Диссертация (1154386), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Такое пространство Орлича будет сильно экстраполяционным лишь в36случае, когда 2N (t) 6 N (a + t) для некоторого a > 0 и всех t > 0, однако явное экстраполяционное описание можно получить и при существенноболее слабых ограничениях.Теорема 3.3.8. Пусть функция M имеет вид (3.37). Если пространство Орлича LM есть одновременно пространство Марцинкевича, тоLM = LL∞ (ω) ,∗где ω = ω(p) := e− N p(p), а N ∗ (p) = supt>0 {pt − N (t)}.Эта теорема позволяет дать простое экстраполяционное описание дляширокого класса пространств Орлича.
В параграфе 3.3 приведены различные конкретные примеры, а также доказаны теоремы об экстраполяционном описании пространств Орлича с другими условиями.Близкая по содержанию теорема сформулирована в работе [186], однако доказательство, приведенное там, ошибочно. Теорема 3.3.8 обобщаетрезультаты работ [135, 185]. Экстраполяция со шкалы Lp –пространств впространства Орлича рассматривалась также Мамонтовым А.Е. в работах [74, 75, 78–80]. Подход, предложенный в указанных работах, связан свозможностью интегрального представления некоторых N –функций в виде разложения по степенным функциям.Параграф 3.4 посвящен вопросу устойчивости F-метода по отношениюк замене базовой шкалы {Lp }16p<∞ на шкалу {Lp,∞ }16p<∞ .
Из абстрактной теории экстраполяции Яверса и Мильмана следует, что значения ∆функтора на шкалах {ω(p)Lp,q }16p<∞ при различных фиксированных значениях q совпадают, если только положительный вес ω(p) обладает свойством умеренности: ω(2p) 6 Cω(p). Оказывается, F-метод обладает следующим свойством устойчивости, являющимся специфическим для шкалыпространств Lp на отрезке.37Теорема 3.4.1. Предположим, что в банаховом идеальном пространстве F ограниченно действует операторT : f (p) → f (p + e−p ).Тогда x 0kxkp kxkp,∞ .FFЭта теорема показывает, что для описания F-экстраполяционных пространств по отношению к шкале {Lp }16p<∞ можно вычислять значения Fфунктора на шкале {Lp,∞ }16p<∞ . В случае, когда параметр экстраполяцииF совпадает с пространством L∞ (ω(p)), этот способ оказывается особенноэффективным.
Простое достаточное условие на вес функтора пересечения,при котором получается пространство Марцинкевича, дает следующая теорема.pТеорема 3.4.10. Пусть ω(p) = ψ(e−p ) или ω(p) = ψ(e−e ) для некоторой возрастающей функции ψ на [0, 1] со свойством ψ(et) 6 Cψ(t),0 6 t 6 1/e, и пусть функция ϕ определена по формулеϕ(t) sup ω(p) t1/p ,p>10 < t 6 1.Тогда имеет место экстраполяционное соотношение∆16p<∞ (ω(p)Lp ) = ∆16p<∞ (ω(p)Lp,∞ ) = M(ϕ).(3.49)Кроме того, пространство Марцинкевича M(ϕ) совпадает с пространством Орлича LΦ , построенном по функции M , определяемой какΦ(u) = sup ω(p)p upp>138для всех u > 0.Представляет интерес и обратная задача: по заданному симметричному пространству понять, описывается ли оно как F-экстраполяционное поотношению к шкале {Lp } и/или по отношению к шкале {Lp,∞ }, и когдасоответствующие параметры экстраполяции совпадают.
В параграфе 3.4вводится класс EF0 пространств, получаемых с помощью F-метода, примененного к шкале {Lp,∞ }. Если такое пространство получено с помощьюбанахова пространства F , мы обозначаем его через L0F . Следующая теорема описывает F-экстраполяционные по отношению к шкале пространствLp,∞ пространства Марцинкевича.Теорема 3.4.4. Пусть ϕ — произвольная квазивогнутая функция на[0, 1], для которой ϕe0 := t/ϕ(t) ∈ Lp для всех 1 6 p < ∞.
Тогда следующиеусловия равносильны:(i) M(ϕ) ∈ EF0 .(ii) M(ϕ) = L0L∞ (w1 ) , где w1 (p) = 1/kϕe0 k0p,∞ , 1 6 p < ∞.(iii) Существует константа C > 0 такая, чтоt1/pϕ(t) 6 C sup 0 0 ,e kp,∞p>1 kϕ0 < t 6 1.(iv) Существует функция ω : [1, ∞) → [0, ∞), удовлетворяющая условиюϕ(t) sup ω(p) t1/p ,p>10 < t 6 1.(v) Имеет место эквивалентностьϕ(v) 1/pϕ(t) sup inf 1/p t ,v∈(0,1] vp>1390 < t 6 1.(3.48)(vi) Имеет место эквивалентностьϕ(t) eψ(log t) ,где ψ(s) — выпуклая функция на (−∞, 0].При этом эффект устойчивости проявляется в следующем результате.Теорема 3.4.6. Предположим, что ϕ является квазивогнутой функцией на [0, 1] такой, что limt→0 ϕ(t) = 0 иϕ(t) sup ω(p) t1/pp>1для некоторой весовой функции ω : (1, ∞) → [0, ∞). Следующие условияравносильны:(i) M(ϕ) ∈ EF .(ii) M(ϕ) = LL∞ (ω2 ) , где ω2 (p) := 1/kϕ̃0 kp .e0 kp и w1 (p) = 1/kϕe0 k0p,∞ .(iii) LL∞ (w2 ) = L0L∞ (w1 ) , где w2 (p) = 1/kϕ(iv)supp>1t1/pt1/psup,0 0kϕ̃0 kpp>1 kϕ̃ kp,∞0 < t 6 1.(v)0kϕ̃0 kp kϕ̃0 kp,∞ ,1 6 p < ∞.(vi) Существует константа C > 0 такая, чтоt1/pϕ(t) 6 C sup 0 ,p>1 kϕ̃ kp400 < t 6 1.Четвертая глава диссертации посвящена вопросам экстраполяции операторов, которые как раз и являлись основным мотивом для создания экстраполяционных функторов и конструкций.Конструкция сильно экстраполяционного пространства позволяет получать точные экстраполяционные теоремы для операторов с определенным ростом норм в шкале {Lp }.
Пусть пространство X(log−α ) состоит извсех таких измеримых функций x(t), чтоx∗∗ (t) log−α (e/t) ∈ X,и снабжено нормой kxkX(log−α ) = kx∗∗ (t) log−α (e/t)kX , где, как обычно,Rtx∗∗ (t) = 1t 0 x∗ (s) ds.Теорема 4.1.4. Пусть оператор T действует ограниченно в пространствах Lp для всех p > p0 > 1, и для некоторых α > 0 и C > 0kT kLp →Lp 6 Cpα (p > p0 ).(4.2)Тогда для произвольного сильно экстраполяционного симметричного пространства X оператор T действует ограниченно из X в X(log−α ).Кроме того, существует удовлетворяющий условию (4.2) линейныйоператор T0 со следующим свойством: если T0 ограничен из X ∈ SE всимметричное пространство Y , тоX(log−α ) ⊂ Y.В теореме 4.1.4 предполагалось, что оператор имеет степенной ростнорм в шкале {Lp }p<∞ .
Ясно, что результаты разделов 3.2.1, 3.2.3 и 3.2.4позволяют сформулировать аналогичные экстраполяционные теоремы для~ θ,q . Кроме того, результаты разделов 3.3 и 3.4шкал {Lp,q }, {`p }, {Sp } и A41позволяют сформулировать и доказать подобные теоремы не только длясильно экстраполяционных пространств. При этом рост норм операторовможет быть произвольный, а не только степенной. Тем самым мы получаем другие варианты обобщения экстраполяционной теоремы Зигмунда. Вкачестве иллюстрации приведем следующее утверждение.Теорема 4.1.10 Предположим, что оператор T ограничен в Lp [0, 1]для всех p ∈ (p0 , ∞), иkT kLp →Lp = b(p),p ∈ (p0 , ∞),b(p) ↑ +∞ при p → +∞.Пусть, кроме того, N0 (t) — выпуклая функция, для которойN0 (t)= +∞,t→+∞tlimM0 (u) = eN0 (log u) — функция Орлича, а пространство Орлича, построенное по функции M (u) = eN (log u) , гдеN (t) = (N0∗ (p) + p log b(p))∗ ,совпадает с пространством Марцинкевича.Тогда оператор T ограничен из LM0 в LM .В параграфе 4.2 исследуется вопрос о распространении свойства ограниченности сублинейного оператора со значениями в фиксированном квазибанаховом пространстве, со шкалы пространств {Lp }p>1 на более широкие пространства.
Фактически, речь идет о прямом обобщении классической теоремы Яно на случай квазинормированного образа. Через S (соответственно S, S + ) мы обозначаем множество всех измеримых почти всюдуконечных (соответственно принимающих значения ±∞, неотрицательныхс возможными значениями +∞) функций на [0, 1].42Определение. Оператор T , определенный на банаховом пространстве Xи принимающий значения в S, называется сублинейным на X, если дляP∞некоторого B > 0 и произвольного представления x =j=1 xj , где рядсходится в X, выполняется неравенство|T x(t)| 6 B∞X|T xj (t)| почти всюду на [0, 1].j=1Напомним, что векторное пространство Y называется квазибанаховымс константой K > 1, если оно полно относительно топологии квазинормы— функционала на Y , обладающего свойствами:1) kykY > 0 при y 6= 0, 2) kλykY = |λ|kykY , 3) ky + zkY 6 K(kykY + kzkY ).Если K = 1, то мы имеем дело с банаховым пространством.
В этом случаепри наличии условия поточечной оценки на оператор T как в теореме Янои оценок вида kT kLp →Y 6 τ (p) с помощью экстраполяционного функторасуммы Σ получаем, что оператор T ограничен изXτ (p)Lpp>1в Y . Если же K > 1, то в общем случае можно говорить лишь о болееузком пространстве∞Xτ (pj )K j Lpj .j=1С помощью оптимизации выбора последовательности {pj }∞j=1 и свойстваустойчивости, двойственного свойству устойчивости из параграфа 3.4, вслучае специального роста τ (p) при p → 1, результирующее пространствоможно вычислить явно. На этой основе в разделе 4.2.4 доказаны следующиетеоремы.Теорема 4.2.14. Пусть Y — квазибанахово пространство, непрерывно вложенное в отделимое топологическое векторное пространство B.43Предположим, что линейный оператор T для каждого p > 1 ограниченнодействует из Lp [0, 1] в Y ,αpkT kLp →Y 6 C, где C, α > 0 не зависят от p,p−1и, кроме того, T непрерывно действует из Λ(ψ) в B, гдеpψ(t) := t logα (b/t) exp(A log log(b/t))√с некоторыми A > 2 α log K и b > eA+α+1 .Тогда T ограниченно действует из Λ(ψ) в Y .Теорема 4.2.17.
Пусть T — оператор, определенный на множествеST таком, что p>1 Lp ⊂ T ⊂ L1 , T принимает значения в S и удовлетворяет на T с некоторой константой B > 0 условию:L1если x =∞Xxi , то |T x(t)| 6 B∞X|T xi (t)| для почти всех t ∈ [0, 1].i=1i=1Предположим так же, что для некоторого квазибанахова идеального пространства Y и каждого p > 1αpkT kLp →Y 6 C, где C, α > 0 не зависят от p.p−1√Тогда для каждого A > 2 α log K существует D > 0 такое, чтоkT xkY 6 DkxkΛ(ψ)для всех x ∈ T ∩ Λ(ψ),гдеpψ(t) := t log (b/t) exp(A log log(b/t)),αb > eA+α+1 .В частности, если Λ(ψ) ⊂ T , то оператор T действует ограниченно изпространства Λ(ψ) в Y .В некоторых случаях эти теоремы допускают уточнения.44Определение.
Квазибанахово пространство называется логарифмическивыпуклым, если при некотором C > 0 в нем выполняется неравенство:∞∞XX(1 + log j)kxj kY .xj 6 Cj=1Yj=1Для логарифмически выпуклого пространства-образа в разделе 4.2.5доказаны следующие утверждения.Теорема 4.2.22. Пусть Y — логарифмически выпуклое пространство,непрерывно вложенное в некоторое топологическое векторное хаусдорфово пространство B, а T — линейный оператор, действующий непрерывноиз пространства Λ(ψ),tψ(t) t logα b/t log log log b/t,b > ee ,в B.Тогда, если при всех p > 1 оператор T действует из Lp в Y с нормойαpkT kLp →Y 6 C,p−1то T действует ограниченно из Λ(ψ) в Y .Теорема 4.2.23.
Пусть Y — логарифмически выпуклое идеальное пространство, Y ⊂ S, а T — сублинейный оператор, определенный на Λ(ψ),tψ(t) t logα b/t log log log b/t,b > ee .Тогда, если при всех p > 1 оператор T действует из Lp в Y с нормойαpkT kLp →Y 6 C,p−1то T действует ограниченно из Λ(ψ) в Y .45В разделе 4.2.6 рассматриваются примеры, иллюстрирующие необходимость различных условий в сформулированных выше теоремах. В частности, доказан следующий результат, проявляющий некоторые трудности,возникающие при работе с ненормируемыми пространствами.Теорема 4.2.26. Пусть ψ(t) возрастающая непрерывная вогнутаяфункция на [0, 1], ψ(0) = 0, пространство Лоренца Λ(ψ) не совпадает сL1 , а Y — квазибанахово ненормируемое идеальное пространство, Y ⊂ S.Тогда существует оператор, определенный на L1 , принимающий значения в S + , и удовлетворяющий следующим свойствам:1) если |x| 6 |y| ∈ L1 , то T x 6 T y;2) T (λx) = |λ|T x для произвольных λ ∈ R и x ∈ L13)если x =∞Xxi в L1 , то T x 6i=1∞XT xi ;i=14)kT χA kY< ∞;A⊂[0,1] ψ(µA)sup5)supx∈PkT xkY= ∞,kxkΛ(ψ)где P — множество всех конечнозначных функций.Пятая глава посвящена приложениям построенной в третьей главе теории и полученных в четвертой главе теорем об операторах к некоторымклассическим проблемам анализа.Рассматривая в качестве оператора T оператор частной суммы ортогонального ряда, можно получить утверждения о сходимости соответствующих рядов в симметричных пространствах, "близких" к L∞ .46Пусть X — симметричное пространство, κ = κ(t) — измеримая положительная функция на [0, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
