Диссертация (1154386), страница 12
Текст из файла (страница 12)
[4, теорема 2] Предположим, что Φ — функция Орлича,1~ = (A0 , A1 ) — банахова пара такая, что A1 ⊂AаA0 и Ã1 = A1 . Тогда длякаждого банахова пространства F , интерполяционного между L∞ (1, ∞)и L∞ (1/t)(1, ∞), выполняется соотношение~ K }) = (A1 , Mϕ (A))~ K,F({AΦ(p)F̄где F̄ произвольное банахово пространства, интерполяционное междупространствами L∞ (0, ∞) и L∞ (1/t)(0, ∞), и такое, что сужение F̄ на(1, ∞) совпадает с F .Рассмотрим теперь случай пары (L1 , L∞ ).
Согласно (2.3), (L1 , L∞ )KΦ(p) =LΦ(p) , с эквивалентностью норм, не зависящей от p > 1. Следовательно,пространство F({(L1 , L∞ )KΦ(p) }) состоит из всех измеримых функций f на[0, 1] таких, что функция wf (p) := kf kΦ(p) принадлежит F , и это пространство снабжено нормой, эквивалентной kwf kF .Следствие 2.2.7. Для произвольной функции Орлича Φ и каждого банахова пространства F , интерполяционного между пространствами L∞ иL∞ (1/t) на полуоси (1, ∞), справедливо равенствоF({LΦ(p) }p>1 ) = (L∞ , ExpLΦ )KF̄ ,с тем же пространством F̄ , что и в теореме 2.2.6.Известно (см. [133]), что интерполяция в паре (L∞ , ExpLΦ ) (Φ — функция Орлича) описывается вещественным K-методом. Это означает, что85каждое пространство X, интерполяционное между L∞ и ExpLΦ , представимо в виде X = (L∞ , ExpLΦ )KE , где E можно считать банаховым пространством, интерполяционным между пространствами L∞ (0, ∞) и L∞ (1/t)(0, ∞).Поэтому, из теоремы 2.2.6 мы получаем следующее экстраполяционное описание интерполяционных по отношению к паре (L∞ , ExpLΦ ) пространств.Следствие 2.2.8.
Пусть Φ — произвольная функция Орлича. Для каждого интерполяционного по отношению к паре (L∞ , ExpLΦ ) пространстваX существует банахово идеальное пространство F на (1, ∞) такое, чтоX = F({LΦ(p) }p>1 ).Опишем еще кратко аналогичные результаты для J -метода интерполяции.Как и выше, предположим, что Φ является функцией Орлича, а бана1~ = (A0 , A1 ) такова, что A1 ⊂Aхова пара A0 . Введем шкалу пространств,порожденных вещественным J -методом следующим образом:~ J = (A0 , A1 )JAΦ(p)1/Φ(p),Φ(p)/(Φ(p)−1) , p > 1.Семейство таких шкал обозначим через B.Определение 2.2.9.
Предположим, что банахово идеальное пространствоG на (0, 1) таково, чтоL1 (1/t)(0, 1) ⊂ G ⊂ L1 (0, 1).~ J }) как множество всех b ∈ A0 , для которых существуОпределим G∗ ({AΦ(p)ет представлениеZ∞b=u(p)dp~J(сходимость в A0 ), u(p) ∈ A∈ G.~JΦ(p) и ku(1/t)kAΦ(1/t)p1(2.12)86~ J }) является банахоым пространством сЛегко установить, что G∗ ({AΦ(p)нормойkbkG∗ ({A~ JΦ(p) })= inf ku(1/t)kA~ JΦ(1/t) ,Gгде инфимум берется по всем представлениям (2.12), и отображение~J }{AΦ(p)p>1~ J })7−→ G∗ ({AΦ(p)задает экстраполяционный функтор на B.Оказывается, что класс всех экстраполяционных пространств, которые~ J }p>1 , совмогут быть получены с помощью G∗ -функторов на шкале {AΦ(p)падает с множеством всех пространств, интерполяционных по отношению~ где Λϕ (A)~ — обобщенное пространство Лоренца [190,к паре (A0 , Λϕ (A)),~ =A~ J , где ϕ̃(u) = u/ϕ(u) = 1/Φ−1 (log(1 + 1/u)), 0 <с.
430], т.е. Λϕ (A)ϕ̃,11u 6 1. Так как A1 ⊂A0 , то при вычислении нормы в последнем пространствеR1мы можем ограничиваться только представлениями вида x = 0 u(s) dss сострого измеримыми функциями u(s) : (0, 1] → A1 .~ может быть поСледующее описание J -функционала пары (A0 , Λϕ (A))лучено с помощью двойственности J - и K-методов (см., например, [11, теорема 3.7.1]) и теоремы 2.2.2.Теорема 2.2.10. [4, теорема 3] Предположим, что Φ — функция Орлича1~ = (A0 , A1 ) такой, что A1 ⊂Aна [0, ∞). Для каждой банаховой пары A0 иA1 плотно в A0 , справедливо~ kbkU ,J (1/q, b; A0 , Λϕ (A))q~ J , с константами, не зависящими от b ∈ Λϕ (A)~ игде Uq = Σp>q pq AΦ(p)q > 1.871~ = (A0 , A1 ) — банахова пара, A1 ⊂AСледствие 2.2.11.
Пусть A0 и A1плотно в A0 . Для каждой функции Орлича Φ справедливо~ =Λϕ (A)X~JpAΦ(p).p>1~ = (L1 , L∞ ), то пространство Λϕ (A)~ совпадает с пространствомЕсли AЛоренца Λ(ϕ) (см., например, [22]). Поэтому, ввиду (2.3), теорема 2.2.10даетСледствие 2.2.12. Для произвольной функции Орлича Φ выполняетсясоотношениеJ (1/q, g; L1 , Λ(ϕ)) kgkUq ,P pгде Uq =с константами, не зависящими от g ∈p>q q LΦ(p)/(Φ(p)−1)Λ(ϕ) и q > 1.Далее, с помощью теоремы 2.2.10, можно доказать следующий результат, аналогичный теореме 2.2.6.Теорема 2.2.13.
[4, теорема 4] Предположим, что G является банаховым пространством, интерполяционной между L1 (1/t)(0, 1) и L1 (0, 1), и1~ = (A0 , A1 ) такая банахова пара, что A1 ⊂AA0 и A1 плотно в A0 . Тогда~ J }) = (A0 , Λϕ (A))~ J,G∗ ({AΦ(p)Ḡгде Ḡ — произвольное банахово пространство, интерполяционное междупространствами L∞ (0, ∞) и L∞ (1/t)(0, ∞), и такое, что его ограничениена (0, 1) совпадает с G.В частном случае пары (L1 , L∞ ) получаем88Следствие 2.2.14.
Для произвольной функции Орлича Φ и каждого банахова пространства G, интерполяционного между L1 (1/t)(0, 1) и L1 (0, 1),имеемG∗ ({LΦ(p)/(Φ(p)−1) }) = (L1 , Λ(ϕ))JḠ ,с тем же Ḡ, что и в теореме 2.2.13.Так как Λ(ϕ) является одновременно и пространством Орлича [168],из результата Калтона [157, следствие 5.10] следует, что интерполяция впаре (L1 , Λ(ϕ)) описывается вещественным K-методом.
С учетом хорошоизвестного результата о связи между K- и J -функторами (см. [121]), означенная интерполяция описывается также и J -методом. Другими словами,если Y является интерполяционным пространством по отношению к паре(L1 , Λ(ϕ)), то Y = (L1 , Λ(ϕ))JE для некоторого банахова пространства E,интерполяционного между пространствами L1 (1/t)(0, ∞) и L1 (0, ∞). Поэтому теорема 2.2.13 дает следующее экстраполяционное описание обсуждаемых пространств.Следствие 2.2.15. Пусть Φ — произвольная функция Орлича. Для каждого пространства Y , являющегося интерполяционным по отношению кпаре (L1 , Λ(ϕ)), существует банахово идеальное пространство G, для которого Y = G∗ ({LΦ(p)/(Φ(p)−1) }).На самом деле представленные в настоящем параграфе результаты верны и для более общего семейства шкал, порожденных вещественным методом интерполяции.Для произвольной функции r = r(p) : [1, ∞) −→ [1, ∞] и каждой1~ = (A0 , A1 ), A1 ⊂Aбанаховой пары A0 , введем шкалу пространств~ K (r) = (A0 , A1 )KAΦ(p)1−1/Φ(p),r(p) , p > 1.89~ K }.В частности, если r(p) = Φ(p), мы получаем шкалу {AΦ(p)Теорема 2.2.16.
[4, следствие 9] Если Φ(p) 6 r(p) 6 ∞, p > 1, то для1~ = (A0 , A1 ), с A1 ⊂Aкаждой банаховой пары A0 и Ã1 = A1 , существуют~ функция r(p) и q > 1 такие,константы, не зависящие от a ∈ Mϕ (A),что~ sup qp−1 kak ~ KK(q, a; A1 , Mϕ (A))Ap>qΦ(p) (r), q > 1.Теорема 2.2.17. [4, теорема 6] Пусть есть функция Орлича Φ и ба1~ = (A0 , A1 ) такая, что A1 ⊂Aнахова пара A0 и Ã1 = A1 . Если Φ(p) 6r(p) 6 ∞, p > 1, то для каждого банахова пространства F , интерполя~ K (r)}) =ционного между L∞ (1, ∞) и L∞ (1/t)(1, ∞), справедливо F({AΦ(p)~ K , с тем же F̄ , что и в теореме 2.2.6.(A1 , Mϕ (A))F̄Подобным образом может введен класс шкал пространств двойственного J -метода, для которых справедливо соответствующее обобщение теорем2.2.10 и 2.2.13 (см.
[4]).90Глава 3Экстраполяционноеописание симметричныхпространствВ настоящей главе будут изучены свойства симметричных пространств,которые могут быть получены с помощью F-метода, описанного в разделе2.2, если в качестве базисной шкалы рассматривается шкала пространств{Lp }16p<∞ . Для краткости, такие пространства мы будем называть F-экстраполяционными. В параграфе 3.1 мы изучим общие свойства таких пространств (сепарабельность, максимальность, тривиальность индексов Бойда) и установим связь между свойствами F-экстраполяционного симметричного пространства и соответствующего параметра экстраполяции F .В параграфе 3.2 будет детально изучен специальный подкласс класса Fэкстраполяционных пространств. Соответствующие пространства, которыемы назвали сильно экстраполяционными, допускают особо простое экстраполяционное описание.
Параграф 3.2 можно считать основным в диссер91тации, на нем основаны основные приложения теории, часть которых рассмотрена в главе 5. Некоторые приложения рассмотрены уже в самом параграфе 3.2: раздел 5.1.1 посвящен проблеме сходимости ортогональныхTрядов в симметричных пространствах, содержащихся в p<∞ Lp , а в разделе 5.1.2 исследуются мультипликаторы Радемахера. В разделе 3.3 будетдано экстраполяционное описание широкого класса пространств Орлича спомощью ∆-функтора. В разделе 3.4 показано, что в некоторых случаяхF-метод инвариантен по отношению к замене базисной шкалы {Lp }16p<∞на родственную (в смысле своего интерполяционного происхождения отпары (L1 , L∞ )) шкалу {Lp,q }16p<∞ , где q = q(p) ∈ [p, ∞].
С помощью этого свойства пространства Марцинкевича будут описаны как F-экстраполяционные пространства. Хотя пространства Орлича, описанные в большинстве представленных в разделе 3.3 примеров совпадают с пространствами Марцинкевича, описанными в разделе 3.4, подходы к описаниюпринципиально разные, заслуживает отдельного рассмотрения и приводятк различным выражениям весовых параметров ∆-функтора, что обеспечивает большую область применимости полученных результатов. В разделе3.4.3 исследуется проблема устойчивости экстраполяционных конструкцийк замене непрерывной шкалы {Lp }16p<∞ на дискретную {Lpk }∞k=1 .923.1Определение, примеры и общие свойстваF-экстраполяционных относительно шкалы {Lp} пространств3.1.1F-метод экстраполяцииВ этом параграфе мы опишем некоторую общую конструкцию, позволяющую получать симметричные пространства с экстраполяционными свойствами по отношению к шкале Lp -пространств.
Сначала мы дадим определение F-метода, предложенного С.В. Асташкиным, и являющегося экстраполяционным функтором. F-метод является обобщением ∆-функтораЯверса и Мильмана, и идейно связан с конструкцией K-метода вещественной интерполяции.Пусть F — банахово идеальное пространство функций, определенныхна [1, +∞) (банахова идеальная решетка), L∞ = L∞ [1, ∞) ⊂ F . Paccмотрим множество LF функций x(t) на [0, 1] таких, чтоξ = ξ(p) := kxkp ∈ F.Как обычно, функции, совпадающие почти всюду, будем отождествлять.Теорема 3.1.1. LF — симметричное пространство с нормойkxkLF := kξkF .Доказательство.
Линейность LF и свойства нормы проверяются элементарно. Докажем полноту.Пусть {xn }∞n=1 — фундаментальная последовательность в LF . Тогда для93любого r > 1kxn − xm kLF= kxn − xm kp > kxn − xm kp · χ[r,r+1] (p) >FF> kxn − xm kr · χ[r,r+1] (p)F = kxn − xm kr · χ[r,r+1] (p)Fи, следовательно,kxn − xm kr → 0 для всех r ∈ [1, +∞).Так как пространства Lr полны и Lr1 ⊂ Lr2 при r1 > r2 , то существуетфункция x = x(t) такая, чтоxn → x в Lr для всех r ∈ [1, +∞).∞Выберем из последовательности {xn }∞n=1 подпоследовательность {xnk }k=1такую, чтоxn − xn < 2−k .k+1k LFДостаточно доказать, чтоkxnk − xkLF → 0 при k → ∞.Для каждого ε > 0 и p ∈ [1, ∞) существует j0 = j0 (p) такое, что при j > j0kxnj − xkp < ε.94Для каждого натурального k положим m = m(p) = max (j0 (p), k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
