказывается ограниченным и из F+ (X)Положительность оператора T означает, что T x > 0 при x > 0.
В качествепримера приведем конструкцию Кальдерона-Лозановского.~ = (X0 , X1 ) — банахова пара идеальных пространств на некоПусть Xтором пространстве с мерой (Ω, ν), а φ : [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞) — неубы74вающая по каждой переменной и положительно однородная функция, т.е.φ(λs, λt) = λφ(s, t) для всех λ, s, t > 0, и φ(0, 0) = 0. Пространство Кальде~ := φ(X0 , X1 ) состоит из всех функций x ∈ S(Ω)рона-Лозановского φ(X)таких, что для некоторых λ > 0 и xj ∈ Xj , kxj kXj 6 1, j = 0, 1, выполняется неравенство |x| 6 λφ(|x0 |, |x1 |) почти всюду на Ω по мере ν.~ будет банаховой решеткой с нормой [35, 36]Пространство φ(X)kxkφ(X)~ := inf λ > 0 : |x| 6 λφ(|x0 |, |x1 |), kx0 kX0 6 1, kx1 kX1 6 1 .~ пространВ случае степенной функции φ(s, t) = s1−θ tθ с 0 < θ < 1, φ(X)~ совпадает с пространством Кальдерона, обозначаемом обычноство φ(X)через X01−θ X1θ [122].
Построенное отображение F+ (·) := φ(·) является точным положительным интерполяционным функтором на классе совместимых пар идеальных банаховых пространств [93].Предположим, что M : [0, ∞) → [0, ∞) — функция Орлича. Положимφ(s, t) := tM −1 (s/t) при t > 0, и φ(s, t) = 0 при t = 0, где M −1 — непрерывное справа обращение функции M .
Несложно видеть, что для любогопространства Лоренца Λ(ϕ) справедливо равенствоφ(Λ(ϕ), L∞ ) = ΛM (ϕ),(1.7)где ΛM (ϕ) — пространство Орлича-Лоренца, определенное в параграфе 1.1.Более подробно с теорией интерполяции можно познакомиться по книгам [11, 108, 121].75Глава 2Абстрактная теорияэкстраполяции пространстви операторов2.1Теория экстраполяции Бьёрна Яверса иМарио МильманаПодход Яверса и Мильмана к проблеме идентификации экстраполяционных пространств основывается на двух ключевых фактах.
Во-первых, оказывается, что введенные выше Σ- и ∆-функторы коммутируют с подходящими интерполяционными функторами.~ — банахова пара, а {ρθ }0<θ<1Теорема 2.1.1. [151, теорема 3.1] Пусть A— семейство квазивогнутых функций.(i) если функция ρ(t) := supθ ρθ (t) конечна в какой-нибудь точке (и,76следовательно, во всех точках), то~J ) = A~J .Σ0<θ<1 (Aρθ ,1ρ,1(ii) если функция ρ∗ (t) := inf θ ρθ (t) отлична от нуля в какой-нибудьточке, то~K~K∆0<θ<1 (Aρθ ,∞ ) = Aρ∗ ,∞ .Второй факт связан с определенной стабильностью Σ- и ∆-функторов.Заданная положительная функция M (θ) будет называться умеренной в 0(соответственно в 1), в оригинале — tempered, если она удовлетворяетусловиюM (θ) M (θ/2) при θ → 0(соответственноM (θ) M1+θ2при θ → 1).Будем говорить, что функция M (θ) является умеренной, если она одновременно умерена и в 0, и в 1.~ — взаимно замкнутаяТеорема 2.1.2. [181, теоремы 5 и 21] Пусть Aбанахова пара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
