Диссертация (1154386), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда множествоnoXXΣ(Aθ ) = a =aθ in Σ : aθ ∈ Aθ для некоторого θ иkaθ kAθ < ∞ ,θс нормой kakΣ(Aθ ) = infθPkaθ kAθ , где инфимум берется по всем представθPлениям a ∈ Σ(Aθ ) в виде a = θ aθ , является банаховым пространством.15Заметим, что пространство Σ(Aθ ) не зависит от объемлющего пространства Σ. Аналогично, если имеют место равномерно ограниченные вложения ∆ ⊂ Aθ , θ ∈ Θ, для некоторого банахова пространства ∆, мы можемопределить пересечение ∆(Aθ ) семейства {Aθ }θ∈Θ , которое состоит из всехTa ∈ θ∈Θ Aθ таких, чтоkak∆(Aθ ) = sup kakAθ < ∞.θ∈ΘПусть теперь {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ — два семейства банаховых пространствтакие, что для некоторых банаховых пространств ΣA и ΣB имеют месторавномерные вложения Aθ ⊂ ΣA и Bθ ⊂ ΣB , и, следовательно, корректноопределены пространства Σ(Aθ ) и Σ(Bθ ).
Если T — непрерывный линейный1оператор из TA в TB такой, что T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , то из определенияконструкции суммы Σ следует, что T ограничен из Σ(Aθ ) в Σ(Bθ ). Такимобразом функтор Σ действительно является экстраполяционным методом.Аналогичное утверждение верно для функтора ∆, при этом линейностьоператора T уже не нужна, так какkT ak∆(Bθ ) = sup kT akBθ 6 sup kakAθ = kak∆(Aθ ) .θ∈Θθ∈ΘВ частности, используя шкалу пространств {Lp } на отрезке [0, 1], несложно получить следующие соотношения:Σ1<p<p0 (p − 1)−β Lp = L(log L)β ,Σ1<p<p0 (Lp ) = L1 ,и∆p>p0 (Lp ) = L∞ ,∆p>p0 p−1/βLp = Exp Lβ .Поэтому теоремы Яно и Зигмунда являются простым следствием теорииэкстраполяции Яверса и Мильмана.
Привлечение новых экстраполяцион16ных функторов дает, естественно, больше возможностей. В работе [159] подробно рассмотрены функторы ∆(r) и Σ(r) , являющиеся обобщением функторов ∆ и Σ. Авторы рассматривают совместимую пару квазибанаховыхпространств (A0 , A1 ) и шкалу пространств Aθ,r вещественного метода интерполяции с фиксированным r. Норма в ∆(r) определяется следующимобразом:kf k∆(r) (M (θ)Aθ,r ) = θZ 1 hM (θ)kf kAθ,rirdθ1/r,θ0где M (θ) — положительная непрерывная функция, параметр функтора∆(r) .
В частном случае r = ∞ получаем функтор ∆. В [159] рассмотрены также различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно. Еще больше возможностей для этого возникает, если Lr -норму врассмотренной конструкции заменить произвольным банаховым пространством F . Соответствующая экстраполяционная конструкция, называемаяF-методом, была предложена С.В. Асташкиным. Опишем F-метод точнее.Пусть F — банахово идеальное пространство функций на множествеиндексов Θ, снабженном структурой измеримого пространства.
Для заданного семейства совместимых банаховых пространств {Aθ }θ∈Θ , индексированного множеством Θ, определим банахово пространство F({Aθ }θ∈Θ ) всехтаких a ∈ TA , что функция θ ∈ Θ 7→ kakAθ принадлежит F , и снабдим этопространство нормойkakF({Aθ }θ∈Θ ) := kakAθ F .Ясно, что F-метод обобщает экстраполяционный функтор ∆, который получается при F = L∞ . В настоящей работе F-метод применяется к шкалам17{Lp [0, 1]}p<∞ , {Lp,q [0, 1]}p<∞ , {Lp,∞ [0, 1]}p<∞ , в которых роль θ играет па~ θ,q }θ∈(0,1) .раметр p, а Θ = [1, ∞), а также к шкалам {`p }p>1 , {Sp }p>1 и {AМы описываем результирующие пространства (которые мы называем Fэкстраполяционными), решая как прямые, так и обратные задачи экстраполяционного описания, формулируем и доказываем соответствующие экстраполяционные теоремы, а также применяем полученные результаты кнекоторым классическим проблемам анализа.Актуальность темы.Закладывая фундамент абстрактной теории экстраполяции в конце 80-х годов прошлого века, Б.
Яверс и М. Мильман, по-видимому, предполагали,что их идеи привлекут новые молодые силы, и вскоре на этой основе будетпостроено полноценное здание. Однако известный кризис математическойнауки, спад интереса к абстрактной математике, компьютерная революцияи соответствующее смещение приоритетов в сторону дискретной математики, не позволили осуществиться их планам. Автор настоящей диссертационной работы рассчитывает, что его исследования позволят придатьтеории экстраполяции новый импульс. Следует отметить также, что наибольший спрос у потребителей теории экстраполяции имеет именно шкалапространств Lp , экстраполяционные свойства которой преимущественно ирассматриваются в настоящей работе, в то время как абстрактная теорияне во всех вопросах позволяет продвинуться достаточно глубоко при изучении специальных шкал.
Автор считает, что ему удалось придать некоторым разделам теории экстраполяции в шкале пространств Lp и в близкихшкалах завершенную форму. Кроме того, результаты диссертации делают теорию более ясной и, одновременно, более доступной специалистам из18других областей математики. Анализ работ по дифференциальным уравнениям, математической физике, теории вероятностей и др.
разделам математики, в которых используются различные варианты экстраполяционныхтеорем, а также личные вопросы автору на международных конференцияхи получаемые по электронной почте, показывает, что имеется назревшаянеобходимость в более точных и более конкретных результатах, чем имеющиеся в абстрактной теории. Все отмеченное, несомненно, доказывает актуальность выбранного в работе направления исследований и полученныхрезультатов.Цели и задачи диссертационной работы.Основной целью диссертационной работы является построение теории экстраполяции для шкалы пространств {Lp [0, 1]}p<∞ и близких шкал, учитывающей особенности этих шкал, и получение как специальных для этихшкал результатов, не вытекающих из общей теории экстраполяции, так ирезультатов, которые могут быть полезны и для развития общей теории.Под теорией экстраполяции мы понимаем структурированный набор понятий, определений, строго доказанных утверждений и свойств изучаемыхобъектов, каковыми являются экстраполяционные функторы и экстраполяционные пространства, с обозначенными внутренними связями, позволяющий эффективно использовать свои компоненты для приложений в различных разделах математики.
Для достижения этой цели в диссертациирассматриваются следующие основные задачи.1. Изучить свойства F-экстраполяционных пространств.2. Описать симметричные пространства, которые можно получить Fметодом экстраполяции.193. Получить соотношения, позволяющие по симметричному пространству восстанавливать параметр экстраполяции.4.
Установить связь между экстраполяционным и интерполяционнымописанием симметричного пространства.5. Охарактеризовать F-экстраполяционные пространства из специальных классов симметричных пространств с помощью условий на параметры,идентифицирующие конкретное пространство в классе.6.
Исследовать свойство устойчивости F-метода по отношению к заменешкалы {Lp [0, 1]}p<∞ на шкалу {Lp,q [0, 1]}p<∞,q=q(p) .7. Получить экстраполяционные теоремы для линейных и сублинейныхоператоров.8. Получить эффективные приложения построенной теории к некоторым классическим задачам анализа.Следует отметить также, что некоторые специальные конструкции, первоначально использованные автором для работы со шкалой пространств{Lp [0, 1]}p<∞ , удалось перенести и на общие интерполяционные шкалы, чтотакже отражено в настоящей работе.Методология и методы исследования.В работе используются общие методы теории функций, функционального анализа и теории вероятностей, а также специальные методы теорииинтерполяции и теории симметричных пространств. Новые результаты получены благодаря эффективной комбинации общеизвестных и авторскихметодов, среди которых отметим оценки Lp -норм через суммы значенийK-функционала в специальных точках, использование равномерных взаимных вложений пространств из двух различных шкал, а также оптималь20ную дискретизацию экстраполяционных функторов.
В некоторых местахиспользуются комбинаторные и неконструктивные вероятностные методы.Научная новизна.Все выносимые на защиту диссертации результаты являются новыми. Приведем здесь основные из них.1. Доказана теорема о характеризации сильно экстраполяционных пространств. В теореме доказана равносильность различных условий, средикоторых сильная экстраполяционность, а также условие на параметр интерполяции, условие на параметр экстраполяции, условие на само симметричное пространство, сформулированные в терминах ограниченности специальных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
