Диссертация (1154386), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . · rid (t) — мультииндекс (j1 , j2 , . . . , jd )r — произведение функций Радемахера rj1 (t) · rj2 (t) · . . . · rjd (t), соответствующих мультииндексу 9ВведениеНастоящая диссертация посвящена изучению экстраполяционных свойствнекоторых шкал банаховых пространств.
В большей части работы используется шкала пространств Lp [0, 1]. Кроме этой шкалы рассматриваютсяшкалы пространств Lp,q [0, 1], `p , а также абстрактных пространств Лионса~ θ,q .Петре AВ работе представлены экстраполяционные описания симметричных пространств функций на [0, 1], приведены доказательства полученных авторомновых экстраполяционных теорем для линейных, сублинейных и произвольных операторов, а также описаны применения построенной теории внекоторых разделах анализа.
Существенная часть результатов, полученных для шкалы пространств Lp [0, 1], обобщается на произвольные интерполяционные шкалы. Но некоторые результаты используют специфическиесвойства рассматриваемой шкалы и не могут быть перенесены на произвольные шкалы. По этой причине, а также с целью сделать изложениеболее ясным и конкретным, автором и было принято решение при изложении настоящей работы придерживаться в основном шкалы пространствLp [0, 1]. C целью иллюстрации некоторых понятий (в частности, понятиясильно экстраполяционного пространства) и выявления их фундаментальной основы, автором приведены некоторые результаты для других шкал.10Отметим также, что шкала пространств Lp [0, 1] является, на наш взгляд,одной из наиболее важных и часто используемых в приложениях шкал.Альтернативой могло бы быть изложение результатов для произвольныхшкал с детальной иллюстрацией на примере шкалы Lp [0, 1], но это существенно увеличило бы объем работы.Отправной точкой теории экстраполяции принято считать работу японского математика Шигеки Яно [213], опубликованную в 1951 году.
В этойработе была доказана следующая экстраполяционная теорема, связывающая Lp -оценки на оператор при p > 1 с оценками в более широких пространствах (специальный случай этого результата рассматривался ранееТитчмаршем и Марцинкевичем [180, 211]).Теорема Яно. Предположим, что оператор T определен на пространстве L1 [0, 1] и принимает значения в множестве измеримых функций на[0, 1], и пусть T удовлетворяет условию сублинейности: для некоторогоPB > 0 и любых xj ∈ L1 [0, 1] таких, что ряд ∞j=1 xj сходится в L1 [0, 1]справедливо неравенство∞∞ X Xxj (t) 6 B|T xj (t)| почти всюду на [0, 1].Tj=1j=1Предположим также, что оператор T ограничен в Lp [0, 1] для каждогоp ∈ (1, p0 ), p0 > 1, иkT kLp →Lp 6 C(p − 1)−β , p ∈ (1, p0 ),(1)для некоторых β > 0 и C > 0, не зависящих от p.
ТогдаT : L(log L)β → L1 ,где пространство Зигмунда L(log L)β состоит из всех измеримых на [0, 1]11функций x(t) таких, чтоZ1kxkL(log L)β =logβ (e/t)x∗ (t) dt < ∞0(x∗ (t) означает непрерывную слева невозрастающую перестановку функции |x(t)|).В своей работе Яно показал, что оценки для многих важных операторованализа (таких, как максимальный оператор Харди-Литлвуда, операторперехода к сопряженной функции в гармоническом анализе и др., см. примеры операторов в [143]) в пространствах, близких к L1 (логарифмическихпространствах Лоренца) могут быть получены из Lp -неравенств для этихоператоров, в то время как до работы Яно оценки в шкале {Lp } и в пространствах L(log L)β получались независимо.
Теорема Яно может такжерассматриваться как обратное утверждение к хорошо теперь известным интерполяционным теоремам: оценки на нормы оператора в пространствах Lpвлекут оценки в соответствующих предельных для этой шкалы пространствах. Поэтому теорема Яно называется экстраполяционной теоремой. Отметим, что из ограниченности линейного оператора из пространства Зигмунда L(log L)β в L1 и ограниченности в Lp0 , вообще говоря, не следуетограниченность в Lp , p ∈ (1, p0 ), с оценкой на норму вида C(p−1)−β , но обращение теоремы Яно верно, например, для трансляционно-инвариантныхоператоров [207].
В классической монографии А.Зигмунда [26] представлена как теорема Яно, так и двойственный к ней результат, также иногданазывамый теоремой Яно.Теорема Зигмунда. Если оператор T ограничен в Lp [0, 1] для всехp > p0 иkT kLp →Lp 6 Cp1/β , p ∈ (p0 , ∞),12(2)для некоторого β > 0 с константой C > 0, не зависящей от p, тоT : L∞ → Exp Lβ ,где пространство Зигмунда Exp Lβ состоит из всех измеримых функцийx(t) таких, чтоkxkExp Lβ = sup log−1/β (e/t)x∗ (t) < ∞.0<t61Позже эти результаты неоднократно переоткрывались (см., например,работы И.Б. Симоненко [88, 89] и В.И. Юдовича [95, 96]), доказывалисьнекоторые обобщения и уточнения (см., например, [139, 160]), но общейтеории не было (ср.
с развитием теории интерполяции от теорем РиссаТорина и Марцинкевича до абстрактной теории). В конце 80-х – начале90-х годов в серии работ Б. Яверса и М. Мильмана были заложены основыобщей (абстрактной) теории экстраполяции [148–152, 181], которая изучает естественные предельные пространства, ассоциированные с различнымиинтерполяционными шкалами, и допускающих распространение оценок нанормы соответствующих операторов. Их работа дала много новых идей,перспективных связей с другими разделами анализа и интересных приложений. Следует сказать, что работы эти, имея фундаментальный характер, написаны "широкими мазками" и являются скорее программой длядействий, чем законченным исследованием. В связи с этим "потребители" экстраполяционной теории зачастую вынуждены сами получать нужные им конкретные результаты. Отметим здесь результаты новосибирскогоматематика А.Е.
Мамонтова [74–81], построившего на основе интегральныхпреобразований теорию экстраполяции пространств Орлича относительно шкалы Lp для нужд дифференциальных уравнений гидродинамики, а13также моментные пространства израильского математика Е.И. Островского [33, 85, 186–189], используемые им и другими авторами [163] в задачахслучайных полей и математической статистики. Кроме того, работы Б.Яверса и М.
Мильмана написаны на языке абстрактной теории интерполяции, доказательства не всегда полны, интерпретация для конкретныхшкал представлена только в редких случаях. Последнее обстоятельствопобудило некоторых математиков дать независимые формулировки и доказательства результатов Яверса и Мильмана для специальных шкал, восновном для шкалы пространств Lp .
В качестве примера отметим работыярославского математика Е.И. Бережного [12–15], получившего простыедоказательства точных экстраполяционных теорем для классических пространств Лоренца и Марцинкевича. Наконец, в работах Яверса и Мильмана исследованы только самые простые экстраполяционные функторысуммы и пересечения, предложенные ранее Н. Ароншайном и Э. Гальярдов теории интерполяции [100]. Эти функторы, а также их прямые обобщения, появившиеся в работе [159], не исчерпывают все экстраполяционныеконструкции и не всегда удобны.
Они легко вычисляются на крайних интерполяционных шкалах степенного типа, но обладают устойчивостью кзамене шкалы только при некоторых ограничительных условиях на весаконструкции. С.В. Асташкиным было введено новое семейство экстраполяционных функторов, названных позже F-методом [1, 2, 4], и совместно савтором настоящей работы начато их детальное изучение [42, 44, 170, 172].В настоящей работе теория экстраполяции развивается преимущественнона основе этих функторов.Кратко опишем теперь конструкции Б. Яверса и М.
Мильмана.В теории экстраполяции рассматривается семейство банаховых про14странств {Aθ }θ∈Θ , индексированное с помощью некоторого множества индексов Θ. Эти пространства предполагаются совместимыми, т.е. предполагается наличие некоторого хаусдорфова топологического векторногопространства TA такого, что имеют место непрерывные вложения Aθ ⊂ TA ,1θ ∈ Θ. Будем писать T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ , если T — непрерывный линейный оператор из TA в TB , а его сужения на Aθ отображают Aθ в Bθс нормой 6 1 для каждого θ ∈ Θ. Будем говорить, что банаховы пространства A и B являются экстраполяционными пространствами по отношению к семействам {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θ совместимых пространств, если1из условия T : {Aθ }θ∈Θ → {Bθ }θ∈Θ следует, что T : A → B. Экстраполяционный метод E означает функтор, определенный на наборе Dom(E)семейств совместимых пространств, и такой, что E({Aθ }θ∈Θ ) и E({Bθ }θ∈Θ )будут экстраполяционными пространствами для любых {Aθ }θ∈Θ и {Bθ }θ∈Θиз Dom(E).
Данные определения немного более гибкие и более нам подоходящие, чем определения из [151, 152, 181], основаные на более ограничительной концепции семейства строго совместимых пространств.Простейшими, но, в то же время, достаточно важными экстраполяционными методами являются функторы суммы и пересечения семейства банаховых пространств. Предположим, что {Aθ }θ∈Θ — такое семейство совместимых пространств, что для некоторого банахова пространства Σ имеютместо непрерывные вложения Aθ ⊂ Σ, θ ∈ Θ, с равномерно ограниченныминормами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
