Диссертация (1154386), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Предположим, что M (θ) является умеренной функцией,и {Iθ }0<θ<1 — семейство точных интерполяционных методов с характеристическими функциями tθ . Тогда~ J ) = Σ0<θ<1 (M (θ)Iθ (A))~Σ0<θ<1 (M (θ)Aθ,1и~K~∆0<θ<1 (M (θ)Aθ,∞ ) = ∆0<θ<1 (M (θ)Iθ (A)).77Кроме того, из доказательства последнего результата (см. [181]) следует,что для любого фиксированного 0 < θ0 < 1 справедливы соотношения~K~∆0<θ<θ0 (M (θ)Aθ,∞ ) = ∆0<θ<θ0 (M (θ)Iθ (A))при A0 ⊂ A1(соответственно~K~∆θ0 <θ<1 (M (θ)Aθ,∞ ) = ∆θ0 <θ<1 (M (θ)Iθ (A))при A0 ⊃ A1 )если функция M (θ) умеренна в 0 (соответственно в 1), и аналогичное утверждение справедливо для Σ-функтора.Вместе с обычными пространствами вещественного метода и интерполяции рассмотрим также их модифицированные версии [151, p.
19]:KJ0J(X0 , X1 )K=c(X,X),и(X,X)θ,p0101θ,pθ,pθ,p = cθ,p (X0 , X1 )θ,p ,(2.1)где cθ,p = (θ(1 − θ)p)1/p (1 6 p < ∞), cθ,∞ = 1, c0θ,p = (θ(1 − θ)p0 )−1/p0(1 < p 6 ∞, 1/p + 1/p0 = 1) и c0θ,1 = 1. Константы cθ,p и c0θ,p выбраны такимобразом, что характеристические функции каждого из функторов (·, ·)Kθ,pи (·, ·)Jθ,p равны tθ [181]. Кроме того [183, Example 7], справедливы равенстваJ(L1 , L∞ )K=L=(L,L)p1∞ 1/p0 ,p , 1 < p < ∞,1/p0 ,p(2.2)при этом эквивалентностью норм из первого равенства не зависит от p.Заметим, что для θ = 1/p0 мы получаем cθ,p = (p0 )−1/p .
Так как 1 < (p0 )1/p 6(p0 /(p0 − 1))1/p0 при p > p0 > 1, из (2.2) следует, что(L1 , L∞ )K1/p0 ,p = Lpс эквивалентностью норм, не зависящей от p > p0 > 1.78(2.3)Применим теперь теоремы 2.1.1 и 2.1.2 к шкале {ω(p)Lp }1<p<∞ взвешенных пространств Lp на [0, 1], где ω(p) — положительная функция, определенная при p > 1. Простые вычисления показывают, что функция M (θ) :=ω(1/(1 − θ)) умеренна в 1 (соответственно в 0), если ω(p) ω(2p) приp → ∞ (соответственно ω(p) ω(2p/(p + 1)) при p → 1). Будем называть такую функцию ω(p) умеренной в ∞ (соответственно в 1). Поэтомуиз теоремы 2.1.2, замечания после нее и соотношения (2.2), для каждого1 < p0 < ∞ получаемΣ1<p<p0 (ω(p)Lp ) = Σ1<p<p0Jω(p) (L1 , L∞ )1/p0 ,1если ω(p) умеренна в 1, и∆p>p0 (ω(p)Lp ) = ∆p>p0Kω(p) (L1 , L∞ )1/p0 ,∞(2.4)если ω(p) умеренна в ∞.
В частности, для произвольных β > 0 и 1 < p0 <∞−βΣ1<p<p0 (p − 1)−βLp = Σ1<p<p0 (p − 1)L1 , L∞ )J1/p0 ,1и∆p>p0 p−1/βLp = ∆p>p0 p−1/βL1 , L∞ )K1/p0 ,∞.Применяя теорему 2.1.1, убеждаемся, что экстраполяционные пространства из правых частей этих соотношений совпадают с пространствами Зигмунда из теоремы Яно (см., например, [181, формулы (2.26) и (2.27)]).
Поэтому, для каждого β > 0 и p0 > 1 получаемΣ1<p<p0 (p − 1)−β Lp = L(log L)β(2.5)и∆p>p0 p−1/βLp = Exp Lβ .79(2.6)Равенства (2.5) и (2.6) представляют L(log L)β и Exp Lβ предельными пространствами для шкалы пространств Lp , и, дополнительно, непосредственно доказывают обе части теоремы Яно. В самом деле, предполагая, например, что kT kLp →Lp 6 Cp1/β , из (2.6) сразу получаемkT xkExp Lβ sup p−1/β kT xkp 6 C sup kxkp = Ckxk∞ .p>p0p>p0Соотношения (2.5) и (2.6) показывают, что пространства ЗигмундаExp LβиL(log L)βмогут быть описаны как предельные для шкалы пространств Lp .
В следующем параграфе с помощью подходящего представления для K-функционала банаховой пары (L∞ , Exp Lβ ) (соответственно, для J -функционалапары (L1 , L(log L)β ) будет дано экстраполяционное описание класса пространств, интерполяционных относительно упомянутых пар.Как уже говорилось выше, существует тесная связь между интерполяционными и экстраполяционными конструкциями. Напомним сначала охарактеризации семейства {Iθ }θ∈Θ интерполяционных методов, обладаю~ может бытьщих следующим свойством: любая взаимно замкнутая пара Aвосстановлена с помощью экстраполяции по семейству интерполяционных~ θ∈Θ , если только пересечение A0 ∩ A1 плотно в каждомпространств {Iθ (A)}из пространств A0 и A1 .
Семейство {Iθ }θ∈Θ называется полным, если из1~ −→~ θ ∈ Θ для линейного оператора T следует,условия T : Iθ (A)Iθ (B),~ −→ B,~ если только пространства A~ иB~ образуют взаимно зачто T : Aмкнутую банахову пару и A0 ∩ A1 плотно в A0 и A1 . Следующий результатпоказывает, что полное семейство интерполяционных методов характеризуется своим действием на одномерных пространствах.80Теорема 2.1.3.
[151, теорема 2.5] Семейство {Iθ }θ∈Θ точных и нтерполяционных методов с характеристическими функциями ρθ являетсяполным тогда и только тогда, когдаρθ (t)6 C min(1, t/s), s, t > 0,θ∈Θ ρθ (s)inf(2.7)с некоторой константой C > 0.В частности, любое семейство {Iθ }0<θ<1 точных интерполяционныхметодов степени θ является полным.Применяя функторы Σ и ∆ к семейству точных интерполяционных методов мы можем восстановить K- и J -функционалы в исходной паре и,таким образом, обратить интерполяционный процесс.Теорема 2.1.4. [151, § 2-§ 3] Если {Iθ }θ∈Θ — полное семейство точныхинтерполяционных методов с характеристическими функциями ρθ , а ба~ взаимно замкнута, тонахова пар A~~kak∆(ρθ (t)Iθ (A))~ J (t, a; A), a ∈ ∆(A),(2.8)~~ ◦kakΣ(ρθ (t)Iθ (A))~ K(t, a; A), a ∈ Σ(A) ,(2.9)ис константами, не зависящими от t > 0.812.2Результаты С.В.
АсташкинаВ настоящем разделе мы кратко представим некоторые результаты С.В.Асташкина, представляющие собой следующий этап развития теории экстраполяции [1, 2, 4].~ = (A0 , A1 ),Рассмотрим произвольную вложенную банахову пару A1A1 ⊂A0 , и функцию Орлича Φ на [0, ∞), Φ(1) > 1. Введем в рассмотрениеследующую шкалу пространств, порожденную вещественным K-методоминтерполяции:~ K = (A0 , A1 )KAΦ(p)1−1/Φ(p),Φ(p) , p > 1.Обозначим через A семейство всех таких шкал. Возвращаясь к общемуподходу, кратко описанному во Введении, дадим следующее определение.Определение 2.2.1.
Пусть F — банахово идеальное пространство функций на (1, ∞) такое, что L∞ ⊂ F ⊂ L∞ (1/t). Определим банахово про~ K }) всех a ∈ A0 таких, что функция ua (p) := kak ~ Kстранство F({AΦ(p)AΦ(p)принадлежит F, с нормой kakF({A~ KΦ(p) }):= kua kF .~ K }) задает~ K }p>1 7−→ F({AЛегко установить, что отображение {AΦ(p)Φ(p)экстраполяционный функтор с областью определения A.С.В. Асташкин решал задачу описания предельных пространств, соответствующих таким шкалам.
В частности, им было показано, что в слу~ и функции Орлича Φ, получается в точностичае фиксированной пары A~ промножество всех интерполяционных по отношению к паре (A1 , Mϕ (A))~ обозначено обобщенное пространство Марцинстранств, где через Mϕ (A)кевича, порожденное функциейϕ(u) =1Φ−1 (log(1+ 1/u))82, 0 < u 6 1,(2.10)~ =A~ K [190, с. 422]. Здесь ϕ̃(u) := u/ϕ(u) = uΦ−1 (log(1 + 1/u)),т.е. Mϕ (A)ϕ̃,∞1~ корректно определеи, благодаря вложениям A1 ⊂A0 , пространство Mϕ (A)но в предположении, что ϕ определена только на интервале (0, 1].Прежде всего получим экстраполяционное описание для K-функциона~ используя, в отличие от теоремы 2.1.4, подходящийла пары (A1 , Mϕ (A)),∆-функтор.Теорема 2.2.2. [4, теорема 1] Предположим, что функция Орлича Φопределена на [0, ∞), а функцию ϕ определим формулой (2.10).
Для ба1~ = (A0 , A1 ) такой, что A1 ⊂Aнаховой пары A0 и Ã1 = A1 имеет местосоотношение~ kakK(q, a; A1 , Mϕ (A))~K∆p>q (qp−1 AΦ(p) ),~ и q > 1.с константами, не зависящими от a ∈ Mϕ (A)В случае банаховой пары (L1 , L∞ ) функциональных пространств на~ есть обычное пространство Марцинкевича M (ϕ),[0, 1] пространство Mϕ (A)которое, в свою очередь, совпадает с экспоненциальным пространством Орлича ExpLΦ (см. [87, 168]). Кроме того, из неравенства Φ(1) > 1 и (2.3)следует, что(L1 , L∞ )K1−1/Φ(p),Φ(p) = LΦ(p) ,с константами, не зависящими от p > 1. Поэтому из теоремы 2.2.2 получается следующее утверждение.Следствие 2.2.3. Для любой функции Орлича Φ на [0, ∞)K(q, f ; L∞ , ExpLΦ ) kf k∆p>q (qp−1 LΦ(p) ) ,с константами, не зависящими от f ∈ ExpLΦ и q > 1.83В частном случае (когда аргумент K-функционала q = 1) получаетсяэкстраполяционное описание экспоненциальных пространств Орлича, которое обобщает равенство (2.6).Следствие 2.2.4.
Для любой функции Орлича Φ имеет место соотношениеExpLΦ = ∆p>1 p−1 LΦ(p) .Следствие 2.2.5. Для каждой функции Орлича Φ и произвольной ба1~ = (A0 , A1 ) такой, что A1 ⊂Aнаховой пары A0 и Ã1 = A1 , справедливоравенство−1 ~ K~Mϕ (A) = ∆p>1 p AΦ(p) .~ является предельным пространством по отношеВ частности, Mϕ (A)~ K }. Заметим, что A1 (в предположении Ã1 = A1 ) инию к шкале {AΦ(p)~ являются наименьшим иобобщенное пространство Марцинкевича Mϕ (A)наибольшим экстраполяционными пространствами по отношению к шкале~ K }, порожденной семейством F-методов (с фиксированной функцией{AΦ(p)Φ).
Точнее,~ K }) = A1 и L∞ (1/p)({A~ K }) = Mϕ (A).~L∞ ({AΦ(p)Φ(p)(2.11)~ = (A0 , A1 ) такой,Из (2.11) следует, что для любой банаховой пары A1что A1 ⊂A0 , и произвольного банахова идеального пространства F , промежуточного между L∞ и L∞ (1/p),~ K }) ⊂ Mϕ (A).~A1 ⊂ F({AΦ(p)~ K }) является инКроме того, следующая теорема показывает, что F({AΦ(p)~терполяционным пространством по отношению к паре (A1 , Mϕ (A)),если84только F является интерполяционным банаховым пространством междупространствами L∞ (1, ∞) и L∞ (1/t)(1, ∞). В разделе 3.2.4 мы покажем,как эта теорема вытекает из нашей общей теоремы 3.2.50.Теорема 2.2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
