Диссертация (1154386), страница 5
Текст из файла (страница 5)
F-экстраполяционное пространство X сепарабельнотогда и только тогда, когда X = LF для некоторого банахова идеальногопространства F , удовлетворяющего условиюf ∈ F ⇒ lim f · χ[N,∞) F = 0.N →∞Теорема 3.1.21. F-экстраполяционное пространство X максимальнотогда и только тогда, когда X = LF для некоторого банахова идеального28пространства F , удовлетворяющего условиюf · χ[1,N ] ∈ F и sup f · χ[1,N ] F < ∞ ⇒ f ∈ F.NПараграф 3.2 посвящен сильно экстраполяционным пространствам: ихсвойствам, характеризации и некоторым применениям. Понятие сильноэкстраполяционного пространства введено автором в работе [39].
Для симметричного пространства X на [0, 1] через X̃ обозначим банахову пространство всех измеримых на [1, ∞) функций f таких, что f (log(e/t)) ∈ X иkf kX̃ := kf log(e/t) kX .Определение 3.2.2. Будем говорить, что симметричное пространствоX сильно экстраполяционно по отношению к шкале пространств Lp (X ∈SE), если X = LX̃ (с эквивалентностью норм).Таким образом, норма каждой функции в любом сильно экстраполяционном симметричном пространстве X эквивалентна норме в X функцииt ∈ [0, 1] 7→ kxklog(e/t) , т.е. kxkX kxklog(e/t) X .Сразу отметим, что класс SE достаточно широк. В частности, все пространства Зигмунда Exp Lβ , β > 0, фигурирующие в представленной вышеэкстраполяционной теореме Зигмунда, принадлежат классу SE.Для формулировки основной теоремы параграфа 3.2 нам понадобитсяследующее определение, обобщающее понятие умеренного веса, использованного Б.
Яверсом и М. Мильманом при изучении экстраполяционныхфункторов Σ и ∆.Определение 3.2.3. Банахово идеальное пространство F на [1, ∞) называется умеренным, если оператор Df (p) := f (2p) ограничен в F .29В контексте F-метода экстраполяции мы будем говорить об умеренном параметре экстраполяции. Свойство умеренности отвечает за устойчивость F-метода по отношению к определенной смене интерполяционнойшкалы, что поясняется следующей теоремой.Теорема 3.2.4.
Для любого умеренного параметра экстраполяции Fи любых двух измеримых функций q1 = q1 (p) и q2 = q2 (p) таких, чтоqi (p) ∈ [1, ∞] при всех i ∈ {0, 1} и p ∈ [1, ∞), справедливоkxkp, q1 (p) kxkp, q2 (p) .FFВ терминах F-метода это означает, чтоF ({Lp,q1 }) = F ({Lp,q2 }) .Следующая теорема, являющаяся одной из самых важных в работе,характеризует сильно экстраполяционные пространства с различных точекзрения.Теорема 3.2.5. Для любого симметричного пространства X на [0, 1]следующие условия эквивалентны:(1) X ∈ SE;(2) оператор Sx(t) = x(t2 ) ограничен в X;(3) X = LF с некоторым умеренным параметром экстраполяции F ;(4) с константами, не зависящими от x ∈ X и t > 0 выполняется соотношениеK(t, x; X, L∞ ) K(t, kxklog(e/·) ; X, L∞ ),где kxklog(e/s) обозначает Lp -норму функции x с p = log(e/s), s ∈ (0, 1];(5) существуют 1 6 p 6= q < ∞ и банахово идеальное пространство G на30[0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такие, чтоKX = (Lp , L∞ )KG = (Lq , L∞ )G ;(6) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такая, что для каждого p > 1X = (Lp , L∞ )KG;(7) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такая, что оператор T f (t) := f (t2 )/t ограничен в G иX = (L1 , L∞ )KG;(8) с константами, не зависящими от x, имеет место следующая эквивалентность (дискретный вариант экстраполяционного соотношения)∞XkxkX kxkk χ(e−k ,e−k+1 ] ;Xk=1(9) для некоторого C > 0 и всех x ∈ X∞X∗kx χ(e−2k ,e−2k+1 ) kk χ(e−k ,e−k+1 ) 6 CkxkX ;Xk=1(10) для любого q ∈ [1, ∞]kxkX kxklog e/t, q X ,где через kxklog e/t, q обозначена норма функции x в пространстве Lp,q приp = log e/t, и эта Lp,q -норма рассматривается как функция от t;(11) существует такое q ∈ [1, ∞], чтоkxkX kxklog e/t, q X .31Для некоторых конкретных классов симметричных пространств можнополучить более удобные критерии сильной экстраполяционности.Определение 3.2.14 Для квазивогнутой функции ϕ = ϕ(t) на отрезке[0, 1] будем говорить, что она удовлетворяет ∆2 -условию и писать ϕ ∈ ∆2 ,если для некоторой константы C > 0 и всех t ∈ [0, 1] выполняется неравенствоϕ(t) 6 Cϕ(t2 ).Для удобства изложения используем также следующее определение,введенное Е.И.
Пустыльником в работе [194].Определение. Cимметричное пространство называется ультрасимметричным, если оно является интерполяционным относительно банаховой пары (Λ(ϕ), M(ϕ)).Теорема 3.2.25. Ультрасимметричное пространство X сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда его фундаментальная функция удовлетворяет ∆2 -условию.Следующая теорема описывает сильно экстраполяционные пространства Орлича-Лоренца.Теорема 3.2.36. (i) Если ϕ ∈ ∆2 , то ΛM (ϕ) ∈ SE и ΛM (ϕ) = LF ,где F — пространство Орлича LM (dm) на полуоси [1, ∞) с мерой dm =ϕ0 (e−p )e−p dp.(ii) Если же функция M удовлетворяет ∆2 -условиюM (2u) 6 CM (u)для всех u > u0 , то верно и обратное: из ΛM (ϕ) ∈ SE следует ϕ ∈ ∆2 .32Конструкция сильно экстраполяционного пространства включает широкий класс симметричных пространств, часто встречающихся в приложениях.
Она охватывает пространства из работ Яверса и Мильмана, получаемые функтором пересечения ∆ с умеренным весом, а также обобщаетрезультаты работ [135,185], в которых экстраполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции ввиде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В последних работах, вчастности, показано, что условияsupp>1kx∗ χ[e−p ,e−p+1 ) kpp< ∞ и supp>1kxkp<∞pэквивалентны, что, конечно, вытекает как очень частный случай из теоремы 3.2.5. По поводу декомпозиционной техники смотрите также [123, 138].Понятие сильно экстраполяционного пространства переносится и надругие шкалы пространств. В диссертации доказаны соответствующие теоремы для шкалы пространств числовых последовательностей {`p }1<p<∞ и~ θ,q }θ∈(0,1) вещественного метода интерполяции, пошкалы пространств {Aстроенных по вложенной банаховой паре (A0 , A1 ).Теорема 3.2.43.
Пусть X — симметричное пространство односторонних числовых последовательностей, и норма в X имеет следующееинтерполяционное представление:nX∗kxkX xj ,j=1Fгде F — некоторое банахово идеальное пространство последовательностей. Предположим также, что в F действует ограниченно операторS : {fn } → {fn2 }. Тогда пространство X — сильно экстраполяционно,33т.е. nX ∗xj kxk`p(n) ,Fj=1где p(n) =log nlog n−1 ,Fn > 3, а p(1) = p(2) = ∞.Пусть теперь H — сепарабельное гильбертово пространство. Напомним,что класс Шаттена-фон Неймана Sp состоит из компактных операторовT : H → H, для которых конечна нормаkT kp :=∞X! p1spj,j=1где {sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T ,определяемая разложением Шмидта.
С помощью теоремы 3.2.43 в диссертации получен следующий результат об экстраполяционном описаниисимметрично-нормированных идеалов компактных операторов, действующих в H.Теорема 3.2.46. Предположим, что банахово идеальное пространство F удовлетворяет условию теоремы 3.2.43, а X — симметричнонормированный идеал компактных операторов в гильбертовом пространстве H, определяемый условием конечности нормы nX sj ,kT kX := j=1Fгде {sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T .ТогдаX = F({Sp(n) }∞n=1 ),где p(n) =log nlog n−1 ,n > 3, и p(1) = p(2) := ∞.
Кроме того,kT kX kT kp(n) ,F34где kT kp(n) — норма Шаттена-фон Неймана оператора T при p(n) =log nlog n−1 ,n > 3, и kT kp(1) = kT kp(2) := kT kH→H .В качестве примера приложения теоремы 3.2.46 получен результат освязи между попаданием действительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора в определенные симметрично-нормированные идеалы.
Напомним, что компактный оператор называется вольтерровым, если его спектрсостоит из одной точки {0}. Обозначим через11TR := (T + T ∗ ) и TJ := (T − T ∗ ),22iсоответственно, действительную и мнимую компоненту оператора T . Напомним, что согласно результату В.И. Мацаева (см. [82, теорема 1]), длявольтеррова оператора T из условия TJ ∈ Sp , 1 < p < ∞, следует TR ∈Sp . Кроме того, если AJ ∈ S1 , то AR ∈ SΩ (см. [19, теорема 3]), гдесимметрично-нормированный идеал SΩ состоит из операторов, для которых конечна нормаPnj=1 sj (A)kAkΩ := sup Pn.−1nj=1 (2j − 1)Обобщением последнего результата является следующая теорема, доказанная в автором в [50] и представленная в настоящей диссертации.Теорема 3.2.48.
Предположим, что симметрично-нормированный идеал X удовлетворяет условиям теоремы 3.2.46. Если T — вольтерров оператор, и TJ ∈ X , то TR ∈ X (log−1 ), где идеал X (log−1 ) определяетсяусловием конечности нормыkT kX (log−1 )n 1X:= sj . log(en)j=135FЗавершает параграф 3.2 раздел 3.2.4, посвященный пространствам, интерполяционным относительно вложенной банаховой пары (A0 , A1 ).
В этомразделе доказана следующая теорема.~ = (A0 , A1 ) — банахова пара, A0 ⊂ A1 , а XТеорема 3.2.50. Пусть A— пространство K-метода:~kxkX := kK(t, x; A)kF.Предположим, что в банаховом идеальном пространстве F действуетограниченно операторS : f (t) → f (t2 ).Тогда для любого q ∈ [1, +∞]0kxkX kxkθ(t),q · χ(e,+∞) (t) ,Fгде θ(t) = log−1 t, аkxk0θ,q 1q +∞Z q ds1−θ~ .q:= (qθ(1 − θ))s K(s, x; A)s0Следующие параграфы главы 3 посвящены экстраполяционному описанию широких классов пространств Орлича и Марцинкевича, включающихсильно экстраполяционные пространства Орлича и Марцинкевича как относительно узкий подкласс.Параграф 3.3 посвящен экстраполяционному описанию пространств Орлича LM , построенным по функции видаM (u) = eN (log u) ,u > u0 ,(3.37)где N (t) — выпуклая функция, удовлетворяющая условию limt→∞ N (t)/t =∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
