Диссертация (1154386), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Через Xκ будем обозначать симметричноепространство с нормойkxkXκ = kx∗∗ · κkX ,1где x∗∗ (t) =tZtx∗ (s)ds.0В случае κ(t) = log−α (e/t) обозначим соответствующее пространство черезX(log−α ).Теорема 5.1.2. Пусть пространство X сильно экстраполяционно, асистема {xn }∞n=1 — минимальна и полна в X. Тогда, если для всех x ∈ Xи натуральных N NX∗xn (x)xn 6 γ(p) · kxkp при p > p0 ,n=1pгде {x∗n } — система, сопряженная к {xn }, то для любого x ∈ X ряд∞Xx∗n (x)xnn=1сходится к x в пространстве Xκ , где κ(t) = 1/γ(log e/t).Следствие 5.1.3.
Предположим, что симметричное пространствоX является сильно экстраполяционным, и пусть {ψn }∞n=1 такая полнаяв X ортонормированная система функций, что для каждого x ∈ X, всехp > p0 и всех натуральных N имеет место оценкаNXcn (x)ψn 6 Cpα kxkp ,n=1pгде cn (x) — коэффициенты Фурье функции x по отношению к системе∞P∞{ψn }n=1 .
Тогда для каждого x ∈ X рядcn (x)ψn сходится к x в проn=1странстве X(log−α ).47Следствие 5.1.5. Предположим, что симметричное пространствоX является сепарабельным и сильно экстраполяционным. Тогда тригонометрический ряд и ряд Фурье-Уолша функции x ∈ X сходится к x впространстве X(log−1 ).Для случая пространств Лоренца последнее утверждение было доказано С.Ф. Лукомским [37, 169].
Кроме того, им была показана точностьсоответствующего результата.В параграфе 5.2 исследуется связь между теорией экстраполяции иклассической проблемой моментов. Напомним, что моментом порядка nизмеримой функции на [0, 1] называется величинаZ1µn =x(t)n dt.0Аналогично определяются моменты случайной величины X, заданной напроизвольном вероятностном пространстве. Обозначим через E линейноеTпространство p<∞ Lp . Говорят, что функция x ∈ E имеет определеннуюпроблему моментов Гамбургера (в этом случае мы пишем x ∈ D), если изусловий y ∈ E иZ10y(t)n dt =Z1x(t)n dt,для всех n ∈ N,0следует, что распределения у x и y совпадают, т.е.µ{t ∈ [0, 1] : x(t) > τ } = µ{t ∈ [0, 1] : y(t) > τ }для всех τ ∈ R.Если же такого свойства нет, то говорят, что проблема моментов Гамбургера неопределенная.
Хорошо известно, что множества D и E\D не пусты.48Так, если x стандартная гауссовская случайная величина, т.е.1µ{t ∈ [0, 1] : x(t) > τ } = √2πZ∞2e− u2du,τто x, x2 , x4 ∈ D, но x3 ∈ E\D [110]. Известно, что проблема моментов Гамбургера является определенной для каждой функции x, удовлетворяющейусловию Карлемана (пишем x ∈ C)X 1= ∞.kxkpp∈NЕсли x ∈ ExpL (в теории вероятностей это условие называется условиемКрамера, оно гарантирует аналитичность в окрестности нуля характеристической функции случайной величины x), то также x ∈ C (но множествоC \ ExpL не пусто).
Следовательно, имеют место следующие строгие включенияL∞ ⊂ ExpL ⊂ C ⊂ D ⊂ E.Существенная часть параграфа 5.2 посвящена характеризации симметричных пространств, вложенных в C или D. Отметим сразу, что аппроксимация классов C или D симметричными пространствами сверху не имеетсмысла, это следует из следующего утверждения, доказанного автором настоящей работы. Через EX мы обозначаем математическое ожидание случайной величины X.Теорема 5.2.12. Пусть X ∈ E, т.е. X — случайная величина на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P) такая, что E|X|n < ∞для всех n ∈ N.
Тогда существуют случайные величины Y и Z на томже вероятностном пространстве такие, что:1) X = Y + Z;492) Y и Z имеют дизъюнктные носители на Ω;3) случайные величины Y и Z имеют не более одного общего значения:Y (Ω) ∩ Z(Ω) ⊂ {0};4) для Y и Z также конечны все моменты, и, кроме того, выполненоусловие Карлемана определенности проблемы моментов Гамбургера.В работе доказаны следующие теоремы о симметричных пространствахс определенной проблемой моментов Гамбургера.Теорема 5.2.21.
Пусть ϕ ∈ ∆2 . Каждое из следующих вложений1) M(ϕ) ⊂ C, 2) M(ϕ) ⊂ D, 3) M0 (ϕ) ⊂ C, 4) M0 (ϕ) ⊂ D,эквивалентно условию5)Z1ϕ(t)dt= ∞.t0Во многих вопросах анализа важную роль играют классы Орлича L̃M ,состоящие из таких функций x(t) на отрезке [0, 1], для которыхZ1M (|x(t)|) dt < ∞.0Теорема 5.2.22. Пусть функция Орлича M (u) удовлетворяет условию: M (u)2 6 M (Cu) при некотором C > 0 и достаточно больших u.Тогда каждое из следующих включений1) LM ⊂ C, 2) LM ⊂ D, 3) L0M ⊂ C, 4) L0M ⊂ D, 5) L̃M ⊂ C, 6) L̃M ⊂ Dравносильно условиюZ∞7)M 0 (u) du= ∞.M (u) u150Следствие 5.2.24. Предположим, что случайная величина ξ такова,что при достаточно большом C > 0 случайная величинаη=ξlog(|ξ| + C) · log log(|ξ| + C) · .
. . · log log . . . log(|ξ| + C)удовлетворяет условию Крамера: E exp(ε|η|) < ∞ для некоторого ε > 0.Тогда проблема моментов Гамбургера определенная для ξ.Следующий результат уточняет результат работы К. Берга [110] о проблеме моментов для степеней стандартной гауссовской случайной величины g.Следствие 5.2.25. Пусть a > 0, bi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, и пустьC ∈ R такое, что n-кратный логарифм log log . . . log C корректно определен и положителен.
Тогда проблема моментов Гамбургера для случайнойвеличиныη = sign(g)·|g|a ·(log(|g|+C))b1 ·(log log(|g|+C))b2 . . . (log log . . . log(|g|+C))bnопределенная тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих n + 1 условий:1) a ∈ (0, 2);2) a = 2, b1 < 1;...n) a = 2, b1 = . . . = bn−2 = 1, bn−1 < 1;n+1) a = 2, b1 = . . .
= bn−1 = 1, bn 6 1.Для степенных пространств Лоренца получено следующее достаточноеусловие вложения в C.Теорема 5.2.27. Пусть r > 1, а вогнутая функция ϕ ∈ ∆2 предста51вима в видеZ∞ϕ(t) =g(s)r+1 dslog 1/tс некоторой неотрицательной функцией g(s) такой, чтоZ∞g(s) ds = +∞.1Тогда Λr (ϕ) ⊂ C.Следствие 5.2.28. Пусть ϕα (t) log−1 (e/t) logα (log ee /t).
Следующиеусловия эквивалентны: 1) Λ(ϕα ) ⊂ C; 2) Λ(ϕα ) ⊂ D; 3) α > −2.В работе доказаны аналогичные утверждения и для классов C+ и D+ ,соответствующих проблеме моментов Стилтьеса. Мы пишем x ∈ D+ , еслииз условий y ∈ E иZ10|y(t)|n dt =Z1|x(t)|n dt,для всех n ∈ N,0следует, что распределения у |x| и |y| совпадают, т.е.µ{t ∈ [0, 1] : |x(t)| > τ } = µ{t ∈ [0, 1] : |y(t)| > τ }для всех τ ∈ R+ .Например, если x стандартная гауссовская случайная величина, то x, x2 , x3 ,x4 ∈ D+ , но x5 ∈ E\D+ [206, раздел 11.1].
Ясно также, что если для неотрицательной функции проблема моментов Гамбургера определенная, топроблема моментов Стилтьеса также будет определенной. Класс функцийx ∈ E, удовлетворяющих следующему условию1Xqp∈Nkxkp52= ∞,будем обозначать через C+ . Известно, что C+ ⊂ D+ . В работе доказанытеоремы о вложениях симметричных пространств в классы C+ и D+ , аналогичные сформулированным выше для классов C и D. Сформулируемздесь только соответствующий результат о пространствах Орлича.Теорема 5.2.31. Пусть функция Орлича M (u) удовлетворяет условию: M (u)2 6 M (Cu) при некотором C > 0 и достаточно больших u.Тогда каждое из следующих включений1) LM ⊂ C+ , 2) LM ⊂ D+ , 3) L0M ⊂ C+ ,4) L0M ⊂ D+ , 5) L̃M ⊂ C+ , 6) L̃M ⊂ D+ ,равносильно условиюZ∞7)M 0 (u) du√ = ∞.M (u) u1В параграфе 5.2 доказаны и другие интересные утверждения, связанные с проблемой моментов. Например, в разделе 5.2.2 показано что совпадение всех целых моментов не гарантирует неравенства kξkp 6 Ckηkpни с какой константой C даже при фиксированном нецелом p, и, крометого, отношение kξkp /kηkp может быть неограниченным.
Построение соответствующих случайных величин конструктивно. Этот результат, в частности, усиливает то свойство, которое лежит в истоках проблемы моментов:все целые моменты не определяют однозначно распределение.Предложение 5.2.1. Для любой последовательности {Cj }∞j=1 положительных чисел существуют неотрицательные случайные величины ξи η такие, что:1) Eξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈ N;532) для всех натуральных jEξ j+1/2> Cj .Eη j+1/2В разделе 5.2.5 показано, что важное для теории интерполяции свойствоK-делимости не имеет прямого аналога для рассматриваемых экстраполяционных конструкций.Предложение 5.2.11.
Для каждого p > 1 существует невозрастающие неотрицательные функции x и yk , k ∈ N, удовлетворяющие условиям:1) yk ∈ L∞ для всех k ∈ N;PP∞2) kxkq 6 k ∞yk6k=1 k qk=1 kyk kq < ∞ для всех q ∈ [1, ∞);P3) для произвольного представления x = ∞k=1 xk (со сходимостью по мере)kxk kq= ∞.kykkk∈N,q∈[p,∞)qsupВ параграфе 5.3 исследуется проблема поведения последовательностихаосов Радемахера в симметричных пространствах. Изучаются те свойства этой последовательности, которые важны в геометрии банаховых пространств.
В частности, рассматриваются вопросы, связанные с безусловнойбазисностью этой последовательности.В этом параграфе отрезок [0, 1] рассматривается как вероятностное пространство (с мерой Лебега в роли вероятности), а независимость наборафункций понимается стохастически, т.е. как независимость совокупностислучайных величин. Случайная величина ξ называется симметрично распределенной, если у нее функция распределения такая же, как и у вели54чины −ξ.
Важным примером последовательности независимых одинаковои симметрично распределенных случайных величин является последовательность функций Радемахера.Как обычно, функции Радемахера определяются следующим образом:если 0 6 t 6 1, то rn (t) := sign(sin(2n πt)), n = 1, 2, . . . Они стохастическинезависимы, симметрично распределены, и образуют неполную ортонормированную последовательность на [0, 1]. Согласно классическому неравенству Хинчина [161], для любого p > 1 и произвольных ak ∈ R, k = 1, 2, .
. . ,∞Xak rk k=16√p∞X!1/2a2k.k=1Lp [0,1]Неравенство Хинчина вызвало большое количество исследований и обобщений, оно нашло многочисленные применения в различных разделах анализа. В частности, по известной теореме Родина-Семенова [196] последовательность {rn }∞n=1 эквивалентна в симметричном функциональном пространстве X каноническому базису в `2 тогда и только тогда, когда X ⊃ G2 ,где G2 — сепарабельная часть пространства Орлича ExpL2 .Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
